Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 9: Hệ thức vi-et

ĐS9-CHUYÊN ĐỀ 9.HỆ THỨC VI-ÉT
PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
A. Kiến thức cần nhớ 
1. Hệ thức Vi-ét
Ÿ Nếu là hai nghiệm của phương trình thì:
Ÿ Nếu phương trình có thì phương trình có một nghiệm là , còn nghiệm kia là 
Ÿ Nếu phương trình có thì phương trình có một nghiệm là , còn nghiệm kia là 
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Ÿ Nếu hai số đó có tổng bằng và tích bằng thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình 
Điều kiện để có hai số đó là: 
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho phương trình ( là ẩn số).
a) Tìm để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
(Thi học sinh giỏi Toán 9, TP Hồ Chí Minh năm học 2011 – 2012) 
Giải
Tìm cách giải. Những bài toán liên quan đến dấu của nghiệm phương trình bậc hai bao giờ cũng liên quan đến công thức nghiệm và hệ thức Vi-ét. Cụ thể là:
Ÿ Phương trình có hai nghiệm trái dấu gồm: Phương trình có nghiệm () và thì điều kiện nghiệm chung là: 
Ÿ Phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương gồm: Phương trình có hai nghiệm trái dấu () và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương ()
Trình bày lời giải
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có gái trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương 
.
Vậy với thì phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. 
Ví dụ 2: Cho phương trình: ( là tham số). Tìm để phương trình có hai nghiệm là số đo 2 cạnh của một tam giác vuong có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là (đơn vị độ dài). 
Giải
Tìm cách giải. Bản chất của bài toán gồm 2 bước:
Ÿ Bước 1. Phương trình có hai nghiệm dương 
Ÿ Bước 2. Hai nghiệm là số đo 2 cạnh của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là (đơn vị độ dài) thì thỏa mãn:
Trình bày lời giải
 Xét 
Phương trình luôn có hai nghiệm
Để hai nghiệm là số đo hai cạnh của tam giác phương trình có hai nghiệm dương
.
Hai nghiệm là số đo 2 cạnh của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là (đơn vị độ dài)
. Giải ra, ta được: .
Kết hợp điều kiện, ta được thỏa mãn 
Ví dụ 3: Cho phương trình ( là tham số khác 0) có hai nghiệm phân biệt . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hưng Yên, năm học 2011 -2012)
Giải
Phương trình có hai nghiệm phâm biệt khi hay 
 hoặc (*)
Theo Vi-ét: 
Ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương: 
Vậy 
Vậy với thì 
Ví dụ 4: Cho phương trình (với là tham số). Tìm để phương trình đã cho có hai nghiệm và thỏa mãn: 
(Thi học sinh giỏi Toán 9, Tình Phú Thọ năm học 2012 – 2013) 
Giải
* Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 
* Ta có: 
Suy ra: 
Từ đó suy ra: (thỏa mãn điều kiện)
Vậy với thì phương trình có hai nghiệm và thỏa mãn 
Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của sao cho phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt.
(Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Thanh Hóa năm học 2012 – 2013) 
Giải
Cách 1. Ta có (1)
Đặt phương trình có dạng: (2)
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
Cách 2. Ta có (1)
Đặt phương trình có dạng: (3)
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 
Ví dụ 6: Chứng minh rằng nếu và là hai nghiệm của phương trình (1), còn và là hai nghiệm của phương trình (2) thì ta có hệ thức: .
Giải
Theo hệ thức Vi-et ta có: 
Xét 
.
Suy ra Điều phải chứng minh. 
Nhận xét. Nếu chọn và là hai số nguyên sao cho là số chính phương thì ta có kết quả: là số chính phương. Chẳng hạn: cho số nguyên , chứng minh rằng nếu và là hai nghiệm của phương trình (1), còn và là hai nghiệm của phương trình thì ta có là số chính phương.
Ví dụ 7: Cho phương trình (1). Hãy tìm các giá trị nguyên của và sao cho phương trình (1) có nghiệm nguyên phân biệt và nghiệm này gấp 4 lần nghiệm kia
(Thi học sinh giỏi Toàn 9, tỉnh Yên Bái, năm học 2003 – 2004) 
Giải
Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt và 
Ta có: 
Suy ra 
Do đó 
Vậy với thì phương trình (1) có hai nghiệm nguyên ohana biệt và một nghiệm gấp 4 lần nghiệm kia
Ví dụ 8: Gọi là hai nghiệm của phương trình bậc hai . 
Đặt với nguyên dương
a) Chứng mỉnh rằng: 
b) Không khai triển, không dùng máy tính, hãy tính giá trị biểu thức:
.
Giải
a) là nghiệm của phương trình nên ; là nghiệm của phương trình nên 
Suy ra: (1), (2).
Từ (1) và (2) cộng vế với vế, ta được:
Từ đó suy ra: .
b) Đặt: .
Suy ra 
Vậy là nghiệm của phương trình . Áp dụng câu a, ta có:
 (*)
Ta có: .
Áp dụng công thức (*), ta có: 
Ta có: . 
C. Bài tập vận dụng
1. Cho phương trình 
a) Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 
b) Tìm nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.
(Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Quảng Bình năm học 2012 – 2013) 
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Xét , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi 
Gọi là nghiệm của phương trình
Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
Ta có: 
b) Vì nên điều kiện để phương trình có hai nghiệm nguyên:
Đặt 
Từ đó ta có bảng sau:
1
3
5
15
-1
-3
-5
-15
15
5
3
1
-15
-5
-3
-1
Suy ra: 
k
4
2
2
4
-4
-4
-2
-4
m
4
1
0
-3
-3
0
1
4
 Vậy với thì phương trình có nghiệm nguyên 
2. Cho phương trình bậc hai . Tìm để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện 
b) Có đúng một nghiệm dương.
(Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Vĩnh Long năm học 2012 – 2013)
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 
Theo hệ thức Vi-et, ta có: 
 (thỏa mãn ) 
Vậy thì phương trình có 2 nghiệm 
b) Với thì phương trình luôn có nghiệm
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: nên nếu thì phương trình có nghiệm kép là số dương
Nếu phương trình có hai nghiệm trái dấu thì phương trình cũng có một nghiệm dương 
Vậy với hoặc thì phương trình có đúng một nghiệm dương 
3. Cho phương trình 
Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: 
Hướng dẫn giải – đáp số
 và 
Gọi là nghiệm của phương trình: 
* Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 
Ta có: 
 (thỏa mãn), (không thỏa mãn)
Vậy với thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: 
4. Cho phương trình bậc hai với là tham số thực
a) Tìm để phương trình có hai nghiệm 
b) Tìm để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
(Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Vĩnh Long, năm học 2011 – 2012)
Hướng dẫn giải – đáp số
a) 
b) Gọi là nghiệm của phương trình 
Áp dụng hệ thức Vi-ét: 
Ta có: 
Vậy khi và chỉ khi 
5. Cho phương trình bậc hai (1). ( là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi 
b) Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn:
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Với , phương trình có dạng: . Giải ra ta được: 
b) Điều kiện để phương trình có nghiệm là: (*)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
Theo đề bài: 
Thử lại với điều kiện (*) thì không thỏa mãn
Vậy không tồn tại thỏa mãn điều kiện đề bài 
6. Cho phương trình (ẩn )
a) Tìm để phương trình có hai nghiệm dương
b) Gọi là hai nghiệm dương của phương trình
Tính theo và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Quảng Bình, năm học 2011 – 2012) 
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Phương trình có hai nghiệm dương 
Vậy thì phương trình có hai nghiệm dương
b) Với thì phương trình có hai nghiệm dương
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
Xét: . Vì nên 
Ta có: 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 3 khi 
7. Cho phương trình (1)
a) Tìm để phương trình có hai nghiệm dương.
b) Gọi là hai nghiệm dương của phương trình (1). Tìm nguyên dương để có giá trị nguyên. 
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Phương trình có hai nghiệm dương
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
Ta có: 
Ư(9)
Vì nguyên dương nên , suy ra:
-3
-1
1
3
9
1
2
3
4
7
 Vậy với thì nhận giá trị nguyên 
8. Cho phương trình (1) và (2) (với )
a) Chứng minh rằng phương trình (1) và (2) cùng có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm
b) Với giả thiết phương trình (1) có nghiệm và phương trình (2) có nghiệm là: và . Chứng minh rằng 
c) Trong trường hợp phương trình (1) và (2) đều vô nghiệm, chứng minh rằng 
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Cả hai phương trình đều có: , nên cả hai phương trình (1) và (2) cùng có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm
b) Trong trường hợp hai phương trình trên có nghiệm. Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Xét: nên 
c) Trong trường hợp phương trình vô nghiệm, ta có: 
Mặt khác ta có: , nên:
 (vì ) 
9. Cho là số tự nhiên khác 0. Gọi là hai nghiệm của phương trình ; là hai nghiệm của phương trình . Chứng minh rằng tích là một số chính phương.
(Thi học sinh giỏi Toán, TP Hà Nội, năm học 2006 – 2007) 
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: 
Từ (1); (2) theo hệ thức vi-ét, ta có: 
 (vì )
Mà 
Suy ra (*) 
Điều phải chứng minh 
10. Tìm để phương trình có nghiệm dương 
(Thi học sinh giỏi lớp 9, Thừa Thiên Huế, vòng 1, năm học 2003 – 2004) 
Hướng dẫn giải – đáp số
Khi , phương trình trở thành: 
Khi thì PT: (1) là phương trình bậc hai
Gọi là tổng và tích các nghiệm của phương trình (1)
Phương trình (1) có nghiệm dương trong các trường hợp sau:
Ÿ , khi đó . Suy ra hệ vô nghiệm
Ÿ , khi đó 
Ÿ , khi đó . Suy ra 
Đáp số: 
11. Cho phương trình: 
a) Xác định để phương trình có hai nghiệm
b) Gọi hai nghiệm của phương trình trên là . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
(Thi học sinh giỏi Toán 9, TP Hồ Chí Minh, năm học 2003 – 2004) 
Hướng dẫn giải – đáp số
a) 
Xét 
Phương trình có 2 nghiệm 
b) 
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 
Vì nên và 
Do đó 
Vậy giá trị lớn nhất của là , đạt được khi và chỉ khi 
12. Cho phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Hướng dẫn giải – đáp số
Gọi là hai nghiệm của phương trình đã cho
Theo định lí Vi-ét ta có: 
Khi đó 
Do 
Vậy 
Đẳng thức xảy ra khi hoặc 
 hoặc 
Vậy, hoặc 
13. Cho phương trình ( là ẩn số).
Tìm để phương trình có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện: 
(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên Quốc Học, tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 2015 – 2016) 
Hướng dẫn giải – đáp số