Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9: Định lý Ceva và Menelaus

CHUYÊN ĐỀ: ĐỊNH LÝ CEVA VÀ MENELAUS
A. MỤC TIÊU
- HS hiểu được định lí Menelaus và định lí Ceva. Giải các bài toán vận dụng hai định lí này.
- Hình thành và phát triển năng lực tính toán, năng lực chứng minh hình học, năng lực ứng dụng hai định lí Menelaus và Ceva vào chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh ba đường thẳng đồng quy.
- Hình thành và phát triển phẩm chất chăm chỉ, trách nhiệm.
B. NỘI DUNG
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định lý Menelaus (Nhà toán học cổ Hy Lạp, thế kỷ I sau công nguyên)
Cho tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho trong chúng hoặc không có điểm nào, hoặc có đúng 2 điểm thuộc các cạnh của tam giác ABC. Khi đó A’, B’, C’ thẳng hàng khi và chỉ khi 
Chứng minh
* Trường hợp 1: Trong 3 điểm A’, B’, C’ có đúng 2 điểm thuộc cạnh tam giác ABC. Giả sử là B’, C’ 
 Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng B’C’ tại M.
Ta có: . Vậy 
 Gọi A’’ là giao của B’C’ với BC. 
Áp dụng định lý Menelaus (phần thuận) ta có 
mà nên . Do B’, C’ lần lượt thuộc cạnh CA, AB 
nên A’’ nằm ngoài cạnh BC.
Vậy và A’, A’’ nằm ngoài cạnh BC suy ra . Do đó A’, B’, C’ thẳng hàng.
 * Trường hợp 2: Trong 3 điểm A’, B’, C’ không có điểm thuộc cạnh tam giác ABC được chứng minh tương tự.
2. Định lý Ceva (Nhà toán học Ý, 1647-1734)
Cho tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó AA’, BB’, CC’ đồng quy khi và chỉ khi .
Chứng minh
 Qua A kẻ đường thẳng song song
 với BC cắt đường thẳng BB’, CC’ tại M, N. 
Ta có: .
Vậy ta có 
 Gọi I là giao của BB’ và CC’. Giải sử AI cắt BC tại A’’, suy ra A’’ cũng thuộc BC. 
Theo định lý Ceva (phần thuận) ta có mà 
nên . Từ đó suy ra . Do đó AA’, BB’, CC’ đồng quy 
Định Lý Ceva (CHUNG)
Cho tam giác ABC. D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng các mệnh đề sau là tương đương:
. AD, BE, CF đồng quy tại một điểm. 
. .
. .
Chứng minh:	
Chúng ta sẽ chứng minh rằng 1.1 dẫn đến 1.2, 1.2 dẫn đến 1.3, và 1.3 dẫn đến 1.1.
Giả sử 1.1 đúng. Gọi P là giao điểm của AD, BE, CF. Theo định lý hàm số sin trong tam giác APD, ta có:(1)Tương tự, ta cũng có: (2)
	(3)
Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta được 1.2.
Giả sử 1.2 đúng. Theo định lý hàm số sin trong tam giác ABD và tam giác ACD ta có:Do đó: (4)
Tương tự, ta cũng có:(5)
	(6)
Nhân từng vế của (4), (5), (6) ta được 1.3. 
Giả sử 1.3 đúng, ta gọi 
Theo 1.1 và 1.2, ta có: hay: 
Do đó:.
II. CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Cho DABC có trung tuyến AM. Trên AM lấy I sao cho AI = 4MI. Đường thẳng BI cắt AC tại P. Chứng minh rằng: PA = 2PC
Lời giải.
Áp dụng định lí Menelaus cho DAMC với cát tuyến BIP ta có: 
Suy ra: nên PA = 2PC
Nhận xét: Việc áp dụng định lí Menelaus cho bài toán này dẫn đến lời giải hay và rất ngắn gọn.
Bài 2. Cho DABC. Gọi D là trung điểm của BC, E và F lần lượt là hai điểm nằm trên AB, AC sao cho AD, BF, CE đồng quy. Chứng minh rằng EF // BC
Lời giải.
Áp dụng định lí Ceva cho DABC với các đường đồng quy là AD, BF và CE ta có Vì BD = CD nên 
suy ra Vậy theo định lí Ta-lét ta có: EF // BC	
Nhận xét: Trong bài tập trên nếu dùng các 
dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song 
thông thường dùng thì rất khó khăn trong chứng minh. Ở đây ta dùng định lí Ceva sẽ dẫn đến tỉ số có lợi là và áp dụng định lí Ta-let để thu được kết quả hay và ngắn gọn.
Bài 3. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P, Q lần lượt là các tiếp điểm của (O) với AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng: Các đường thẳng NP, MQ, BD đồng quy.	
Lời giải.
Gọi I là giao của QM và BD. 
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD
với 3 điểm Q, M, I thẳng hàng ta có mà MA = QA nên suy ra . 
Ta có MB = NB, DQ = DP, PC = NC 
nên , do đó theo định lý Menelaus thì I, N, P thẳng hàng.
Bài 4. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O). MN là một đường kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với A, B). Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D. Gọi I là giao điểm của CO và BM. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F. Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng.
(Trích Câu 5.d Đề HSG Phú Thọ 2010-2011)
Lời giải.
Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác ACO với ba điểm thẳng hàng là B, I, M ta có: 
 	(1)
Tương tự với tam giác BCO và ba điểm thẳng hàng là A, I, F ta có: 	(2)
Từ (1) và (2) ta có . Do đó MF // AB (định lí Ta lét đảo) mà AB BC MF BC Ta có (cùng phụ với góc EAB); 
 (tứ giác AMEB nội tiếp) Tứ giác MEFC nội tiếp 
 . Do đó: ME EC (3). Lại có (chắn nửa đtròn) ME EN (4). Từ (3) và (4) suy ra C, E, N thẳng hàng.
Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC, . Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C. Gọi P là giao điểm của đường thẳng BC và EF. Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S. Chứng minh:
a) Tứ giác BQCR nội tiếp.
b) và D là trung điểm của QS.
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC. 
D
M
P
Q
R
S
E
F
H
A
B
C
(Trích Đề thi vào lớp Chuyên Toán, Vĩnh Phúc 2013-2014)
Lời giải.
a) Do nên Q nằm trên tia đối 
của tia BA và R nằm trong đoạn CA, 
từ đó Q, C nằm về cùng một phía của 
đường thẳng BR.
Do tứ giác BFEC nội tiếp nên ,
Do QR song song với EF nên 
Từ đó suy ra hay tứ giác BQCR nội tiếp.
b) Tam giác DHB đồng dạng tam giác EHA nên 
Tam giác DHC đồng dạng tam giác FHA nên 
Từ hai tỷ số trên ta được 
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến PEF ta được:
 Từ (1) và (2) ta được 
Do QR song song với EF nên theo định lí Thales .
Kết hợp với (3) ta được hay D là trung điểm của QS.
c). Gọi M là trung điểm của BC. Ta sẽ chứng minh .
Thật vậy, do tứ giác BQCR nội tiếp nên (4).
Tiếp theo ta chứng minh 
 (đúng theo phần b). Do đó 
Từ (4) và (5) ta được suy ra tứ giác PQMR nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC.
Bài 6. Cho tam giác có Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho Giả sử đường thẳng đi qua và trung điểm của đoạn thẳng cắt đường thẳng tại 
a) Chứng minh rằng đường thẳng chia đôi góc 
b) CMR: (Trích Đề thi vào lớp Chuyên Tin, Vĩnh Phúc 2011-2012)
Lời giải.
a) Gọi là trung điểm là giao điểm
của các đường thẳng 
Ta sẽ chứng minh 
Áp dụng định lý Ménélaus cho với cát tuyến ta có: 
Lấy sao cho DI //AB
Khi đó do hai tam giác đồng dạng nên Do cân, nên cân, hay suy ra: 
Do là trung điểm của nên do đó 
Vậy điều phải chứng minh.
b) Đặt Ta sẽ chứng minh Thật vậy: Trong tam giác có suy ra 
 (1)
Do th/ hàng nên và do đó (2) 
Từ (1) và (2) suy ra , điều phải chứng minh.
Bài 7. Cho tam giác ABC, gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường phân giác của góc BCA, N và L lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và C xuống đường phân giác của góc ABC. Gọi F là giao của MN và AC, E là giao của BF và CL, D là giao của BL và AC. Chứng minh rằng DE song song với MN
Lời giải.
Kéo dài AM cắt BC tại G, kéo dài AN cắt BC
tại I, kéo dài CL cắt AB tại J. 
Khi đó AM = MG. AN = NI suy ra MN và BC song song với nhau	 (1)
Vì AM = MG nên AF = FC. 
Gọi H là giao của LF và BC, ta có BH = CH.
Trong tam giác BLC có BE, LH, CD cắt nhau tại F, theo định lý Ceva ta có . Vì BH = CH nên , suy ra DE // BC 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra MM song song với DE.
Bài 8. Cho DABC lấy E, F, M thứ tự trên cạnh AC, AB sao cho EF//BC, MB = MC. Chứng minh CF, BE , AM đồng quy.
Lời giải.
 Cách 1: (Chứng minh đồng quy) Gọi AM Ç EF = K 
Theo định lý Talét ta có: ; ; 
và Suy ra ..= 1
Áp dụng định lý Ceva cho DABC ta có CF, BE , AM đồng quy.
E
A
F
M
B
C
N
I
Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đường thẳng // BC cắt BE tại N, AM Ç BE = I 
Ta có =; =2; =
Suy ra ..=.2. =1
Áp dụng định lý Menelaus cho DABM thì F, I, C thẳng hàng. Từ đó suy ra CF, BE , AM đồng quy.
A
F
M
B
C
K
E
Bài 9. Cho đường tròn nội tiếp DABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Chứng minh AD, BE, CF đồng quy. 
Lời giải.
Cách 1: (Chứng minh đồng quy)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
AF = AE; BF = BD; CE = CD	
Suy ra ..=..=1
Áp dụng định lý Ceva cho DABC suy ra AD, BE, CF đồng quy. 
Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đt song song với BC cắt CF tại N
AD Ç CF = I. Ta có :
B
C
F
A
E
D
B
C
F
A
E
D
I
N
..=..=.==1 
Áp dụng định lí Menelaus cho DACD thì AD, BE, CF đồng quy.
A
B
C
D
M
N
H
E
Bài 10. Cho tam giác ABC đường cao AH. Lấy D,E thứ tự trên AB, AC sao cho AH là phân giác góc DHE. Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy.
Lời giải.
Cách 1: (Chứng minh đồng quy)
Từ A kẻ đt // BC cắt HE, HD tại M và N
Vì HA là phân giác của góc A, HA là đường cao nên AM = AN. Ta có: ; 
 Þ 
Áp dụng định lý Ceva cho DABC suy ra AH, BE, CD đồng quy.
Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng)
A
B
C
D
M
N
H
E
K
I
Từ A kẻ đt // BC cắt HD, HE, BE lần lượt tại M, N, K. 
Gọi AH Ç BE = I Ta có: == và 
Þ.== ==1
Áp dụng định lí Menelaus cho DABH thì D, I, C 
thẳng hàng. Vậy AH, BE, CD đồng quy.
Bài 11. Cho DABC vuông tại A, đường cao AK. Dựng bên ngoài tam giác những hình vuông ABEF và ACGH. Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy.
Lời giải.
H
A
B
G
E
C
K
D
I
F
Cách 1: (Chứng minh đồng quy)
Gọi D = AB Ç CE, I = AC Ç BG
Đặt AB = c, AC = b. 
Ta có c2 = BK.BC; b2 = CK.BC 
Þ = và =; = 
(do DAIB ~ DCIG)
Þ ..=..=1
Áp dụng định lý Ceva cho DABC thì AK, BG, CE đồng quy
Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng)
H
A
B
G
E
C
K
D
I
F
M
O
Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BG tại M. AK Ç BG tại O.
Ta có =; = suy ra ..=.. 
= ..=..=.=1
Áp dụng định lý Menelaus cho DABK 
thì D, O, C thẳng hàng.
Vậy AK, BG, CE đồng quy