Đề chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Cẩm Xuyên (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
 HUYỆN CẨM XUYÊN NĂM HỌC 2019 – 2020
 MÔN TOÁN 9
 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
 Mã đề 01
 I. PHẦN ĐIỀN KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
 Câu 1: Với giá trị nào của x thì x2 9 có nghĩa?
 Câu 2: Rút gọn biểu thức A 7 4 3 4 2 3
 a
 Câu 3: Cho các số dương a,b thỏa mãn 2a 3 ab 2b 0 . Tính tỉ số 
 b
 1
 Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B x2 x 
 2
 Câu 5: Cho ABC vuông tại A có AB 3cm, AC 4cm . Tính khoảng cách từ A đến cạnh BC.
 3
 Câu 6: Cho ABC nhọn có AB 8cm, AC 10cm và sin A . Tính độ dài cạnh BC.
 2
 Câu 7: Cho ABC có AB 4cm, AC 6cm và B· AC 300 . Tính diện tích ABC
 AB 3
 Câu 8: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết và BC 10cm . Tính độ dài cạnh 
 AC 4
 HC.
 3
 Câu 9: Cho góc nhọn . Tính tan biết cos 
 4
 Câu 10: Tứ giác ABCD có AB / /CD, AC  BD, BH  CD tại H. Biết BD 6cm, BH 4,8cm . 
 Tính độ dài đường chéo AC.
 II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
 x2 x2
 Câu 11: Rút gọn biểu thức P x2 4 x2 4 với x 2 2
 4 4
 Câu 12: Giải phương trình 3x2 12x 13 2x2 8x 12 3
 Câu 13:Chứng minh bất đẳng thức a(4a 5b) b(4b 5a) 3(a b) với a,b là các số không 
 âm. Dấu “=” xảy ra khi nào?
 Câu 14: Tìm các số nguyên dương x, y để A, B đồng thời là các số chính phương biết 
 A x2 y 1 và B y2 x 4
 CHỨNG MINH
 Câu 1: Với giá trị nào của x thì x2 9 có nghĩa?
 Lời giải
 2 2 x 3
 Để biểu thức x 9 có nghĩa thì x 9 0 
 x 3
 Câu 2: Rút gọn biểu thức A 7 4 3 4 2 3
 Lời giải
 Ta có A 7 4 3 4 2 3
 A (2 3)2 ( 3 1)2 A 2 3 3 1
 A 3
 a
Câu 3: Cho các số dương a,b thỏa mãn 2a 3 ab 2b 0 . Tính tỉ số 
 b
 Lời giải
2a 3 ab 2b 0
 (2 a b)( a 2 b) 0 (Vì 2 a b 0 )
 a 2 b 0
 a 2 b
 a a
 2 4
 b b
 1
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B x2 x 
 2
 Lời giải
 1
Ta có B x2 x 
 2
 2
 1 3
 B x 
 2 4
 2
 3 1 1
 MaxB Dấu “=” xảy ra x x 
 4 2 2
Câu 5: Cho ABC vuông tại A có AB 3cm, AC 4cm . Tính khoảng cách từ A đến cạnh BC.
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 B
Ta có 
 AH 2 AB2 AC 2 AH 2 9 16 H
 144
 AH 2 AH 2,4(cm)
 25
 Vậy khoảng cách từ A đến cạnh BC là 2,4cm
 A C
 3
Câu 6: Cho ABC nhọn có AB 8cm, AC 10cm và sin A . Tính độ dài cạnh BC.
 2
 Lời giải A
Kẻ BH  AC H
 3 BH 3 8. 3
Ta có sin A BH 4 3cm
 2 AB 2 2
 2 2
Có AH AB BH 64 48 16 4cm B C
 HC AC AH 10 4 6cm
 BC HC 2 BH 2 48 36 2 21cm
 A
Câu 7: Cho ABC có AB 4cm, AC 6cm và B· AC 300 . Tính diện tích ABC
 H
 Lời giải
Kẻ BH  AC
 BH 1 BH
sin A BH 2cm
 BA 2 4 B C 1 1
 S BH.AC .2.6 6cm2
 ABC 2 2
 AB 3
Câu 8: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết và BC 10cm . Tính độ dài cạnh 
 AC 4
HC.
 Lời giải B
 AB 3 3AC
Ta có AB H
 AC 4 4
 9AC 2
 BC AB2 AC 2 10 AC 2
 16
 C
 25AC 2 A
 100 AC 2 64
 16
Lại có AC 2 HC.BC 64 HC.10 HC 6,4cm
 3
Câu 9: Cho góc nhọn . Tính tan biết cos 
 4
 Lời giải
 3
cos 41,41o tan 0,882
 4
Câu 10: Tứ giác ABCD có AB / /CD, AC  BD, BH  CD tại H. Biết BD 6cm, BH 4,8cm . 
Tính độ dài đường chéo AC.
 Lời giải D H
Gọi giao điểm của BH và AC là I. C
Kẻ CH vuông với AB tại F HCFB là hình chữ nhật HB CF 4,8cm I
 2 2 2 2
DH BD HB 6 4,8 12,96 3,6cm K
 IKB ∽ IHC (g-g)
 K· BI I·CH hay D· BH I·CH
Mà DC / / AB I·CH C· AB A B F
 D· BH C· AF
 DH CF
 sin D· BH sin C· AF 
 BD AC
 3,6 4,8 6.4,8
 AC 8cm
 6 AC 3,6
II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
 x2 x2
Câu 11: Rút gọn biểu thức P x2 4 x2 4 với x 2 2
 4 4
 Lời giải
 x2 x2
P x2 4 x2 4
 4 4
 x2 4 x2 4
P x2 4 1 x2 4 1
 4 4 2 2
 x2 4 x2 4 
P 1 1 
 2 2 
 x2 4 x2 4
P 1 1
 2 2
 x2 4 x2 4
P 1 1 (Vì x 2 2 )
 2 2
P 2
Câu 12: Giải phương trình 3x2 12x 13 2x2 8x 12 3
 Lời giải
Ta có 
 3x2 12x 13 3(x2 4x 4) 1 3(x 2)2 1 1
 2x2 8x 12 2(x2 4x 4) 4 2(x 2)2 4 4 2
 VT 1 2 3
Dấu “=” xảy ra x 2 2 0 x 2
Câu 13:Chứng minh bất đẳng thức a(4a 5b) b(4b 5a) 3(a b) với a,b là các số không 
âm. Dấu “=” xảy ra khi nào?
 Lời giải
Ta có a(4a 5b) b(4b 5a)
 a. (4a 5b) b. (4b 5a)
 (a b)(4a 5b 4b 5a) (Bất đẳng thức Bunhia)
 9(a b)2 
 3(a b)
 a 4a 5b
Dấu “=” xảy ra 
 b 4b 5a
 a 4a 5b
 b 4b 5a
 4ab 5a2 4ab 5b2
 a b (Vì a,b 0 )
Câu 14: Tìm các số nguyên dương x, y để A, B đồng thời là các số chính phương biết 
A x2 y 1 và B y2 x 4
 Lời giải
Ta có A x2 y 1
 B y2 x 4
- Với x y thì x2 x2 y 1 x2 x 1 x2 2x 1 (x 1)2
 x2 B (x 1)2
Không tồn tại x, y 
- Với x y y2 y2 x 4 y2 y 4 y2 4y 4 (y 2)2
 y2 B (y 2)2
 B (y 1)2 y2 x 4
 x 2y 3 A x2 y 1 (2y 3)2 y 1 4y2 11y 10
Vì A là số chính phương nên A k 2
 k 2 4y2 11y 10
 4y2 11y 10 k 2 0
 16k 2 39
Để A là số chính phương là số chính phương
 16k 2 39 a2
 (4k a)(ak a) 39 1.39 3.13
 4k a 1 a 19 4k a 3 a 5
 và 
 4k a 39 k 5 4k a 13 k 2
Với k 5 y 1 (loại)
Với k 2 y 2 x 1
Vậy cặp số (1;2) thỏa mãn yêu cầu đề bài