Chuyên đề Toán 9: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình/ hệ phương trình:
* Bước 1: Lập phương trình/Hệ phương trình (gồm các công việc sau):
 - Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn.
 - Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết.
 - Lập phương trình diễn đạt quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán.
* Bước 2: Giải phương trình/Hệ phương trình:
* Bước 3: Nhận định kết quả rồi trả lời:
 Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình/Hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn với điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi trả lời.
Phân loại dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình :
 Trong số các bài tập về giải bài toán bằng cách lập phương trình ta có thể chia thành các dạng như sau:
 1. Dạng toán chuyển động.
 2. Dạng toán về năng suất lao động.
 3. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng.
 4. Dạng toán có nội dung số học.
 5. Dạng toán có nội dung hình học. 
 6. Dạng toán %
 7. Dạng toán có nội dung vật lí, hoá học.
 8. Một số dạng toán khác
Những sai lầm học sinh thường mắc phải trong quá trình giải bài toán bằng cách lập phương trình/ hệ phương trình:
Ÿ Chọn ẩn sai hoặc chưa hợp lý dẫn đến lập phương trình/hệ phương trình sai hoặc khó giải
Ÿ Đặt điều kiện không chính xác hoặc thiếu điều kiện.
Ÿ Lời giải không đầy đủ, thiếu chặt chẽ.
Ÿ Chưa biết dựa vào mối quan hệ giữa các dữ kiện trong bài toán để lập phương trình hoặc lập phương trình sai.
Ÿ Giải phương trình sai.
Ÿ Ghi thiếu đơn vị, ghi sai đơn vị .
Ÿ Quên đối chiếu giá trị tìm được của ẩn sau khi giải phương trình với điều kiện của ẩn.
Ÿ Chưa trả lời đúng vào câu hỏi của bài toán. (Đặc biệt các bài toán chọn ẩn gián tiếp)
Việc phân loại thành các dạng bài tập chỉ mang tính tương đối vì có nhiều bài toán mà nội dung liên quan đến cả 2 dạng bài, ngoài ra trong mỗi dạng bài lại có thể chia thành nhiều dạng nhỏ .
Mỗi dạng bài đều có những nét đặc trưng riêng và học sinh cần biết cách giải từng dạng bài cụ thể.
CÁCH HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TỪNG DẠNG BÀI QUA CÁC VÍ DỤ 
Dạng toán chuyển động.
- Loại toán chuyển động có ba đại lượng tham gia vào bài toán là: vận tốc (v); thời gian (t); quãng đường (s)
Ba đại lượng liên hệ với nhau bởi công thức: s = v.t
- Dạng toán chuyển động cũng có thể chia ra nhiều dạng:
+ Có 2 đối tượng chuyển động trên cùng 1 quãng đường:
 Chuyển động cùng chiều: Đuổi theo nhau rồi gặp nhau trên đường đi. Đuổi theo nhau rồi về trước hoặc về sau hoặc cùng về 
Chuyển động ngược chiều rồi gặp nhau, khi đó tổng quãng đường đi được của 2 đối tượng bằng khoảng cách giữa 2 đối tượng lúc chưa xuất phát.
+ Có 1 đối tượng chuyển động
Đối tượng chuyển động đi rồi lại chuyển động về trên cùng 1 con đường hoặc 2 con đường khác nhau nối giữa 2 địa điểm.
Đối tượng chuyển động trên cùng 1 con đường nhưng mỗi đoạn đường đi với vận tốc khác nhau 
+ Chuyển động trên dòng nước chảy 
Cần lưu ý rằng vận tốc chuyển động khi xuôi dòng và ngược dòng là khác nhau
v xuôi dòng = v riêng + v dòng nước
 v ngược dòng = v riêng – v dòng nước
Ở bài toán này cần chú ý điều kiện v riêng > v dòng nước
Lưu ý HS đổi đơn vị thời gian cho phù hợp
Nhiều bài toán GV cần hướng dẫn HS vẽ sơ đồ để phân tích chuyển động 
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Quãng đường AB dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về B là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B?
* Hướng dẫn giải:
Lưu ý rằng 5 giờ là thời gian đi từ A đến B , từ B về A và thời gian nghỉ 30 phút, HS nên tính thời gian đi từ A đến B và từ B về A không kể thời gian nghỉ là 4,5 giờ
Gọi vận tốc xe máy đi từ A đến B là x (km/h, x > 0)
Thì vận tốc xe máy đi từ B về A là x + 9 (km/h)
Lập luận và viết PT về thời gian ta có: 
Biến đổi được PT: x2 - 31x - 180 = 0
Giải phương trình ta được	x= 36 (tmđk)
x= - 5 (loại)
Vậy vận tốc của xe máy lúc đi từ A đến B là 36 km/h
Ví dụ 2: Quãng đường AB dài 270 km, hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến trước ô tô thứ hai 45 phút . Tính vận tốc mỗi xe.
* Hướng dẫn giải:
v (km/h)
t (h)
s (km)
Xe thứ nhất
 x
4
270
Xe thứ hai
x - 12
270
* Lời giải:
 Gọi vận tốc của xe thứ nhất là x (km/h, x > 12 ).
 Thì vận tốc của xe thứ hai là: x - 12 (km/h ).
 Thời gian đi hết quãng đường AB của xe thứ nhất là (giờ).
 Thời gian đi hết quãng đường AB của xe thứ hai là ( giờ ).
 Theo đề bài ta có phương trình:
 270.4x - 270.4(x -12) = 3x(x -12)
 3x2 - 36x - 12960 = 0
 Giải phương trình ta được 	x= 72 (tmđk);
x= - 60 (loại)
 Vậy, vận tốc của xe thứ nhất là 72 km/h;
 	 vận tốc của xe thứ hai là 72 - 12 = 60 km/h.
Ví dụ 3: Một ô tô và một xe máy đi từ A đến B cách nhau 120 km. Ô tô khởi hành sau xe máy 30 phút và đi với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy là 24km/h. Tính vận tốc mỗi xe, biết xe ô tô đến B sớm hơn xe máy là 20 phút?
* Hướng dẫn giải:
Lưu ý rằng ô tô khởi hành sau xe máy 30 phút nhưng đến trước 20 phút nên thời gian ô tô đi quãng đường AB ít hơn thời gian xe máy đi quãng đường đó là 50 phút
Gọi vận tốc xe máy là x (km/h, x > 0)
Lập luận ta nhận được phương trình: 
Giải phương trình được: x= 48 (tmđk);
x= - 72 (loại)
 Vậy vận tốc của xe máy và ô tô lần lượt là 48km/h, 72km/h
Ví dụ 4: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian quy định. Nếu tăng vận tốc lên 10 km/h thì sẽ đến B sớm hơn quy định 2 giờ. Nếu giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn so với quy định 3 giờ. Tính quãng đường AB?
* Hướng dẫn giải:
Với dạng toán này ta nên hướng dẫn HS lập HPT vì ở đây có hai tình huống của chuyển động, vận tốc và thời gian thay đổi nhưng quãng đường đi không thay đổi.
v (km/h)
t (h)
s (km)
Dự định
x
y
xy
Tình huống 1
x +10
y – 2
(x+10)(y – 2)
Tình huống 2
x –10
y + 3 
(x –10)(y + 3)
Do quãng đường đi trong cả hai tình huống đều là AB nên ta có hệ phương trình:
Giải HPT được 
Vậy quãng đường AB là 50.12 = 600 km
Ví dụ 5: Một ca nô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B cách nhau 40 km sau đó lại đi ngược trên khúc sông ấy để quay về A. Thời gian đi xuôi dòng ít hơn thời gian đi ngược dòng là 20 phút, vận tốc dòng nước là 3km/h và vận tốc riêng của ca nô không đổi. Tính vận tốc riêng của ca nô?
*Hướng dẫn giải: 
Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h; x > 3)
Thì vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là: x + 3(km/h)
Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là: x - 3(km/h)
Thời gian ca nô đi xuôi dòng là: 
Thời gian ca nô đi ngược dòng là: 
Ta có phương trình: 
Giải phương trình ta được:
 	x = 27 (tmđk)
Vậy vận tốc riêng của ca nô là: 27 km/h
Ví dụ 6: Một người lái ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 48 km/h. Nhưng sau khi đi được một giờ với vận tốc ấy, ô tô bị tàu hỏa chắn đường trong 10 phút. Do đó, để kịp đến B đúng thời gian đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính quãng đường AB?
*Hướng dẫn giải:
Cách 1: Chọn ẩn là thời gian ô tô dự định đi từ A đến B
Ta lập bảng như sau:
v (km/h)
t (h)
s (km)
Dự định
48
x
48x
Thực tế
AC
48
1
48
CB
48 + 6 = 54
	(1)
Cách 2: Nếu gọi độ dài quãng đường AB là x thì ta sẽ có phương trình:
	(2)
- Việc giải phương trình (1) đơn giản hơn.
* Lời giải (Theo cách chọn ẩn thứ nhất): 
Gọi thời gian dự định để đi hết quãng đường AB là x (h, điều kiện )
Thì quãng đường AB dài là 48x (km) 	(1)
Quãng đường từ A đến chỗ bị tàu hỏa chắn là 48 (km)
Vận tốc của ô tô đi từ chỗ bị tàu chắn đến B là 48 + 6 = 54(km/h)
Vì bị tàu chắn trong 10 phút = giờ, nên thời gian để ô tô đi từ chỗ bị tàu chắn đến B là (h)
Quãng đường từ chỗ bị tàu hỏa chắn đến B dài là 54() (km)	(2)
Khi đó quãng đường AB dài là 48 + 54()(km) (2)
Từ (1) và (2) ta có phương trình: 48x = 48 + 54()
Giải phương trình được x = 2,5 (Thoả mãn điều kiện)
Vậy quãng đường AB dài là: 48 . 2,5 = 120 (km)
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Quãng đường AB dài 650km. Hai ô tô khởi hành từ A và B đi ngược chiều nhau. Nếu cùng khởi hành thì sau 10 giờ chúng sẽ gặp nhau. Nếu xe đi từ B khởi hành trước xe kia 4 giờ 20 phút thì hai xe gặp nhau sau khi xe đi từ A khởi hành được 8 giờ. Tính vận tốc mỗi xe.
Bài 2: Quãng đường AB dài 48km, trong đó có đoạn đường đi qua khu dân cư dài 8km. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc quy định, khi đi qua khu dân cư, xe giảm vận tốc 10km/h so với vận tốc quy định. Tính vận tốc của ô tô di qua khu dân cư, biết thời gian ô tô đi từ A đến B là 1 giờ.
Bài 3: Quãng đường AB dài 60km, một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường, người đó giảm vận tốc 5km/h trên quãng đường còn lại. Vì vậy, người đó đến B chậm hơn dự định là 1giờ. Tính vận tốc dự định của người đó.
Bài 4: Quãng đường AB dài 100 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A để đi đến B. Vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là 10 km/h nên xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 30 phút. Tính vận tốc mỗi xe.
Bài 5: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu tăng vận tốc thêm 10km/h thì xe đến B sớm hơn 2 giờ. Nếu giảm vận tốc đi 10km/h thì xe đến B chậm hơn 3 giờ. Tính quãng đường AB.
Bài 6: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50km/h rồi đi tiếp từ B đến C với vận tốc 45km/h. Biết tổng quãng đường AB và BC là 165km và thời gian đi quãng đường AB ít hơn thời gian đi quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB; BC.
Bài 7: Từ hai đầu A,B của quãng đường AB dài 200km có hai ô tô chuyển động ngược chiều nhau. Nếu hai xe khởi hành cùng một lúc thì sau 2 giờ chúng gặp nhau. Nếu xe từ A khởi hành trước xe từ B 2 giờ thì hai xe gặp nhau sau khi xe đi từ B đi được 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe. 
Bài 8: Một canô chạy xuôi dòng một khúc sông dài 80 km, sau đó chạy ngược dòng khúc sông ấy một đoạn dài 96 km thì hết tất cả 10 giờ. Tính vận tốc riêng của canô nếu vận tốc của dòng nước là 2 km/h.
Bài 9: Một canô chạy xuôi dòng một khúc sông dài 72 km, sau đó chạy ngược dòng khúc sông ấy một đoạn dài 54 km thì hết tất cả 6 giờ. Tính vận tốc riêng của canô nếu vận tốc của dòng nước là 3 km/h.
Bài 10: Trên một khúc sông, một canô chạy xuôi dòng 80km sau đó chạy ngược dòng 80km hết tất cả 9 giờ. Nếu cũng trên khúc sông đó, canô xuôi dòng 100km sau đó chạy ngược dòng 64km thì cũng hết tất cả 9 giờ. Tính vận tốc riêng của canô và vận tốc của dòng nước. 
Bài 11: Lúc 6 giờ 30 phút, một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 48 km. Khi đến B ca nô nghỉ 30 phút rồi quay về đến A lúc 10 giờ 36 phút. Tính vậno tốc riêng của ca nô biết rằng vận tốc dòng nước là 3 km/h?
Dạng toán về năng suất lao động.
Ÿ Đây là dạng bài toán có công thức vì thế cần kẻ bảng để tìm ra hướng giải hay nhất.
+ Thường có 3 đại lượng là:
- Khối lượng công việc cần làm (KLCV)
- Thời gian để hoàn thành toàn bộ công việc ( t )
- Năng suất (NS) là khối lượng công việc làm được trong 1 đơn vị thời gian.
+ Quan hệ giữa 3 đại lượng trên được biểu diễn bởi công thức:
KLCV = NS . t
Ÿ Dạng bài tập về năng suất có công thức tương tự như dạng bài tập về chuyển động, nên có thể chuyển đổi bài tập từ dạng này sang dạng kia một cách dễ dàng bằng cách thay đổi lời văn và giữ nguyên số liệu của bài tập đã cho.
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Một phân xưởng theo kế hoạch phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
*Hướng dẫn giải:
Ta lập bảng sau:
Số sản phẩm
Năng suất
Thời gian
Dự định
1100
x
Thực tế
1100
x + 5
Do phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày nên ta có PT: 
Biến đổi được phương trình: x2 + 5x – 2750 = 0
Giải phương trình ta được: x= 50 (tmđk);
 x= - 55 (loại)
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng làm được 50 sản phẩm
Ví dụ 2: Một xưởng may phải may xong 3000 áo trong một thời gian quy định. Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng đã may nhiều hơn 6 áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế, 5 ngày trước khi hết thời hạn tổ đã may được 2650 áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu áo?
*Hướng dẫn giải:
Ta lập bảng sau:
Số sản phẩm(áo)
Năng suất
(áo/ngày)
Thời gian(ngày)
Dự định
3000
x
Thực tế
2650
x + 6
Với bài toán này cần lưu ý HS đặt điều kiện số sản phẩm may trong 1 ngày phải là số nguyên dương.
Khi chọn ẩn lưu ý: 
+ Nếu gọi năng suất là x thì đơn vị là áo/ngày
+ Nếu gọi số áo sản xuất trong 1 ngày là x thì đơn vị là áo (Bản chất là năng suất nhưng do cách diễn đạt khác nên đơn vị khác)
Ví dụ 3: Một đội thợ mỏ khai thác 216 tấn than trong một thời gian nhất định. Ba ngày đầu, mỗi ngày đội khai thác theo đúng định mức, sau đó mỗi ngày họ đều khai thác vượt định mức 8 tấn. Do đó họ đã khai thác được 232 tấn và xong trước thời hạn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày đội phải khai thác bao nhiêu tấn than?
*Hướng dẫn giải:
Ta lập bảng sau:
Số sản phẩm (tấn)
Năng suất
(tấn/ngày)
Thời gian
(ngày)
Dự định
216
x
Thực tế
3 ngày đầu
3x
x
3
Các ngày sau
232 – 3x
x + 8
Biến đổi được phương trình: x2 + 48x – 1728 = 0
Giải phương trình ta được: x= 24 (tmđk); x= - 72 (loại)
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày đội phải khai thác 24 tấn than
Ví dụ 4: Một người thợ nhận làm 100 sản phẩm trong một thời gian với một năng suất đã định. Khi làm được 40% số sản phẩm thì người dó thấy đã làm với năng suất thấp hơn dự định là 2 sản phẩm trong một ngày. Do đó để đảm bảo hoàn thành đúng thời gian đa định người dó đã tăng năng suất thêm 2 sản phẩm 1 ngày so với dự định. Tính năng suất đã định?
*Hướng dẫn giải: Ta lập bảng sau:
KLCV
NS
t
Dự định
100
x
Thực tế
40
x – 2
60
x + 2
*Lời giải:
Gọi năng suất dự định là: x (sản phẩm/ngày, x > 2, x Î Z)
Thì năng suất thực tế lúc đầu là: x - 2 (sản phẩm/ngày)
năng suất thực tế lúc sau là: x + 2 (sản phẩm/ngày)
40% số sản phẩm là: 40%.100 = 40 sản phẩm
Số sản phẩm còn lại là: 100 - 40 = 60 sản phẩm
Thời gian dự định làm là: (ngày)
Thời gian thực tế làm là: (ngày)
Theo đầu bài ta có phương trình:
x = 10(tmđk)
Vậy năng suất dự định là 10 sản phẩm/ngày.
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Một đội sản xuất phải làm 1000 sản phẩm trong một thời gian quy định. Nhờ tăng năng suất lao động, mỗi ngày đội làm thêm được 10 sản phẩm so với kế hoạch. Vì vậy chẳng những đã làm vượt mức kế hoạch 80 sản phẩm mà còn hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với quy định. Tính số sản phẩm mà đội sản xuất phải làm trong một ngày theo kế hoạch.
Bài 2: Hưởng ứng phong trào trồng cây xanh vì môi trường xanh sạch đẹp, một chi đoàn thanh niên dự định trồng 400 cây trong một thời gian quy định. Mỗi ngày chi đoàn đã trồng vượt mức kế hoạch 10 cây. Do vậy, chi đoàn đã hoàn thành công việc sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày chi đoàn phải trồng bao nhiêu cây? 
Bài 3: Mội đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 120 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành đội được bổ sung thêm 5 xe nữa cùng loại. Nhờ vậy, so với ban đầu, mỗi xe phải chở ít hơn 2 tấn. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe. Biết khối lượng hàng mỗi xe phải chở như nhau. 
Bài 4: Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 60 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành có 3 xe phải điều đi làm việc khác. Vì vậy, mỗi xe phải chở thêm 1 tấn hàng nữa mới hết số hàng đó. Tính số xe lúc đầu của đội biết rằng khối lượng hàng mỗi xe chở là bằng nhau.
Bài 5: Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ I may trong 3 ngày và tổ II may trong 5 ngày thì hai tổ may được 1310 áo. Biết rằng mỗi ngày tổ I may nhiều hơn tổ II là 10 cái áo. Hỏi một ngày mỗi tổ may được bao nhiêu áo?
Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng.
Ÿ Bản chất của dạng toán này là: 2 đối tượng làm chung, làm riêng cùng một công việc.
Ÿ Khi làm bài ta phải coi toàn bộ công việc như một đơn vị để tính toán.
Ÿ Phải hiểu:
- Năng suất riêng là khối lượng công việc làm được của mỗi đối tượng trong 1 đơn vị thời gian. 
Nếu x giờ làm xong công việc thì 1 giờ làm được (công việc)
Nếu 1 giờ làm được (công việc) thì a giờ làm được (công việc)
- Năng suất chung của hai đối tượng bằng tổng các năng suất riêng.
- Thời gian làm riêng để xong công việc của mỗi đối tượng luôn lớn hơn thời gian làm chung để xong công việc của 2 đối tượng.
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ thì hoàn thành công việc đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ hai được điều đi làm việc khác, tổ thứ nhất làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi mỗi tổ làm một mình thì trong bao lâu xong công việc.
*Hướng dẫn giải:
Với dạng bài tập này nên hướng dẫn HS chọn cách lập hệ phương trình
*Hướng dẫn giải:
Gọi thời gian tổ thứ nhất làm một mình xong công việc là: x(giờ, x > 12)
Gọi thời gian tổ thứ hai làm một mình xong công việc là: x(giờ, y > 12)
Trong 1 giờ tổ 1 làm được: (công việc)
Trong 1 giờ tổ 1 làm được: (công việc)
 Trong 1 giờ cả 2 tổ làm được: (công việc)
Nên có phương trình(1): 
Trong 4 giờ 2 tổ làm được là: 4. (công việc)
Trong 10 giờ tổ 1 làm được là: 10. (công việc)
Theo đầu bài ta có phương trình (2):
Từ (1) và (2) ta có HPT: 
Giải HPT được 
Vậy tổ một làm riêng trong 15 giờ thì xong công việc.
 Tổ hai làm riêng trong 60 giờ thì xong công việc.
Ví dụ 2: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 18 giờ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 6 giờ rồi khóa lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp 8 giờ nữa thì được 40% dung tích bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể?
*Hướng dẫn giải:
Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là: x (giờ, ) 
Gọi thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là: y (giờ, ) 
Trong 1 giờ vòi I chảy được là: (bể)
Trong 1 giờ vòi II chảy được là: (bể)
Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được là: (bể)
Ta có phương trình (1):
Trong 6 giờ vòi I chảy được là: (bể)
Trong 8 giờ vòi II chảy được là: (bể)
Vòi I chảy trong 6 giờ, vòi II chảy trong 8 giờ được: (bể)
Ta có phương trình (2):
Ta có hệ phương trình: 
Giải HPT được 
Vậy vòi thứ nhất chảy một mình trong 45 giờ thì đầy bể
 vòi thứ nhất chảy một mình trong 30 giờ thì đầy bể
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 6 giờ xong. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 2 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao nhiêu giờ xong công việc?
Bài 2: Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 16 giờ xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì cả hai người làm được 25% công việc. Tính thời gian mỗi người làm một mình xong toàn bộ công việc?
Bài 3: Hai vòi nước cùng chảy vài một bể không có nước thì sau 3 giờ đầy bể. Nếu để vòi 1 chảy một mình trong 20 phút, khóa lại rồi mở tiếp vòi 2 chảy trong 30 phút thì cả hai vòi chảy được bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Bài 4: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2 giờ 55 phút đầy bể. Nếu để chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Bài 5: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 6 giờ 40 phút đầy bể. Nếu mở vòi I trong 4 giờ 24 phút rồi mở tiếp vòi II cùng chảy thì sau 2 giờ nữa được bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể?
Dạng toán có nội dung số học. 
Ở dạng toán này lại có thể chia thành nhiều dạng nhỏ: 
+ Toán về số và chữ số;
+ Tính tuổi;
 ..
Các kiến thức cần ghi nhớ là:
Biểu diễn số có hai chữ số: = 10a + b (a; b N) 
a là chữ số hàng chục: 0 < a ≤ 9;
b là chữ số hàng đơn vị: 0 ≤ b ≤ 9.
Biểu diễn số có ba chữ số: = 100a + 10b + c (a; b; c N)
a là chữ số hàng trăm: 0 < a ≤ 9;
b là chữ số hàng chục: 0 ≤ b ≤ 9; 
c là chữ số hàng đơn vị: 0 ≤ c ≤ 9.
Về quan hệ tuổi: Hiệu số tuổi của hai người luôn không đổi.
Khi đặt điều kiện cho ẩn cần quan tâm đến ý nghĩa thực tế, chẳng hạn số người, số sản phẩm, số tuổi thì điều kiện chung phải là nguyên dương (ngoài ra còn có thể có điều kiện riêng tùy vào bài toán cụ thể)
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 7 . Nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì được một số lớn hơn số đã cho là 180. Tìm số đã cho.
* Hướng dẫn giải:
 - Để tìm số đã cho ta phải tìm được những thành phần nào (chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị ). Số đó có dạng như thế nào?
 - Nếu biết được chữ số hàng chục thì có tìm được chữ số hàng đơn vị không? Dựa trên cơ sở nào?
 - Sau khi viết chữ số 0 vào giữa hai số ta được một số tự nhiên như thế nào ? lớn hơn số cũ là bao nhiêu?
* Lời giải
Gọi chữ số hàng chục của số đã cho là x (điều kiện 0 < x 7 và x N).
Thì chữ số hàng đơn vị của số đã cho là: 7 - x
 Số đã cho có dạng: = 10x + 7 - x = 9x + 7
 Viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số mới có dạng : 
 = 100x + 7 - x = 99x + 7
 Theo đề bài ta có phương trình:
( 99x + 7 ) - ( 9x + 7 ) = 180
 90x = 180
 x = 2 (Thoả mãn điều kiện).
 Vậy: chữ số hàng chục là 2
 chữ số hàng đơn vị là 7 - 2 = 5 
 số phải tìm là 25
Ví dụ 2: Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16, nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số đã cho.
* Hướng dẫn giải:
- Số cần tìm có mấy chữ số ?(2 chữ số).
- Quan hệ giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị như thế nào?
- Vị trí các chữ số thay đổi thế nào?
- Số mới so với ban đầu thay đổi ra sao?
- Muốn biết số cần tìm, ta phải biết điều gì? (Chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị).
	- Đến đây ta dễ dàng giải bài toán, thay vì tìm số tự nhiên có hai chữ số ta đi tìm chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị; ở đây tùy ý lựa chọn ẩn là chữ số hàng chục (hoặc chữ số hàng đơn vị).
	Nếu gọi chữ số hàng chục là x 
	Điều kiện của x ? (xN, 0 < x < 10).
	Chữ số hàng đơn vị là : 16 – x
	Số đã cho được viết 10x + 16 - x = 9x + 16
	Đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số mới được viết :
	10 ( 16 – x ) + x = 160 – 9x
	Số mới lớn hơn số đã cho là 18 nên ta có phương trình :
	(160 – 9x) – (9x + 16) = 18
	- Giải phương trình ta được x = 7 (thỏa mãn điều kiện).
	Vậy chữ số hàng chục là 7.
	Chữ số hàng đơn vị là 16 – 7 = 9.
	Số cần tìm là 79.
Ví dụ 3: Bảy năm trước, tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4. Năm nay tuổi mẹ vừa đúng gấp ba lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi?
* Hướng dẫn giải:
Gọi tuổi mẹ năm nay là x, tuổi con năm nay là y.
Điều kiện: x,y ∈ N*; x > y > 7
Năm nay tuổi mẹ gấp ba lần tuổi con, ta có phương trình: x = 3y
Bảy năm trước tuổi mẹ gấp năm lần tuổi con cộng thêm 4, ta có phương trình:
x – 7 = 5(y – 7) + 4
Ta có hệ phương trình: 
Giải HPT được x = 36, y = 12 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy hiện nay mẹ 36 tuổi, con 12 tuổi. 
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
 Bài 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 6 và nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số nhỏ hơn số đầu 18 đơn vị.
Bài 2: Tìm một số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục kém chữ số hàng đơn vị là 4 đơn vị; tổng các bình phương hai chữ số của nó bằng 80.
Bài 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 5 và tổng các bình phương hai chữ số của nó bằng 13. 
Bài 4: Tìm hai số tự nhiên có tổng 1006. Nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và dư 124.
Bài 5: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết tổng các chữ số của nó bằng 11. Nếu viết hai chữ số theo tứ tự ngược lại ta được một số tự nhiên lớn hơn số đã cho 45 đơn vị.
Bài 6: Tổng các chữ số của một số tự nhiên có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì được số tự nhiên được viết bằng hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Tìm số đã cho?
Bài 7: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương của chúng bằng 85. 
Bài 8: Tìm hai số tự nhiên biết chúng hơn kém nhau 5 đơn vị và tích của chúng bằng 150.
Dạng toán có nội dung hình học.
Ÿ Nên vẽ hình theo đầu bài toán, điền các số liệu đã biết vào hình vẽ nhờ đó sẽ dễ chọn ẩn và lập phương trình.
Ÿ Ôn lại các kiến thức hình học có liên quan đến bài tập
Ví dụ 1: 
 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn ( thuộc đất của vườn ) rộng 2m, diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m2. Tính kích thước của vườn.
* Hướng dẫn giải:
 - Nhắc lại công thức tính chu vi và diện tích của hình chữ nhật.
 - Vẽ hình minh hoạ để tìm lời giải.
* Lời giải:
 Gọi độ dài một cạnh hình chữ nhật là x ( m ), điều kiện 4 < x < 140
 Độ dài cạnh còn lại là: 140 - x (m ).
 Khi làm lối đi xung quanh, độ dài các cạnh của phần đất trồng trọt là: 
x - 4(m) và 140 - x - 4 = 136 - x (m).
 Theo bài ra ta có phương trình:
 ( x - 4 )( 136 - x ) = 4256
 140x - x2 - 544 = 4256
 x2 - 140x - 4800 = 0
 Giải phương trình ta được: x = 80 (tmđk)
 x = 60 (tmđk).
Nếu chiều dài là 80m thì chiều rộng là 60m
Nếu chiều dài là 60m thì chiều rộng là 80m
 Vậy các kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật là 60m và 80m.
Ví dụ 2: 
	Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6 cm và chia cạnh huyền thành hai đoạn hơn kém nhau 5,6 cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác?
H
C
B
A
*Hướng dẫn giải: 
Theo hình vẽ trên bài toán yêu cầu tìm đoạn nào, đã cho biết đoạn nào?
Trước khi giải cần kiểm tra kiến thức học sinh để củng cố kiến thức.
Cạnh huyền của tam giác vuông được tính như thế nào?
 	h = c'. b' AH2 = BH. CH
*Lời giải:
Gọi độ dài của BH là x (cm, điều kiện x > 0 )
Thì độ dài HC là: x + 5,6(cm)
Theo công thức AH2 = BH. CH, ta có phương trình:
 x(x + 5,6) = 9,62
Giải phương trình ta được: x = 7,2 (tmđk)
Vậy độ dài BH = 7,2 cm
 độ dài CH = 7,2 + 5,6 =12,8 cm
 dài cạnh huyền là: 12,8 + 7,2 = 20 cm
Ví dụ 3: Một thửa ruộng hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài thêm 2m và chiều rộng 3m thì diện tích tăng 100m2. Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm 68m2. Tính diện tích thửa ruộng?
*Hướng dẫn giải:
Với bài toán này GV hướng dẫn HS giải bằng cách lập HPT, gọi chiều dài và chiều rộng thửa ruộng hình chữ nhật lần lượt là x, y (m, x > 2, y > 2)
Sau khi tìm được chiều dài và chiều rộng cần nhớ tìm diện tích vì khi chọn ẩn gián tiếp nhiều HS quên tìm câu trả lời cuối cùng cho bài toán
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 5m. Nếu giảm chiều rộng đi 4m và chiều dài đi 5m thì diện tích mảnh đất giảm đi 180m2. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.
Bài 2: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28m. Đường chéo hình chữ nhật dài 10m. Tính độ dài hai cạnh mảnh đất hình chữ nhật.
Bài 3: Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40 cm2 , biết rằng nếu tăng mỗi kích thước thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2.
Bài 4: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 m2. Nếu tăng chiều dài thêm 10 m và giảm chiều rộng 6 m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.
Bài 5: Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 5 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 1m. Tính các cạnh góc vuông của tam giác?
Bài 6: Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m, chiều dài hơn chiều rộng 7 m. Tính diện tích hình chữ nhật đó?
Bài 7: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi. 
Dạng toán phần trăm
HS cần nhớ một số kiến thức liên quan:
+ Ba bài toán cơ bản về phân số đã học ở lớp 6
A = n% của B thì A = B.n%; B = A : n%
+ Nếu gọi số sản phẩm là x thì số sản phẩm khi vượt mức a% là: (100+a)%.x 
Ví dụ 1: Trong tháng đầu hai tổ công nhân của một xí nghiệp dệt được 800 tấm thảm len. Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20% nên cả hai tổ dệt được 945 tấm thảm len. Tính xem trong tháng thứ hai mỗi tổ đã dệt được bao nhiêu tấm thảm len
	*Hướng dẫn giải:
Lưu ý rằng tháng thứ hai tổ I vượt mức 15% tức là tháng thứ hai làm được 115% so với tháng thứ nhất
Mặc dù đề bài hỏi số thảm len dệt trong tháng thứ hai nhưng nên chọn ẩn là số thảm len dệt được trong tháng thứ nhất thì mới thuận lợi khi lập PT
GV hướng dẫn HS lập bảng: 
Tổ I
Tổ II
Cả hai tổ
Tháng đầu
x
y
800
Tháng thứ hai
1,15x
1,2y
945
Từ đó có HPT 
Lưu ý HS khi gọi số thảm len là ẩn thì cần ĐK x, y là nguyên dương
Cũng có thể hướng dẫn HS làm theo cách khác
Ví dụ 2: Hai trường A và B của một thị trấn có 210 học sinh thi đỗ vào cấp 3, đạt tỉ lệ trúng tuyển là 84%. Biết số học sinh không đỗ của trường A chiếm 20%, của trường B chiếm 10%. Tính xem mỗi trường có bao nhiêu học sinh lớp 9 dự thi?
*Hướng dẫn giải:
Vì đề bài cho biết số học sinh thi đỗ nên cần biết tỉ lệ học sinh thi đỗ của mỗi trường
Số học sinh không đỗ của trường A là 20% nên số học sinh thi đỗ chiếm 80%, 
Số học sinh không đỗ của trường B là 10% nên số học sinh thi đỗ chiếm 90%,
Gọi số học sinh dự thi vào lớp 10 của hai trường lần lượt là x, y (học sinh) thì điều kiện x, y là nguyên dương
Lập luận ta có hệ phương trình: 
Giải HPT được: x = 150; y = 100 (TMĐK)
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Hai tổ sản xuất được giao làm 800 sản phẩm. Nhờ tăng năng suất lao động, tổ một vượt mức 10%, tổ hai vượt mức 20% nên cả hai tổ đã làm được 910 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ phải làm theo kế hoạch.
Bài 2: Loại thép thứ nhất chiếm 10% cacbon, loại thép thứ hai chiếm 20% cacbon. Tính khối lượng m