Các Chuyên đề ôn vào 10 THPT môn Tóa - Phần Đại số

Phần 1. Đại số
Chương 1
CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
š&›
A - Căn bậc hai
Định nghĩa: Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x2 = a.
Ký hiệu: 	s	a > 0:	F	: Căn bậc hai của số a
F	: Căn bậc hai âm của số a
 s	a = 0: 
Chú ý: Với a ³ 0: 
Căn bậc hai số học: 
s	Với a ³ 0: số được gọi là CBHSH của a
s	Phép khi phương là phép toán tìm CBHSH của số a không âm.
So sánh các CBHSH: Với a ³ 0, b ³ 0: 
Điền vào ô trống trong bảng sau:
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
x2
Tìm căn bậc hai số học rồi suy ra căn bậc hai của các số sau:
a)	121	b)	144	c)	169	d)	225
e)	256	f)	324	g)	361	h)	400
i)	0,01	j)	0,04	k)	0,49	l)	0,64
m)	0,25	n)	0,81	o)	0,09	p)	0,16	
Tính:
a)	b)	c)	d)	
e)	f)	g)	
Trong các số sau, số nào có căn bậc hai:
a)	b)	1,5	c)	- 0,1	d)	
Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có căn bậc hai:
a)	(x – 4)(x – 6) + 1	b)	(3 – x)(x – 5) – 4 
c)	- x2 + 6x – 9	d)	- 5x2 + 8x – 4	
e)	x(x – 1)(x + 1)(x + 2) + 1 	f)	x2 + 20x + 101
So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a)	1 và 	b)	2 và 	c)	6 và 	
d)	7 và 	e)	2 và 	f)	1 và - 1	
g)	2 và 10	h)	 và -12	i)	-5 và -	
j)	2 và 	k)	 và 	l)	 và 
m)	2 + và 5	n)	7 – 2 và 4	o)	+ và 7	
p)	 và 6– 	q)	 và 	
Dùng kí hiệu viết nghiệm của các phương trình đưới đây, sau đó dùng máy tính để tính chính xác nghiệm với 3 chữ số thập phân.
a)	x2 = 2	b)	x2 = 3	c)	x2 = 3,5	d)	x2 = 4,12
e)	x2 = 5	f)	x2 = 6	g)	x2 = 2,5	h)	x2 = 
Giải các phương trình sau:
a)	x2 = 25	b)	x2 = 30,25	c)	x2 = 5	
d)	x2 – = 	e)	x2 - 5 = 0	f)	x2 += 2	
g)	x2 = 	h)	2x2+3=2	i)	(x – 1)2 = 1 	
j)	x2 = (1 – )2	k)	x2 = 27 – 10	l)	x2 + 2x =3 –2 
Giải phương trình:
a)	 = 3	b)	 = 	c)	 = 0	d)	 = -2
Trong các số: , , , - thì số nào là căn bậc hai số học của 49 ?
Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng:
a)	Nếu a > b thì 	b)	Nếu thì a > b
Cho số dương a. Chứng minh rằng:
a)	Nếu a > 1 thì 	b)	Nếu a < 1 thì 
Cho số dương a. Chứng minh rằng:
a)	Nếu a > 1 thì a > 	b)	Nếu a < 1 thì a < 
 (cộng 2 vế với c)
®	 (cộng 2 vế với – c)
®	 (cộng 2 vế với – b)
®	 (cộng 2 vế với – b)
 (nếu c > 0: giữ nguyên chiều)
 (nếu c < 0: đổi chiều)
Một số tính chất bất đẳng thức
B - Căn thức bậc hai. Hằng đẳng thức 
Căn thức bậc hai:
Nếu A là một biểu thức đại số thì gọi là căn thức bậc hai của A. 
A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
 các định (có nghĩa) khi A ³ 0
Chú ý:
Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức:
A(x) là một đa thức Þ A(x) luôn có nghĩa.
 có nghĩa 	Û	B(x) ¹ 0
 có nghĩa 	Û	A(x) ³ 0
 có nghĩa 	Û	A(x) > 0
Với M > 0, ta có:
 hoặc 
Hằng đẳng thức 
Định lí: Với mọi số a, ta có: 
Chú ý: Tổng quát, với A là một biểu thức đại số, ta cũng có:
Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
1.	a)	b)	
c)	d)	
e)	f)	
g)	h)	
i)	j)	
k)	l)	
m)	n)	
o)	P)	
2.	a)	b)	
c)	d)	
e)	f)	
3.	a)	b)	
c)	d)	
e)	f)	
4.	a)	b)	
c) 	d)	
Tính
a)	5	b)	- 4	
c)	5	d)	
e)	f)	
g)	h)	2+ 3
Chứng minh rằng:
a)	b)	
c)	d)	
Rút gọn biểu thức:
1.	a)	b)	
c)	d)	
e)	f)	
g)	h)	
2.	a)	b)	
c)	d)	
e)	f)	
g)	h)	
3.	a)	b)	
c)	d)	
e)	f)	
g)	h)	
4.	a)	b)	
c)	d)	
5.	a)	b)	
Rút gọn biểu thức sau (loại bỏ dấu căn và dấu trị tuyệt đối):
1.	a)	 với x < 0	b)	 với x ³ 0	
c)	 với x < 2	d)	 - 5x với x < 0	
e)	 với x ³ 0	f)	 với x bất kỳ
g) 	với x > 4	
2.	a)	A = 	b)	B = 
c)	C = 	d)	D = 
e)	E = 	f)	F = 
Chứng tỏ: với x ³ 2
Áp dụng rút gọn biểu thức sau:
 với x ³ 2
Rút gọn biểu thức sau (loại bỏ dấu căn và dấu trị tuyệt đối):
a) 	với x ³ 4	
b) 	với x ³ 3	
c)	 	với x ³ 1 
d)	 	với x ³ 0
Với giá trị nào của a và b thì:
a)	 ?	b)	 ?
So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a)	9 và 6 + 2	b)	 +và 3	
c)	16 và 9 + 4	d)	 và 2
Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
a)	 	tại 
b)	 	tại 
Giải phương trình:
a)	= 2x + 1	b)	
c)	d)	
e)	f)	
g)	h)	
i)	j)	
k)	l)	
Phân tích thành hân tử:
a)	x2 – 7 	b)	x2 - 3 	c)	x2 – 2x + 13
d)	x2 –	e)	x2 – 2x + 2	f)	x2 + 2x + 5
Với n là số tự nhiên, chứng minh:
Viết đẳng thức trên khi n là 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.
Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
Tính: .
Chứng minh bất đẳng thức Côsi (Cauchy):
x + y ³ 2 
Dấu “ = ” xảy ra khi nào ?
Áp dụng: Chứng minh rằng với x, y, z là các số dương, ta có:
Một chủ doanh nghiệp đi về quê chơi cùng 1 người bạn là dân toán. Họ thấy một đàn bò rất lớn trên một đồng cỏ. 
Anh doanh nghiệp nói: 
Nhiều bò quá, tôi chưa bao giờ thấy nhiều thế này, có lẽ phải hàng nghìn con.
Anh bạn toán học trả lời : 
Đúng đấy, có cả thẩy 2428 con. 
'Trời, làm sao mà anh lại đếm được nhanh thế? - Anh chủ DN hỏi. 
Anh toán học trả lời:
À, tôi đếm tất cả chân rồi chia cho 4 là xong!
Chuyện vui Toán học: Câu chuyện số 1
C - Khai phương một tích. Nhân các căn thức bậc hai.
D - Khai phương một thương. C hia các căn thức bậc hai
Với A ³ 0, B ³ 0: 
Với A ³ 0, B > 0: 
Tính:
1.	a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	
2.	a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	h)	
3.	a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
g)	
4.	a)	b)	
c)	d)	
5.	a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
6.	a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
7.	a)	b)	
c)	d)	 
8.	a)	b)	
Tính:
Với m, n > 0 thỏa m + n = A và m . n = B
ta có: 
1.	a)	b)	
c)	d)	
e)	f)	
g)	h)	
i)	j)	
k)	l)	
2.	a)	b)	
c)	d)	
e)	
f)	
g)	
h)	
3*.	ĐS: 
	ĐS: 
	ĐS: 
	ĐS: 
	ĐS: 
Phân tích thành tích số:
a)	b)	
Rút gọn biểu thức sau (loại bỏ dấu căn và dấu trị tuyệt đối):
1.	a)	 với x < 0	b)	 với x ³ 3	
c) 	với x > 1	d)	 a, b > 0
e) 	với x ³ 3	f) 	với x < 2
g) 	với x > 0	h) 	với x < 0
i)	 với x ³ 0	j)	 với x > 0	
k) 	với x bất kỳ	l)	, "x
2.	a)	 với y > 0	b)	 với x > 0
c)	 với m > 0, n > 0	d)	 với x < 0 và y ¹ 0
e)	 với x > 0, y ¹ 0	f)	 với y < 0
g)	 với x 0	h)	 với x ¹ 0, y ¹ 0
i)	 với x 3
k)	 với x < y, y < 0	
l)	 với x >-1,5 và y<0
Chứng minh:
a)	b)	
c)	.=1
d)	
Rút gọn các biểu thức sau:
1.	a)	b)	
2.	a)	 với x ³ 0	b)	,x¹1,y¹1,y>0
Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
1.	a)	 	tại x = 	
b)	 	tại a = 2, b = 
2.	a)	 	tại x = 	
b)	 (với x < 3) 	tại x = 0,5
So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a)	+và 	b)	 + 2và 	
c)	16 và 	d)	8 và+	
So sánh và 2.
Giải phương trình:
1.	a)	b)	
c)	d)	
e)	f)	
g)	h)	
2.	a)	b)	
c)	d)	
3.	a)	b)	
Giải các phương trình:
a)	 và 	b)	 và 
Cho hai biểu thức: và 
Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa.
Với giá trị nào của x thì B có nghĩa còn A không có nghĩa.
Với giá trị nào của x thì A = B.
Cho hai biểu thức: và .
Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa.
Với giá trị nào của x thì B có nghĩa còn A không có nghĩa.
Với giá trị nào của x thì A = B.
Cho . Tính a2 + b2 và a5 + a5.
Cho . 
Tính a2 + b2 và ab. Suy ra giá trị của a + b.
Thực hiện phép tính:
a)	
b)	
c)	
Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau:
 với x = 
Cho hai số a và b với a > 0, b > 0. Chứng minh: .
Áp dụng: So sánh và 
Cho hai số a và b với a > b > 0. Chứng minh: .
Áp dụng: So sánh và 
Với n là số tự nhiên, chứng minh:
Viết đẳng thức trên khi n là 1; 2; 3; 4.
Cho hai số a ³ 0, b ³ 0. Chứng minh:
a)	b)	
Chứng minh:
a)	 là số vô tỉ.	b)	5 và 3 + đều là số vô tỉ.
Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số:
a)	b)	 
Có 2 nguời bạn đang đi chơi trên khinh khí cầu (KKC), họ bị lạc hướng nên phải hạ thấp xuống để hỏi đường. 
Khi thấy một anh ở dưới, một người hỏi : 
"Chúng tôi đang ở đâu đấy?". 
Anh chàng dưới đất trả lời: 
"Các anh đang ở trên một cái KKC". 
Người trên KKC hỏi tiếp: 
"Anh là dân Toán à?". 
"Đúng rồi".
Nguời bạn kia ngạc nhiên hỏi: 
"Sao anh biết người ta là dân toán?". 
Anh bạn này bảo: 
"Thì đấy, họ trả lời bao giờ cũng rất chính xác, nhưng lại không giúp được gì cả!''
Chuyện vui Toán học: Câu chuyện số 2
E - Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
Đưa thừa số vào trong dấu căn:
Với A ³ 0, ta có: 
Với A < 0, ta có: 
Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn:
 với A.B ³ 0, B ¹ 0
Trục căn thức ở mẫu:
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử tồi rút gọn cho nhân tử chung chứa căn thức (nếu có).
Trường hợp mẫu là biểu thức dạng tích các căn thức và các số:
Nếu mẫu là một biểu thức dạng tổng có chứa căn, nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu:
F	 với A ³ 0 , A ¹ B2
F	 với A ³ 0, B ³ 0, A ¹ B2
Đưa nhân tử ra ngoài dấu căn:
1.	a)	b)	
c)	0,1	d)	- 0,05
2.	a)	 với x>0	b)	
c)	 với x > 0	d)	 với y > 0
Đưa nhân tử vào trong dấu căn:
1.	a)	b)	
c)	d)	
2.	a)	b)	 với x ³ 0	
c)	 với x 0
So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a)	và 	b)	20 và 	
c)	 và 	d)	 và 	
e)	và 	f)	
g)	 và 	
h)	 và 	
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
a)	, , , 	b)	, , , 
Rút gọn các biểu thức sau:
1.	a)	b)	 
c)	 (a ³ 0)	d)	 (b³0)
2.	a)	b)	
c)	d)	
3.	a)	 	b)	
c)	d)	
4.	a)	b)	
5.	a)	b)	
c)	d)	
6.	a)	b)	
7.	a)	với x > 0,5	
b)	 với x, y > 0 và x ¹ y
Rút gọn các biểu thức sau:
a)	b)	
c)	d)	
e)	f)
g)	h)	
Rút gọn các biểu thức sau (biết a > 0, b > 0):
a)	
b)	
c)	
Thực hiện các phép tính sau:
1.	a)	b)	c)	
d)	e)	f)	
2.	a)	b)	c)	
3.	a)	b)	
c)	d)	
e)	f)	
g)	h)	
4.	a)	
b)	
c)	
Chứng minh các số sau đây là số nguyên:
a)	 	
b)	
c)	
Chứng minh các số sau đây là số dương:
a)	
b)	
Chứng tỏ rằng các số sau là số hữu tỉ:
a)	b)	
Các số sau đây có căn bậc hai không ?
a)	
b)	
c)	
Tìm x biết:
a)	b)	
c)	d)	
Giải các phương trình sau:
1.	a)	b)	
2.	a)	b)	
Khử mẫu của các biểu thức dưới dấu căn (giả thiết rằng các biểu thức đã cho có nghĩa):
a)	;	;	;	;	
b)	;	;	;	;	
c)	;	;	;	;	
Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau (giả thiết rằng các biểu thức đã cho có nghĩa):
a)	;	;	;	;	
b)	;	;	;	;	
c)	;	;	;	.
d)	;	;	;	.	
e)	;	.
Phân tích thành nhân tử:
a)	b)	
Giải phương trình:
a)	b)	c)	
Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số:
a)	b)	 
Với n là số tự nhiên, chứng minh: 
Áp dụng tính: 
Cho các biểu thức :
; 
a)	Tính giá trị của A.	b)	Chứng minh rằng B > 8. 	
Rút gọn các biểu thức sau:
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
Do not worry about your difficulties in Mathematics. I can assure you mine are still greater.
Albert Einstein
Danh ngôn học tập
F - Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai
Cho x ³ 0, y ³ 0. Ta có các công thức biến đổi sau:
; 
Chứng minh các đẳng thức sau:
a)	 với x > 0, x ¹ 1	
b)	 với x, y > 0
Rút gọn:
 	với x ³ 0
 	với x ³ 0, y ³ 0 và x ¹ y
 	(với a ³ 0, b ³ 0, a ¹ b)
 	(với a > 0, b ³ 0, a ¹ b)
	(với a > 0)
 	(với x ³ 0, y ³ 0, x ¹ y)
	(với xy ³ 0, x ¹ y)
 	(với a ³ 0, b ³ 0, a ¹ b)
 	(với x ³ 0, y ³ 0, x ¹ y)
 	(với x > 0, x ¹ 1)
 	(với x > 0, x ¹ 1)
 	(với a > 0, a ¹ 1)
 	(với x ³ 0, x ¹ 4)
 	(với x ³ 0, y ³ 0, x ¹ y)
	(với a ³ 0, b ³ 0, a ¹ b)
 	(với x ³ 0, x ¹ 1)
 	(với x > 0, y > 0, xy ¹ 1)
	(với x ³ 0, y ³ 0, x ¹ y)
 	(với x > 0, x ¹ 4)
 	(với x ³ 0, x ¹ 16
Cho.
Tính 
Rút gọn các biểu thức sau:
a)	 với a > 0 và b > 0
b)	 với m > 0 và x > 1
Rút gọn rồi so sánh giá trị của biểu thức sau với 1:
 với a > 0 và a ¹ 1
Giải các phương trình sau:
1.	a)	
b)	
c)	
d)	.
2.	a)	b)	
c)	d)	
e)	f)	
g)	h)	.
3.	a)	b)	
c)	d)	
e)	f)	
g)	h)	.
4.	a)	
b)	
c)	
d).
5.	a)	
b)	
c)	
d)	
Chứng minh đẳng thức sau:
2.	a)	 với x > 0
b)	 với a > 0 và a ¹ 1
c)	 với a + b > 0 và b ¹ 0
Cho biểu thức:	
Rút gọn P nếu x ³ 0 và x ¹ 4.
Tìm x để P = 2. 
Cho biểu thức:	
Chứng tỏ rằng Q xác định với a > 0, a ¹ 4 và a ¹ 1.
Tìm giá trị của a để Q dương. 
Cho biểu thức: 
Tìm điều kiện xác định và rút gọn Q.
Tìm các giá trị của x để Q < - 1.
Tìm các giá trị của x Î Z sao cho 2Q Î Z. 
Với 3 số a, b, c không âm. Chứng minh:
Hãy mở rộng kết quả trên cho trường hợp 4 số, 5 số không âm.
G - Căn bậc ba
Định nghĩa:
Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a
Tính chất:
Với b ¹ 0, ta có 
Tính:
a)	;	;	;	;	.
b)	;	;	;	;	.
So sánh:
a)	5 và 	b)	 và 	
c)	 và 	d)	33 và 
Giải các phương trình sau:
a)	b)	
Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số:
a)	b)	 
Chứng minh rằng với a, b kất kỳ thì:
a)	b)	c)	
Trong cách học, phải lấy tự học làm cốt.
Hồ Chí Minh
Danh ngôn học tập
H - Ôn tập chương 1
Tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp:
a)	b)	
c)	d)	
Rút gọn các biểu thức sau:
a)	
b)	
c)	
d)	
e)	
f)	
g)	
h)	
i)	
j)	
k)	
l)	
m)	
n)	
o)	
p)	
Phân tích thành nhân tử (với x, y, a, b dương và a > b)
a)	3 + + 9 – x	b)	xy + y + + 1
c)	d)	
Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
a)	 với a = - 9	
b)	 với m < 0
c)	 với a = 	
d)	 với x = 
Rút gọn các biểu thức sau:
A = 
B = 
C = 
D = 	với a > 0, x > 0.
Giải các phương trình sau:
a)	b)	
c)	d)	
Chứng minh các đẳng thức sau:
1.	a)	
b)	
c)	
d)	
e)	
2.	a)	 (với a, b > 0 và a ¹ 0)
b)	 (với a > 0 và a ¹ 1)
c)	 (với a, b > 0 và a ¹ b
d)	 (với a, b > 0 và a ¹ b)
Tìm x nguyên để nhận giá trị nguyên.
a)	Chứng tỏ: 
b)	Tìm điều kiện xác định và rút gọn: 
Cho các biểu thức:	 và 
Tìm điều kiện xác định của A và B.
b)	Chứng tỏ A ³ 1 và B ³ 	
c)	Tìm x để A = 1, B = 2. 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a)	A = 	b)	B = 	
c)	C = 	d)	D = 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a)	A =	b)	B = 	
c)	P = 	d)	Q = x – 2.
Cho biểu thức: . Chứng tỏ ½A½ = 0,5 với x ¹ 0,5.
Cho với a > b > 0
a)	Rút gọn Q	
b)	Tìm giá trị của Q khi a = 3b. 
Cho biểu thức: 
Tìm điều kiện để A có nghĩa.
Khi A có nghĩa, chứng tỏ giá trị A không phụ thuộc vào a. 
Cho biểu thức:
 với x ³ 0 và x ¹ 1
a)	Rút gọn Q.	
b)	Tìm giá trị của x để Q = 3. 
Cho biểu thức:	
 với x ³ 0 và x ¹ 9.
a)	Rút gọn C	
b)	Tìm giá trị của x để C < - 1. 
Cho biểu thức:	.
Phân tích biểu thức A thành nhân tử.
Tính giá trị của A khi . 
Cho biểu thức: .
a)	Tìm điều kiện xác định của B.	
b)	Rút gọn B.
c)	Tính giá trị của B khi x = 10 – 	
d)	Tìm giá trị nhỏ nhất của B. 
Cho biểu thức: .
a)	Tìm điều kiện xác định của C.	
b)	Rút gọn B.
c)	Tìm giá trị lớn nhất của C. 
Cho biểu thức: .
a)	Tìm điều kiện xác định của P.	
b)	Rút gọn P.
c)	Tính giá trị của P khi 	
d)	Giải phương trình : P = 16. 
Cho biểu thức: .
a)	Tìm điều kiện xác định của Q.	
b)	Rút gọn Q.
c)	Tính giá trị của Q khi x = 4 + 
d)	Giải bất phương trình : Q > 1. 
Cho biểu thức: .
a)	Rút gọn A.	
b)	Biết a > 0, hãy so sánh A với½A½
c)	Tìm a để A = 2
d)	Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 
Cho biểu thức: .
a)	Tìm điều kiện xác định của B.	
b)	Rút gọn B.
c)	Tính giá trị của B khi 
d)	Tìm giá trị của a để : . 
Cho biểu thức: .
a)	Rút gọn M.	
b)	Tìm giá trị của M nếu 
c)	Tìm điều kiện của a, b để M < 1.	 
Cho biểu thức: .
a)	Tìm điều kiện xác định của P.	
b)	Rút gọn P.
c)	Tính giá trị lớn nhất của P. 	
d)	Chứng minh: nếu 0 0. 
Cho biểu thức: .
a)	Tìm điều kiện xác định của Q.	
b)	Rút gọn Q.
c)	Tìm các giá trị của x để Q < 1	
d)	Tìm x Î Z sao cho Q Î Z. 
Cho biểu thức: 
.
a)	Tìm điều kiện xác định của Q.	b)	Rút gọn Q.
c)	So sánh Q với 	d)	Chứng minh Q ³ 0. 
Cho biểu thức: .
a)	Tìm ĐKXĐ và rút gọn M 	b)	Tìm x Î Z sao cho M Î Z. 
Cho biểu thức: .
a)	Tìm điều kiện xác định của P	b)	Rút gọn P.
c)	Giải phương trình P =	d)	So sánh P với . 
Cho biểu thức: 
.
a)	Tìm ĐKXĐ và rút gọn Q 	b)	Tìm x để Q < 1. 
Cho biểu thức: .
a)	Rút gọn M.	b)	Chứng minh: M £ 1. 
Cho biểu thức: . 
Hãy rút gọn A = 1 – . 
HƯỚNG DẪN GIẢI:
CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
CĂN BẬC HAI
Điền vào ô trống trong bảng sau:
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
x2
Hướng dẫn giải:
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
x2
121
144
169
256
225
256
289
324
361
400
Tìm căn bậc hai số học rồi suy ra căn bậc hai của các số sau:
a)	121	b)	144	c)	169	d)	225
e)	256	f)	324	g)	361	h)	400
i)	0,01	j)	0,04	k)	0,49	l)	0,64
m)	0,25	n)	0,81	o)	0,09	p)	0,16	
Hướng dẫn giải:
Số
121
144
169
225
256
324
361
400
0,01
CBH
11; -11
12 ;-12
13 ;-13
15; -15
14; -14
18; -18
19; -19
20; -20
0,1;-0,1
CBHSH
11
12
13
15
14
18
19
20
0,1
Số
0,04
0,49
0,64
0,25
0,81
0,09
0,16
CBH
0,2;-0,2
0,7;-0,7
0,8;-0,8
0,5;-0,5
0,9;-0,9
0,3;-0,3
0,4;-0,4
CBHSH
0,2
0,7
0,8
0,5
0,9
0,3
0,4
DƯỚI ĐÂY LÀ TRÍCH ĐOẠN 1 PHẦN TÀI LIỆU TOÁN THCS. ĐỂ MUA TRỌN BỘ WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS (TỪ LỚP 6 TỚI LỚP 9) CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT GIÁ CHỈ 300K. LH O937.351.1O7 (CÓ ZALO)
Tính:
a)	b)	c)	d)	
e)	f)	g)	
Hướng dẫn giải:
a)	b)	không có 	c)	d)	
e)	f)	g)	
Trong các số sau, số nào có căn bậc hai:
a)	b)	1,5	c)	- 0,1	d)	
Hướng dẫn giải:
a)	b)	1,5: Vì các số đó là các số không âm.
Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có căn bậc hai:
a)	(x – 4)(x – 6) + 1	b)	(3 – x)(x – 5) – 4 
c)	- x2 + 6x – 9	d)	- 5x2 + 8x – 4	
e)	x(x – 1)(x + 1)(x + 2) + 1 	f)	x2 + 20x + 101
Hướng dẫn giải:
Biểu thức a; e,f có căn bậc hai vì
a)	(x – 4)(x – 6) + 1= (x+5)2	 b)	(3 – x)(x – 5) – 4 = -(x2- 8x+19)<0
c)	- x2 + 6x – 9= - (x-3)2	 d)	- 5x2 + 8x – 4= 	-5. [}<0
e)	x(x – 1)(x + 1)(x + 2) + 1 = (x2+x-1)2 	 f)	x2 + 20x + 101= (x+10)2+ 1
So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a)	1 và 	b)	2 và 	c)	6 và 	
d)	7 và 	e)	2 và 	f)	1 và - 1	
g)	2 và 10	h)	 và -12	i)	-5 và -	
j)	2 và 	k)	 và 	l)	 và 
m)	2 + và 5	n)	7 – 2 và 4	o)	+ và 7	
p)	 và 6– 	q)	 và 
Hướng dẫn giải:
1 và 
Vì 1 < 2 nên 1< 
b) 2 và 
Vì 2 = và > 	nên 2 > 
6 và 
Vì 6 = và < nên 6 < 
d)	7 và 	Vì 7 = và <	nên 7 < 
2 và . 
Vì 2= 1+1 và 1< nên 1+1 < +1 . Vậy 2 < 	
1 và - 1
Vì 1= 2 – 1 = 	nên . Vậy 1 > - 1
2 và 10
Vì 10 = 2. 5 = 	nên . Vậy 2 > 10
h)	 và -12
Vì >0 và -12 -12
-5 và -	
Vì – 5 = nên . Vậy -5 > -
2 và 
Vì 	nên 
k)	 và .	Vì = nên >. Vậy < 
l)	 và . Vì và nên < . 
Vậy <. 
m)	2 + và 5. Vì 5 = 2 +3 = > 2 + nên 	2 + < 5
n)	7 – 2 và 4. Vì 4 = 7 – 3 = và 7 – 2 nên < . 
Vậy 7 – 2 > 4
o)	+ và 7
Ta có: 7 = 4+3 = nên +< 	. Vậy + < 7
p)	 và 6– 
Ta có: 6–= 6–
q)	 và 	
Dùng kí hiệu viết nghiệm của các phương trình đưới đây, sau đó dùng máy tính để tính chính xác nghiệm với 3 chữ số thập phân.
a)	x2 = 2	b)	x2 = 3	c)	x2 = 3,5	d)	x2 = 4,12
e)	x2 = 5	f)	x2 = 6	g)	x2 = 2,5	h)	x2 = 
Hướng dẫn giải:
a) x2 = 2 nên x = 	
b)	x2 = 3 nên x = 
c)	x2 = 3,5 nên x = 	
d)	x2 = 4,12 nên x = 
e)	x2 = 5 nên x =
f)	x2 = 6 nên x = 
g)	x2 = 2,5 nên x = 
h)	x2 = nên x = 
Giải các phương trình sau:
a)	x2 = 25	b)	x2 = 30,25	c)	x2 = 5	
d)	x2 – = 	e)	x2 - 5 = 0	f)	x2 += 2	
g)	x2 = 	h)	2x2+3=2	i)	(x – 1)2 = 1 	
j)	x2 = (1 – )2	k)	x2 = 27 – 10	l)	x2 + 2x =3 –2 
Hướng dẫn giải:
x2 = 25
=> x = 5 hoặc -5	
b)	x2 = 30,25
=> x = 5,5 hoặc – 5,5	
c)	x2 = 5
	=> x = hoặc - 
d)	x2 – = 
=> x2 = + 
=> x = hoặc -
e)	x2 - 5 = 0
 => x2 = 5
	=> x = hoặc - 
f)	x2 += 2
=> x2 = 2 - < 0
=> x thuộc rỗng.	
g)	x2 = 
	=> x = hoặc - 	
h)	2x2+3=2	
=> 2x2 = 2- 3 < 0
=> x thuộc rỗng.
i)	(x – 1)2 = 1 	
=> (x – 1)2 = 
=> x = 2,25 hoặc x= -0,25
j)	x2 = (1 – )2
=> x = 1 – hoặc -1	
k)	x2 = 27 – 10
	=> x = 5 – hoặc - 5
l)	x2 + 2x =3 –2 
=> ( x +1)2= (1 – )2
=> x +1= 1 – hoặc x +1= -1
=> x = - hoặc x = - 2
Giải phương trình:
a)	 = 3	b)	 = 	c)	 = 0	d)	 = -2
Hướng dẫn giải:
a)	 = 3 ( ĐK:)
=> x = 9 (™)
b)	 = ( ĐK:) 
=> x = 5 (™)	
c)	 = 0	( ĐK:)
=> x = 0 (™)
d)	 = -2( ĐK:) 
=> x thuộc rỗng.
Trong các số: , , , - thì số nào là căn bậc hai số học của 49 ?
Hướng dẫn giải:
Căn bậc hai số học của 49 = 
Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng:
a)	Nếu a > b thì 	b)	Nếu thì a > b
Hướng dẫn giải:
Nếu a > b thì .
Do a, b không âm và a >b nên a >0
Ta có: a – b = 
Vì a > b nên a – b >0. Do đó: 	hay 
Nếu thì a > b
Do a, b không âm và a >b nên a >0
Ta có: a – b = 
Vì nên . Do đó: a – b > 0 nên a > b.
Cho số dương a. Chứng minh rằng:
a)	Nếu a > 1 thì 	b)	Nếu a < 1 thì 
Hướng dẫn giải:
Nếu a > 1 thì 	
Ta có: 1= . Theo KQ bài 1.11 ta có: a > b thì .
a > 1 thì 
Nếu a < 1 thì .
Do a, b không âm và a 0
Ta có: a – b = 
Vì a < b nên a – b <0. Do đó: 	hay 
Vậy nếu a < b thì 
Thay b = 1 ta có : a < 1 thì .
Cho số dương a. Chứng minh rằng:
a)	Nếu a > 1 thì a > 	b)	Nếu a < 1 thì a < 
Hướng dẫn giải:
Nếu a > 1 thì a > .
Theo kq bài 12a có: a > 1 thì (1).
Nhân và hai vế (1) ta có a > 
Vậy a > 1 thì a > .	
Nếu a < 1 thì a < .
Theo kq bài 12b có: a < 1 thì (1).
Nhân và hai vế (1) ta có a < 
Vậy a < 1 thì a <.
B - Căn thức bậc hai. Hằng đẳng thức 
Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
1.	a)	b)	
c)	d)	
e)	f)	
g)	h)	
i)	j)	
k)	l)	
m)	n)	
o)	P)	
Hướng dẫn giải
Biểu thức có nghĩa khi
Biểu thức đã cho có nghĩa khi 
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
Biểu thức đã cho có nghĩa khi 
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
Mà nên 
Biểu thức đã cho có nghĩa khi 
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
2.	a)	b)	
c)	d)	
e)	f)	
Hướng dẫn giải
Biểu thức đã cho có nghĩa khi 
vì ta luôn có 
Biểu thức đã cho có nghĩa khi 
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
3.	a)	b)	
c)	d)	
e)	f)	
Hướng dẫn giải:
Biểu thức đã cho có nghĩa khi 
Biểu thức đã cho có nghĩa khi 
Biểu thức đã cho có nghĩa khi 
4.	a)	b)	
c) 	d)	
Hướng dẫn giải
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
Biểu thức đã cho có nghĩa khi
Tính
a)	5	b)	- 4	
c)	5	d)	
e)	f)	
g)	h)	2+ 3
Hướng dẫn giải:
Chứng minh rằng:
a)	b)	
c)	d)	
Giải 
Ta có:
Thật vậy:
Ta có:
Ta có:
Rút gọn biểu thức:
1.	a)	b)	
c)	d)	
e)	f)	
g)	h)	
giải:
Ta có:
Ta có:
Ta có:
Ta có:
Ta có:
Ta có:
Ta có:
Ta có:
2.	a)	b)	
c)	d)	
e)	f)	
g)	h)	
giải:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f)
g)
h)Ta có: 
3.	a)	b)	
c)	d)	
e)	f)	
g)	h)	
giải
Ta có:
Ta có:
Ta có:
Ta có:
Ta có:
f)Ta có:
Ta có: 
h)Ta có: 
4.	a)	b)	
c)	d)	
giải:
ta có:
ta có:
ta có:
ta có:
5.	a)	b)	
Giải:
ta có
ta có
Rút gọn biểu thức sau (loại bỏ dấu căn và dấu trị tuyệt đối):
1.	a)	 với x < 0	b)	 với x ³ 0	
c)	 với x < 2	d)	- 5x với x < 0	
e)	 với x ³ 0	f)	 với x bất kỳ
g) 	với x > 4	
giải:
Ta có:
Ta có:
Ta có:
Ta có:
Ta có:
Ta có:
Ta có:
2.	a)	A = 	b)	B = 
c)	C = 	d)	D = 
e)	E = 	f)	F = 
giải:
Ta có:
Ta có:
Ta có: đkxđ:
Ta có:đkxđ:
Ta có:đkxđ:
Ta có:
Chứng tỏ: với x ³ 2
Áp dụng rút gọn biểu thức sau:
với x ³ 2
Thật vậy
Ta có:
Rút gọn biểu thức sau (loại bỏ dấu căn và dấu trị tuyệt đối):
a) 	với x ³ 4	
b)	với x ³ 3	
c)	với x ³ 1 
d)	với x ³ 0
giải:
Ta có:
Ta có:
Ta có
Ta có