Chuyên đề Toán thực tế Hình học 9

CHUYÊN ĐỀ:CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ HÌNH HỌC
§1. ĐỊNH LÍ PYTHAGORE VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG
TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
KIẾN THỨC LIÊN QUAN
	Định lí Pythagore là một trong những định lí quan trọng nhất
 trong tất cả các định lí khoa học nói chung và hình học nói riêng. 
Định lý Pythagore đơn giản nhưng rất lí thú. Nhiều nhà khoa học
 còn cam đoan rằng nếu có con người sống ở các hành tinh khác thì
 định lí hình học đầu tiên có giá trị mà họ tìm cũng sẽ chính là định
 lí Pythagore. Đã có dự án đề nghị xây dựng các công trình hoặc
 tường cây xanh tạo thành tam giác vuông có ba cạnh và 
khổng lồ trên cánh đồng lớn để liên lạc với người ngoài Trái Đất.
 Ngày 08 tháng 09 năm 1977, hai tàu thăm dò Voyager của Mỹ được phóng lên vũ trụ mang theo hình vẽ biểu diễn định lí Pythagore.
	Pythagore là nhà hiền triết người Hy Lạp sống khoảng năm trước công nguyên. Sau này người ta phát hiện ra rằng định lí Pythagore đã được biết đến trước đó từ rất lâu trong các nền văn minh cổ đại trên thế giới. Điển hình trong số đó là các nhà khảo cổ đã tìm thấy một bảng đất sét nung của nền văn minh Babilon hơn một nghìn năm trước Pythagore có một hình vẽ khác tam giác vuông có các cạnh thể hiện định lí này.
	Trong những văn tự Ấn Độ cổ đại khoảng năm trước Công 
nguyên có một phần quan trọng được gọi là Sulbasutras nói về việc 
đo đạc và thiết kế các đền thờ. Ở phần này có thể tìm thấy định lí 
Pythagore dưới dạng: Diện tích hình vuông có cạnh bằng cạnh 
huyền một tam giác vuông bằng tổng diện tích hai hình vuông 
bằng tổng diện tích hai hình vuông có cạnh bằng hai cạnh bên
 của tam giác vuông đó.
VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng công thức Pythagore để tìm cạnh góc vuông hoặc cạnh huyền từ hai cạnh còn lại: ( là cạnh huyền, là cạnh góc vuông).
Rút ra kết luận bài toán.
Ví dụ 1
Từ đỉnh một cái cây có treo một cái dây thả xuống đất thì thừa
 một đoạn có độ dài là . Nếu kéo căng dây ra thì đầu dây chạm 
đất ở một khoảng cách là so với gốc cây. Hãy tìm độ dài của dây.
Nếu cây có độ dài thì có bài toán là tính độ dài 
của cạnh huyền một tam giác vuông có cạnh bên là 
 và . Theo định lí Pythagore ta có: 
.
Từ đây suy ra: .
Ví dụ 2
Có một cây tre có độ cao là . Khi gãy ngọn tre chạm đất ở một 
khoảng cách là so với gốc tre. Hãy tìm độ cao chỗ cây tre.
Ta phải tính cạnh của một tam giác vuông có cạnh bên
là và cạnh huyền là .
Theo định lí Pythagore ta có: .
Từ đây suy ra: .
Ví dụ 3
Có một cái ao hình vuông, mỗi cạnh dài m, chính giữa cái ao có một cây sậy nhô lên khỏi mặt nước vừa đúng m, kéo ngọn cây sậy vào bờ thì chọn cây vừa chạm mặt nước. Hỏi độ sau của nước và cây sậy cao bao nhiêu?
Giả sử chiều rộng của ao là (m), 
 là trung điểm của nên:
 (m).
Chiều cao cây sậy mặt giữa ao là , phần nhô khỏi mặt nước
 (m).
Mà , giả sử , độ sâu của nước , tam giác
 là tam giác vuông. Rõ ràng là (m).
Độ dài của bằng hiệu giữa đường huyền với cạnh dài của góc vuông.
Vậy bài toán quy về việc tính chiều dài cạnh huyền và cạnh góc vuông lớn của
 một tam giác vuông khi biết cạnh góc vuông bé và hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông lớn.
Từ định lí Pythagore, ta có:
	 .
Vì thế
	(1)
	(2)
Đem giá trị của thay vào hai công thức (1) và (2) sẽ dễ dàng tính được độ sâu của nước là:
	 (m).
Độ cao của cây sậy là: (m).
LỜI BÌNH 
	Định lí Pythagore là một trong những định lí hình học nói riêng và khoa học nói chung có nhiều cách chứng minh nhất. Theo thống kê, đến nay đã có cách giải. Nhiều chính trị gia lỗi lạc như Tổng thống Hoa kỳ James Garfiel cũng tham gia tìm cách chứng minh định lí này. Ở bậc học cao hơn, người ta có thể dùng Vật lí học để chứng minh định lí Pythagore. Định lí Pythagore còn xuất hiện trong các môn phi-Euclide, hình học giả Euclide, phương trình vi phân, Đại số tuyến tính, . Hầu như ở bất cứ lĩnh vực nào quan trọng người ta đều thấy bóng dáng của định lí Pythagore. Qua đó càng minh chứng tầm quan trọng của định lí Pythagore trong lĩnh vực khoa học và đời sống.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
	Bài toán 1
	Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp một tam giác có các cạnh là .
	Bài toán 2
	Dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình chữ nhật cho trước.
ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
	Bài toán 1
	Theo định lí Pythagore, ta có: 
	.
	Do , nên:
	.
	Ta lại có:
	 .
	Do đó: .
	Bài toán 2
	Cho hình chữ nhật . Ta vẽ hình chữ vuông trong 
hình chữ nhật . Sau đó xác định các trung điểm và của
 và .
	Dựng hình vuông đi qua . Lấy làm tâm vẽ một đường
 tròn có bán kính cắt ở . Hình vuông có cạnh bằng 
sẽ có diện tích bằng diện tích vì theo định lí Pythagore ta có:
	 .
§2. HỆ THỨC GIỮA CÁC CẠNH VÀ CÁC GÓC
CỦA MỘT TAM GIÁC VUÔNG
KIẾN THỨC LIÊN QUAN
	Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với côsin góc kề.
Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hay nhân với 
côtang góc kề.
VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng các hệ thức lượng của tam giác vuông một cách thích hợp như:
	.
	( là góc nhọn của tam giác vuông).
Từ đây rút ra kết luận bài toán.
	Ví dụ 1
	Một cột điện có bóng trên mặt đất dài m, các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ . Tính chiều cao của cột đèn.
	Gọi chiều cao cột đèn là , bóng của nó trên mặt đất là .
	Ta có .
	Theo giả thiết, ta có .
	Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông ở , ta có:
	 (cm).
	Vậy chiều cao của cột đèn là (cm).
	Ví dụ 2
	Ở độ cao m, từ một máy bay trực thăng người ta nhìn hai 
điểm của hai đầu cầu những góc so với đường vuông góc với 
mặt đất các góc lần lượt là . Tính chiều dài 
 của cây cầu (hình vẽ).
Gọi là vị trí của trực thăng, là chân đường vuông góc
 hạ từ xuống mặt đất. và là hai điểm đầu cầu.
	Ta có
	 (m).
	Mặt khác
	 (m).
	Vậy chiều dài của cây cầu là:
	 (m).
LỜI BÌNH 
	Hệ thức lượng trong tam giác vuông là chủ đề hay và quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Nó có nhiều ứng dụng trong thực tế. Bài viết này cần trao đổi gì thêm? Mong được sự chia sẻ của các bạn.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
	Bài toán 1
	Cho tam giác vuông ở , đường cao . Tính ứng với mỗi trường hợp sau:
.	b) .
	Bài toán 2
Cho tam giác vuông vuông ở . Tính trong mỗi trường hợp sau:
;	b) .
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
	Bài toán 1
Ta có: .
Vậy (cm).
Do đó .
Ta có: .
	.
Vậy (cm).
Theo định lí Pythagore, ta có:
Suy ra (cm).
Vì vậy: .
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông vuông tại , ta có:
	.
Do đó (cm).
Suy ra: .
Ta có .
	.
Vậy (cm).
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông tại :
	.
Vậy (cm).
Ta có: (cm).
Vậy: .
	Bài toán 2
Ta có: .
Áp dụng công thức
	, ta được:
	.
Từ đó, ta có: (do )
Mặt khác, .
.
Ta có: .
Theo công thức lượng giác, ta được:
Từ đây, suy ra: (do ).
§3. ĐỊNH LÍ THALES TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
KIẾN THỨC LIÊN QUAN
	Những thế kỷ cuối cùng của thiên niên kỉ thứ hai trước Công nguyên đã được chứng kiến nhiều biến đổi về kinh tế và chính trị. Một vài nền văn minh đã biến mất, quyền lực của Ai Cập và Babylon đã đến ngày suy tàn và những dân tộc mới như người Do Thái, người Assiri, người Phenixi, người Hy Lạp đã vượt lên. Thời đại đồ sắt đã bắt đầu và kéo theo nó là biết bao đổi thay trong chiến tranh và trong các nghề cần phải những công cụ. Đã phát minh ra vần chữ cái và đã xuất hiện tiền kim loại. Thương mại không ngừng được khuyến khích và nhiều khám phá về địa lý đã được thực hiện. Thế giới đã sẵn sàng cho một kiểu văn minh mới.
	Nền văn minh mới đó đã xuất hiện trong các thành phố thương mại chạy dài dọc theo bờ biển của Tiểu Á và sau này trên lãnh thổ Hy Lạp, trên các vùng biển Italia. Cái nhìn tĩnh tại của phương đông cổ đại đã trở nên không thể phủ nhận được và trong một bầu không khí phát triển của chủ nghĩa duy lý, người ta bắt đầu hỏi tại sao và như thế nào.
	Ở thời gian đầu, trong toán học cũng như trong các lĩnh vực khác, người ta bắt đầu đặt những câu hỏi có tính chất căn bản như là “Tại sao các góc đáy của một tam giác cân lại bằng nhau?” và “Tại sao đường kính lại chia đôi đường tròn?” Những quá trình thực nghiệm của phương đông cổ đại hoàn toàn đủ để trả lời câu hỏi làm thế nào nhưng không đủ để trả lời những câu hỏi có tính chất khoa học của từ tại sao. Ít nhiều cố gắng ở các phương pháp chứng minh chắc là để tự khẳng định và khía cạnh suy diễn mà các học giả ngày nay coi là một đặc trưng cơ bản của toán học đã thấy xuất hiện. Có thể là toán học có ý nghĩa mới của từ này, đã ra đời trong không khí của chủ nghĩa duy lý và tại một trong những đô thị thương mại nằm trên vùng bờ biển phía tây của Tiểu Á. Theo những lời truyền lại thì hình học chứng minh bắt đầu với Thales vùng Miletus, một trong “bảy nhà thông thái” của thời đại trong khoảng thời gian nửa đầu thế kỷ XV trước Công nguyên.
	Theo các nhà nghiên cứu lịch sử, phần đầu của đời mình hình như Thales là một nhà buôn và trở nên khá giàu có để quãng đời sau của cuộc đời đã dành cho việc nghiên cứu học tập và du lịch. Ông là thiên tài về nhiều mặt như chính khách, người cố vấn, kỹ sư, doanh nghiệp, nhà triết học, toán học và thiên văn học. Thales là người đầu tiên được biết đến cùng với những khám phá toán học. Trong hình học ông được công nhận là đã đưa ra những kết quả cơ bản sau đây:
Một đường tròn được chia đôi bởi bất kì đường kính nào.
Hai góc ở đáy của một tam giác cân thì bằng nhau.
Các góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc cạnh góc.
Thales cũng được coi là người đầu tiên đoán đúng hiện tượng nhật thực vào năm 585.
VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng tỉ số của hai tam giác đồng dạng.
.
Rút ra kết luận của bài toán.
Ví dụ 1 
Làm thế nào đo được độ cao của kim tự tháp?
Kim tự tháp là công trình kiến trúc cổ rất hùng vĩ và là phần mộ của các vua chúa Ai Cập cổ đại. Hơn năm trước, có một vương quốc Ai Cập muốn biết độ cao thực sự của kim tự tháp là bao nhiêu, nhưng chẳng ai đo được.
Cho người trèo lên đỉnh tháp? Rõ ràng là không thể được vì tháp nghiêng, có trèo lên được cũng chẳng biết dùng cách gì để đo được.
Thales được cho là người đã giúp Quốc Vương đo được chiều cao của kim tự tháp. Thales chọn một ngày đẹp trời, mời Quốc Vương và các quan trọng triều của hành lễ đo tháp. Người đến xem rất đông, chen chúc nhau, bàn ra tán vào rất sôi nổi. Nhưng thời gian cứ trôi đi, mặt trời cứ chiếu xuống Kim tự tháp và đám người mà chưa thấy Thales có động tĩnh gì. Mãi khi thấy bóng người bằng chính chiều cao của ông, ông mới phát lệnh đo tháp. Lúc đó, người giúp việc lập tức đo độ dài của bóng Kim tự tháp bằng (hình vẽ trên). Sau đó, ông đưa ra ngay chiều cao của Kim tự tháp một cách hết sức chuẩn xác.
Thales làm thế nào để đo được chiều cao của Kim tự tháp? Ông phải chờ tới khi độ dài của bóng người ông bằng chính độ cao của ông mới đo, chính lúc đó tia nắng mặt trời và người ông tạo thành một góc . Tức là . Lúc ấy, điểm đỉnh của Kim tự tháp cùng với điểm trung tâm của Kim tự tháp và điểm cuối của bóng Kim tự tháp tạo thành một tam giác vuông cân, và như vậy đương nhiên hai cạnh bên . Nửa độ dài của Kim tự tháp chính là đoạn (đã được ông đo trước, còn độ dài đoạn bóng Kim tự tháp chính ông nhờ các trợ lý đo. Cuối cùng chỉ việc cộng lại hai đoạn và lại là ra chiều cao Kim tự tháp.
Ví dụ 2
Làm thế nào để đo được chiều cao của cây?
Cách 1 (Phương pháp dùng gậy – nằm trên mặt đất)
Phương pháp đo cây sau đòi hỏi phải có một khoảng đất trống vừa đủ rộng. Các bước thực hiện như sau:
Gọi chiều cao của cây là .
Cắm cây sậy có chiều cao là cách gốc cây một khoảng sao cho có thể lấy số đo.
Nằm xuống và ngắm sao cho ngọn cây trùng với đỉnh của gậy. Bây giờ mắt người, đỉnh gậy và ngọn cây thẳng hàng.
Gọi đoạn từ vị trí đặt mắt đến gốc cây là , từ mắt đến nơi cắm gậy là . Theo định lí Thales, ta có: .
Vậy chiều cao của cây là: .
Cách 2 (Phương pháp dùng gậy và bóng nắng)
Nếu có ánh mặt trời, ta đo chiều cao bằng cách cắm một gậy xuống đất, đo chiều dài của bóng cây và bóng gậy in trên mặt đất. Gọi:
 là chiều cao của cây muốn đo.
 là chiều dài của bóng cây.
 là chiều cao cây gậy.
 là chiều dài của bóng cây.
Theo định lí Thales, ta có: .
Cách 3 (Phương pháp “Cách ngắm của Hoạ sĩ”)
Đặt dưới chân mục tiêu (ở đây là cây) cần đo một cây gậy chuẩn (hay một người đứng ngay chỗ mục tiêu) mà ta đã biết rõ chiều cao.
Đứng cách xa mục tiêu một khoảng cách gấp lần chiều cao phỏng đoán của mục tiêu.
Cầm một cây que hoặc một cây bút dang thẳng tay ra đằng trước.
Bấm ngón tay trên que để ghi dấu chỗ trên mặt đất.
Sau đó, chúng ta đo ướm dần lên xem mục tiêu cao hơn vật chuẩn mấy lần.
Nhân chiều cao của vật chuẩn với số lần đó thì ta có chiều cao mục tiêu.
Nhận xét
Ta hoàn toàn áp dụng được các phương pháp đo chiều cao của cây đối với chiều cao của Kim tự tháp.
Ví dụ 3
Làm thế nào để đo được chiều rộng của một con sông?
Cách 1 (Phương pháp hai tam giác vuông bằng nhau)
Ta chọn một điểm gốc bên kia mép bờ sông, đối diện bờ sông bên này ta đóng một cọc sát bờ.
Từ ta xoay một góc rồi đo điểm bất kỳ để đóng cọc , kéo dài chọn điểm sao cho .
Tại kẻ một tia vuông góc với (góc vuông tại )
Trên tia xác định điểm sao cho thẳng hàng.
Ta có hai tam giác vuông . Vậy .
Đo chính là khoảng cách (chiều rộng bờ sông) cần tìm.
Cách 2 (Phương pháp tam giác đồng dạng)
Chọn một điểm sát bên kia bờ sông, đối diện sát bờ sông bên này đóng một cọc . Từ ta nối dài đóng một cọc tiêu .
Kẻ tia vuông góc với tại , trên tia đóng cọc tiêu .
Kẻ tia vuông góc với tại , trên tia xác định cọc tiêu sao cho thẳng hàng. (Xem hình vẽ).
Hai tam giác và đồng dạng. Nên theo định lí Thales ta có:
.
LỜI BÌNH
	Định lí Thales là một trong những định lí hình học quan trọng nhất của hình học Euclide. Từ định lí ta có thể rút ra các định lí hình học quan trọng như định lí ba đường trung tuyến, định lí ba đường cao, định lí ba đường phân giác, định lí Céva, Ménélaus, Định lí Thales còn được ứng dụng trong toán đồ gióng thẳng, một ứng dụng rất quan trọng trong sản xuất và đời sống.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
	Bài toán 1
	Cho tam giác . Gọi là trọng tâm của tam giác . Qua vẽ song song với .
Tính tỉ số ?
Chứng minh .
Bài toán 2
Cho hình thang . Trên cạnh bên lấy điểm sao cho . Qua kẻ đường thẳng song song với các đáy và cắt tại . Chứng minh rằng: .
Bài toán 3
Bóng của một ống khói nhà máy trên mặt đất có độ dài là m. 
Cũng thời điểm đó, một thanh sắt cao m cắm vuông góc với mặt 
đất có bóng dài m. Tính chiều cao của ống khói (hình vẽ).
ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
	Bài toán 1
	Theo định lí Thales, ta có:
	Vậy:	a) .
	b) .
	Vậy .
	Bài toán 2
	Sử dụng định lí Thales.
	Bài toán 3
	.
§4. TIẾT KIỆM TRONG TĂNG GIA SẢN XUẤT
KIẾN THỨC LIÊN QUAN
	Tiết kiệm trong tăng gia sản xuất là vấn đề cấp bách trong sinh hoạt, sản xuất và đời sống. Các bác nông dân thì muốn tiết kiệm đất trồng và trồng được nhiều số cây đạt năng suất cao nhất. Các anh chị công nhân thì muốn tiết kiệm nguyên vật liệu, chi phí sản xuất. Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cách tiết kiệm chi phí trong tăng gia sản xuất.
VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tính diện tích bằng các cách khác nhau, so sánh xem diện tích nào là tối ưu nhất.
Rút ra kết luận của bài toán.
Ví dụ 1
Trên một mảnh đất tăng gia trồng xu hào của một nông trường, các bác nông dân muốn trồng xu hào theo cách tiết kiệm đất và đạt số lượng cây trồng nhiều nhất (Tất nhiên không được quên điều kiện cần thiết về khoảng cách giữa hai cây để giúp cây có thể phát triển và cho thu hoạch được). Có hai phương án trồng xu hào được đưa ra như sau:
	Hình 1	 Hình 2	
Hỏi cách trồng xu hào như thế nào là hợp lí nhất?
Chắc nhiều bạn sẽ trả lời các trồng như hình 1 là hợp lí nhất, lợi nhất. Tuy nhiên sự thật không phải vậy. Bằng công cụ hình học sơ cấp, chúng ta sẽ chứng minh được rằng cách trồng ở hình 2 mới là tối ưu theo yêu cầu đề bài.
Thật vậy, giả sử khoảng đất xung quanh mỗi gốc cây để cho cây sống và phát triển là đường tròn có đường kính bằng đơn vị dài. Thế thì, giữa cây trồng có một khoảng đất bỏ phí. Ở hình đó là “tứ giác đều cong” (tứ giác có cung tròn bằng nhau), ở hình 2 là “tam giác đều cong” (tam giác có cung tròn bằng nhau). Ta hãy xét với hai cách trồng thì số đất bỏ phí nào ít hơn.
Diện tích của tứ giác đều cong bằng diện tích hình vuông trừ diện tích hình tròn, nên bằng: (đơn vị diện tích).
Diện tích tam giác đều cong bằng diện tích hình thoi trừ đi diện tích hình tròn nên bằng: (đơn vị diện tích).
Tỉ số: ,
Vậy diện tích đất bỏ phí trong cây trồng theo hình 1 gấp hơn lần rưỡi diện tích đất bỏ phí trong cây trồng theo hình 2.
Bây giờ ta xét số cây trồng theo cách nào được nhiều hơn. Mới thoạt nhìn chắc các bạn cho rằng trồng theo cách 2 được ít cây hơn vì cứ hàng lại thiệt đi một cây. Nhưng đó chỉ là cách “Bỏ con săn sắt bắt con cá rô” đấy các bạn ạ. Nếu các bạn không tin chúng ta hãy tính thử.
Trong vườn 2, khoảng cách giữa hai hàng ngang là bằng chiều cao của tam giác đều nên bằng đơn vị dài.
Trong vườn 1, khoảng cách giữa hai hàng ngang là đơn vị dài, do đó trồng theo cách 2 lợi được 1 khoảng đất là:
 (đơn vị dài).
Nói cách khác tức là cứ trung bình khoảng hàng ngang thì cách trồng ở vườn 2 lợi hơn cách trồng ở vườn 1 là hàng.
Để cụ thể giả sử số cây trồng mỗi hàng ngang là cây thế thì cứ trồng hàng thì theo cách 2 lợi được cây nhưng phải bỏ bớt đi cây (ở các hàng ) nên còn lợi cây.
Do đó nếu diện tích đất trồng càng rộng thì rõ ràng theo cách 2 (ở hình 2) càng trồng được nhiều cây và càng tiết kiện được đất.
Ví dụ 2
Trong một nhà máy, các anh thợ công nhân cần cắt một tấm tôn ra nhiều miếng tròn, đường kính . Bạn hãy cắt sao cho được nhiều miếng tròn nhất?
Nếu không chịu khó tính toán thì có thể bạn sẽ cắt theo kiểu đơn giản như hình 3 và được miếng tròn. Nhưng nếu suy nghĩ kỹ hơn thì bạn sẽ thấy rằng cắt theo kiểu hình 4 thì lợi hơn và được miếng.
Hình 3	Hình 4
Tại sao cắt theo kiểu hình 4 lợi hơn?
Lia do cũng giống như trồng cây ở ví dụ 1. Như ở đây ta sẽ lập luận hơi khác một chút. Cho là đường kính của miếng tròn. Trong mỗi ô vuông ở hình 3, tỉ số diện tích sử dụng (tức là tỉ số diện tích miếng tròn so với diện tích ô vuông) bằng:
.
Nếu tấm tôn khá lớn so với các miếng tròn thì số ô lẻ (ô không tròn) ở rìa là không đáng kể và tỉ số diện tích sử dụng trên toàn tấm tôn bằng xấp xỉ .
Mặt khác, theo kiểu cắt ở hình 4, ta có thể chia tấm tôn ra từng ô lục giác, trong mỗi ô đó tỉ số diện tích sử dụng là:
 ( là diện tích lục giác – bạn nên kiểm tra lại).
Vậy tỉ số diện tích sử dụng theo kiểu cắt này xấp xỉ bằng .
Do đó cắt theo kiểu thứ hai lợi hơn hẳn so với kiểu thứ nhất.
LỜI BÌNH 
	Cách sắp xếp các hình tròn như hình 4 là “chặt” nhất, vì có thể chứng minh rằng trong mọi cách sắp xếp khác tỉ số diện tích sử dụng đều nhỏ hơn . Chính vì lí do ấy mà khi sắp xếp các vật tròn (chai, hộp tròn, ống) trong những trường hợp lớn người ta sắp xếp theo kiểu như hình 4 cho lợi chỗ.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
	Bài toán 1
	Tìm một ứng dụng sắp xếp theo kiểu như hình 4 nói trên tròn thực tế.
	Bài toán 2
	Ngày 4/4/1918, một đạo luật của quốc hội Hoa Kỳ cho phép thêm một ngôi sao vào lá cờ khi có một bang nữa được nhận vào liên bang. Năm 1959 có bang. Vì nên các ngôi sao được sắp xếp một cách đẹp đẽ thành hàng, mỗi hàng sao. Năm 1959 có bang Alaska gia nhập liên bang nên có bang. Vì nên các ngôi sao được sắp xếp thành hàng, mỗi hàng có sao. Năm 1960 có thêm bang Hawaii, trên lá cờ của Hoa Kỳ phải có ngôi sao. Vì nên người ta quyết định xếp các ngôi sao thành hàng ngôi sao, đan xen với hàng sao, điều này đạt đến sự cân đối trong việc bố trí các ngôi sao như ta thấy trên lá cờ của Hoa Kỳ hiện nay như hình vẽ.
	Một câu hỏi xuất hiện một cách tự nhiên là: Người ta sẽ xếp các ngôi sao như thế nào nếu có thêm một bang nữa ( bang)?
ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
	Bài toán 1
	 điếu thuốc trong bao thuốc là bất kì được sắp xếp theo kiểu hình 4 nói trên.
	Bài toán 2
	Nếu xếp ngôi sao thành hàng, mỗi hàng gồm ngôi sao thì không đạt yêu cầu cả về phương diện hiện thực lẫn phương diện thẩm mĩ. Phương án xếp các ngôi sao thành từng hàng trong khung hình chữ nhật phải đáp ứng các yêu cầu sau:
Số các ngôi sao trong hai hàng liền kể nhau sai khác ít tới mức có thể được, tức là bằng nhau hoặc chỉ hơn kém nhau một ngôi sao.
Số các hàng chẵn và số các hàng lẻ sai khác ít tới mức có thể được, tức là số các hàng chẵn bằng số các hàng lẻ hoặc sai khác .
Đặt là số các hàng, mỗi hàng có sao và là số các hàng, mỗi hàng có sao, ta cần có: 
Xảy ra 2 trường hợp:
Nếu thì .
Suy ra: .
Vì và là số nguyên nên mẫu số chỉ có thể là , hoặc hoặc hoặc .
Nếu thì ,
Nếu thì ,
Nếu thì .
Các trường hợp này đếu không đạt.
Còn với thì kéo theo và .
Lúc đó, . Lá cờ với ngôi sao có thể được xếp thành hàng ngôi sao và hàng ngôi sao. Ý định này quả thực có thể được chấp nhận để sắp xếp cho lá cờ trong tương lai.
Nếu thì phương trình trên trở thành:
 hay , mà là một số nguyên. Suy ra cũng là một số nguyên, tức là cũng là số nguyên. Vì là số nguyên tố nên chỉ có thể hoặc . Cả hai trường hợp này đều bị loại. Như vậy chỉ có thể sử dụng phương án như ở trường hợp a).
Điều gì xảy ra vào thời điểm năm 1960 có thêm bang Hawaii, số bang tăng từ lên ? Dĩ nhiên có thể sắp xếp ngôi sao thành hàng ngôi sao hoặc hàng ngôi sao, nhưng cả hai phương án đó đều không phù hợp với tính thẩm mĩ.
Sử dụng các biến như đã nêu ở trên, trong trường hợp a), ta có:
Và , suy ra hay .
Vì là một số lẻ lớn hơn nên nó chỉ có thể là hoặc từ đó hoặc .
Nếu thì và , điều này tạo ra hình ảnh một khung hình chữ nhật “quá cao”, có hàng ngôi sao và hàng ngôi sao!
Nếu thì và thì ta cũng nhận được một phương án không đạt.
Ta xét trường hợp b).
Từ và suy ra .
Suy ra hay là một số nguyên, nên
 cũng là số nguyên.
Ta có bảng các giá trị của như sau:
Hai cột thứ nhất và thứ tư trong bảng giá trị trên cho phương án không đạt.
Hai cột thứ hai và thứ ba ứng với chính là phương án sắp xếp lá cờ hiện nay và nó đã được chấp nhận.
§5. TRỒNG CÂY THẲNG HÀNG TRONG THỰC TẾ
CÓ LIÊN QUAN ĐẾN TOÁN HỌC KHÔNG?
KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Trồng cây có ý nghĩa thực tiễn quan trọng: để lọc sách không khí, điều tiết khí hậu, làm đẹp thành phố.
Như vậy trong trồng cây thì có gì liên quan đến toán học? Đương nhiên là có. Có một đề toán đơn giản sau:
Có một đoạn đường vào một khu vườn dài m, cứ cách m thì trồng một cây. Hỏi cần trồng mấy cây?
Không cần suy nghĩ lâu cũng dễ thấy: (cây).
Nếu chúng ta chỉ trả lời như vậy thì là sai. Vì chớ quên một cây trồng ở đầu đường nên phải thêm cây nữa.
Như vậy số cây cần phải trồng là: (cây).
Đây mới là đáp án đúng.
Đối với nhiều bài toán trồng cây khác, thì vấn đề trở nên phức tạp. Để giải và hiểu được chúng cần suy nghĩ nhiều.
VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Nên dựa vào các định lí quen thuộc, các hình vẽ có tính đối xứng, như định lí Papus, 
Rút ra lời giải bài toán.
Bài toán 1 (Bài toán Newton)
Trong một vườn cây có cây. Hãy trồng thành hàng, mỗi hàng có cây.
Cách 1
Newton đưa ra cách giải như sau:
Các hàng là: .
Rõ ràng đây là một cách giải thú vị. ngoài cách giải này, chúng ta có cách giải khác như sau
Cách 2
Các hàng là: .
Bản chất của các cách trồng cây thẳng hàng này như thế nào? Mỗi cách trồng cây có một cơ sở toán học ẩn chứa đằng sau và các cách giải trên không phải ngoại lệ. Tuy nhiên có nhiều cách giải chỉ đưa ra được đáp án mà chưa tìm được cơ sở toán là bản chất của cách trồng cây vì đó là vấn đề rất phức tạp vượt quá khả năng của chúng tôi.
Cở sở toán của cách 1 trong ví dụ 1 là bài toán sau:
Bài toán 1 (Định lí Papus)
Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng . Gọi giao điểm của và là ; và là ; và là . Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.
Trường hợp 1: không đi qua 
Kí hiệu ; ta gọi:
. Ta cần chứng minh: thẳng hàng.
Xét tam giác với đường thẳng đi qua ba điểm thảng hàng .
 thẳng hàng 	(1)
Xét tam giác với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng , ta có: 
	(2)
Tam giác với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng , ta có:
	(3)
Tam giác với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng , ta có;
	(4)
Do thẳng hàng nên 	(5)
Do thẳng hàng nên 	(6)
Nhân (2), (3), (4) áp dụng (5), (6) ta suy ra (1)
Ta có điều phải chứng minh.
Trường hợp 2: đi qua 
Bạn đọc tự xét trường hợp này.
Như vậy bản chất của cách 1 ví dụ 1 là định lí Papus. Từ cơ sở toán này, chúng ta đưa ra cách giải tổng quát hơn cách 1 trong ví dụ 1 như sau:
Cơ sở toán của cách 2 trong ví dụ 1
Bài toán 2
Cho tam giác với điểm nằm trong tam giác. Các tia 
 cắt các cạnh tương ứng tại . 
Gọi là giao điểm của và . Gọi là giao điểm của 
 và . Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy.
Áp dụng định lí Ménélaus cho tam giác (với bộ ba điểm thẳng hàng ) và tam giác (với bộ ba điểm thẳng hàng ), ta có
Suy ra	(1)
Áp dụng định lí Céva cho tam giác với bộ ba đường thẳng đồng quy : .
Từ đó: 	(2)
Từ (1) và (2) ta có: .
Vậy theo phần đảo của định lí Céva, đồng quy, hay đồng quy.
Ví dụ 2
 Trong một vườn cây có cây. Hãy trồng thành hàng, mỗi hàng có cây.
Bài toán nay có nhiều cách giải khác nhau.
Cách 1
Các hàng là .
Cách 2
Các hàng là: .
Cách 3
Các hàng là: .
Cách 4
Các hàng là .
Ví dụ 3
Trong một vườn cây có cây. Hãy trồng thành hàng, mỗi hàng có cây.
Ta có một cách trồng cây như sau:
Ta có các hàng là: 
.
Ví dụ 4 (Bài toán Same Loaid)
Trong một vườn cây có cây. Hãy trồng thành hàng, mỗi hàng có cây.
Các hàng là: 
.
Tuy nhiên bài toán Same Loaid có thể làm tốt hơn như sau:
Ví dụ 5
Trong một vườn cây có cây. Hãy trồng thành hàng, mỗi hàng có cây.
Ta có một cách trồng cây như sau:
LỜI BÌNH
Chúng ta vừa có những khám phá thú vị xoay quanh bài toán trồng cây thẳng hàng. Có ba vấn đề chính đối với bài toán trồng cây thẳng hàng, đó là: Thứ nhất, lời giải của bài toán trồng cây thẳng hàng. Thứ hai, tại sao lại có được lời giải như vậy. Cuối cùng, bản chất toán học của lời giải trồng cây thẳng hàng như thế nào. Đây chính là những vấn đề mà rất nhiều cuốn sách, các bài báo thường ít quan tâm đề cập đến. Nhưng chúng chính là mấu chốt để chúng ta hiểu một cách sâu sắc toàn diện về trồng cây thẳng hàng.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài toán 3
Trong một vườn cây có cây. Hãy trồng thành hàng, mỗi hàng có cây.
Bài toán 4
Trong một vườn cây có cây. Hãy trồng thành hàng, mỗi hàng có cây.
ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài toán3
Bài toán 4
Bài toán này có cách trồng cây như sau:
§6. PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHỨNG MINH
CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Ở bậc Trung học Cơ sở, chúng ta đã được học một số bất đẳng thức quan trọng như bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức Cauchy. Mộ bài toán cực trị hình học đòi hỏi chúng ta phải tìm một giá trị độ dài, diện tích, thể tích, nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của một đối tượng hình học có tính chất chung nào đó. Như vậy ta phải so sánh kích cỡ của những hình hoặc vị trí cần khảo sát có tính chất mà bài toán đặt ra. Để giải quyết vấn đề đó người ta hay dùng bất đẳng thức so sánh là đơn giản nhất, hoặc áp dụng các bất đẳng thức nổi tiếng đã biết. Từ những bất đẳng thức hoặc hệ quả của bất đẳng thức ta rút ra những kết luận của bài toán.
Sau đây là các bất đẳng thức cơ bản sẽ sử dụng trong bài viết.
Bất đẳng thức 1
Chứng minh rằng .
Dấu “=” xảy ra khi .
Thật vậy .
Từ đây ta rút ra hệ quả:
Hệ quả 1
Nếu thì: .
Dấu “=” xảy ra khi .
Bất đẳng thức 2
Chứng minh rằng với số thực không âm ta có:
	.
Dấu “=” xảy ra khi .
Thật vậy:
	 .
Từ đây, ta rút ra hệ quả:
Hệ quả 2
Nếu thì .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Thật vậy, đặt thì theo bất đẳng thức 2, ta có
	.
Bất đẳng thức 3
Chứng minh rằng với số ta có .
Dấu “=” xảy ra khi .
Thật vậy, theo bất đẳng thức 1, ta có:
	 .
Từ đây, ta rút ra hệ quả:
Hệ quả 3
Nếu thì .
Dấu “=” xảy ra khi .
Thật vậy, đặt thì theo bất đẳng thức 3, ta có:
	.
VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng các hệ quả 1, 2, 3.
Rút ra lời giải của bài toán.
Ví dụ 1
Ba con đường cắt nhau tạo ra một tam giác. Trong tam giác
 đó phải đặt xí nghiệp ở đâu để tổng độ dài các con đường từ xí
 nghiệp ra các con đường là ngắn nhất?
Giả sử các giao điểm của ba con đường là các đỉnh của một
 tam giác và . Đặt khoảng cách từ điểm
 bất kỳ đến các cạnh của tam giác lần lượt là
 và .
Khi đó diện tích của tam giác bằng tổng diện tích của 
tam giác và :
	.
Từ đó ta có bất đẳng thức , trong đó dấu bất đắng thức chỉ xảy ra:
Hoặc khi , nếu ,
Hoặc khi , nếu ,
Hoặc khi bất kỳ, nếu .
Như vậy, ứng với các trường hợp ta có kết luận:
Xí nghiệp phải đặt ở đỉnh đối diện với cạnh lớn nhất.
Nếu có hai cạnh lớn nhất bằng nhau, thì xí nghiệp đặt ở điểm bất kì trên cạnh nhỏ nhất.
Nếu cả ba cạnh bằng nhau thì xí nghiệp đặt bất kì đầu trong tam giác kể cả trên một cạnh nào đó.
Ví dụ 2 (Bài toán mở đường)
Hãy chọn hướng mở một con đường đi qua thành phố sao
 cho tổng các khoảng cách từ nó tới hai điểm dân cư đã có là
 nhỏ nhất.
Giả sử ( là vị trí thành phố, còn và là 
vị trí của hai điểm dân cư). Gọi là điểm đối xứng với 
qua điểm . Con đường ta cần tìm có thể cắt đoạn tại 
 hoặc cắt đoạn tại .
Trường hợp thứ nhất.
Diện tích 
Nghĩa là 
Trường hợp thứ hai. Tương tự như phần 1 ( là khoảng
 cách từ đến , là khoảng cách từ đến ), diện tích 
Nghĩa là:	.
Vì vậy giá trị nhỏ nhất khi các giá trị hoặc tương ứng càng lớn. Độ dài này lớn nhất khi .
Nếu hoặc trường hợp thì con đường đi qua hoặc đi qua đều như nhau.
Kết luận: Con đường phải đi qua điểm dân cư cách thành phố xa hơn, còn nếu thành phố cách đều hai điểm dân cư thì con đường đi qua bất cứ điểm dân cư nào.
Ví dụ 3 (Bài toán đào mương)
Người ta đào một con mương với thiết diện cắt ngang
 là một hình thang cân, đáy và cạnh bên có cùng độ dài là
 . Độ dài của đáy lớn (bề ngang của mặt mương) hình
 thang là bao nhiêu để diện tích của mặt cắt là lớn nhất
 (cho lưu lượng nước thoát qua lớn nhất).
Đặt là độ dài của hình chiếu cạnh bên hình thang xuống đáy lớn (bề rộng mương). Khi đó:
	.
Hay:	
Hoặc:	.
Áp dụng hệ quả 3 ở trên ta có:
	.
Vậy khi .
Lúc này, cạnh lớn của hình thang có chiều dài là , góc nhọn của nó là .
Ví dụ 4
Từ một miếng bìa hình vuông cạnh , người ta cắt bốn góc những hình vuông bằ