Đề chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Đan Phượng (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ĐAN PHƯỢNG - NĂM 2019
Câu 1:(2,0 điểm) Tính:
 a. A 3. 12 27 5 75 
 2 8
 b. B 2 45 1 5 .
 5 1
Câu 2:(2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
 1
 a. x 2 4x 8 9x 18 0 
 2
 b. x2 4x 4 2x 1 
Câu 3:(2,0 điểm) 
 x 2 x x 9 x
 Cho hai biểu thức A và B với x 0, x 4, x 9. 
 x 2 x 3 x 9
 a. Tính giá trị của biểu thức A khi x 100; 
 b. Rút gọn biểu thức B; 
 c. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M A : B có giá trị nguyên.
Câu 4:(4,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC , đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là 
 chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB, AC. 
 a. Cho BH 4cm,CH 9cm . Tính AH, DE; 
 b. Chứng minh AD.AB AE.AC ; 
 c. Đường phân giác của B· AH cắt BC tại K. Gọi I là trung điểm của AK . Chứng minh 
 tam giác AKC cân và CI vuông góc với AK; 
 1 1 1
 d. Dựng IM vuông góc với BC tại M. Chứng minh . 
 AH 2 AK 2 4CI 2
 LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ĐAN PHƯỢNG - NĂM 2019
Câu 1:(2,0 điểm) Tính:
 a. A 3. 12 27 5 75 
 2 8
 b. B 2 45 1 5 .
 5 1
 Lời giải
 a. A 3. 12 27 5 75 
 A 36 81 5 3 5 3
 A 6 9 3
 2 8
 b. B 2 45 1 5 .
 5 1 B 6 5 5 1 2 5 1 
 B 7 5 1 2 5 2
 B 5 5 1
Câu 2:(2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
 1
 a. x 2 4x 8 9x 18 0 
 2
 b. x2 4x 4 2x 1 
 Lời giải
 1
 a. x 2 4x 8 9x 18 0 Điều kiện: x 2 
 2
 1
 x 2 2 x 2 3 x 2 0
 2
 1 
 2 3 x 2 0
 2 
 3
 x 2 0
 2
 x 2 0
 x 2 
 1
 b. x2 4x 4 2x 1 Điều kiện: x . 
 2
 x 2 2 2x 1
 x 2 2x 1
 x 2 1 2x
 x 2 2x 1
 3x 3
 x 1 t / m 
 x 1(loai)
Câu 3:(2,0 điểm) 
 x 2 x x 9 x
 Cho hai biểu thức A và B với x 0, x 4, x 9. 
 x 2 x 3 x 9
 a. Tính giá trị của biểu thức A khi x 100; 
 b. Rút gọn biểu thức B; 
 c. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M A : B có giá trị nguyên.
 Lời giải
 Điều kiện xác định: x 0, x 4, x 9.
 10 10 5
 a. Khi x 100 (thỏa mãn) thì A 
 10 2 8 4
 2 x x 9 x
 b. B 
 x 3 x 9 2 x x 3 x 9 x
 B 
 x 9
 2x 6 x x 9 x
 B 
 x 9
 x 3 x
 B 
 x 9
 x x 3 x
 B 
 x 3 x 3 x 3
 c. Ta có:
 x x 3 x 3 x 2 5 5
 M A : B . 1 
 x 2 x x 2 x 2 x 2
 Để M nguyên thì x 2 U 5 và x 2 2 nên
 x 2 1;1;5 x 1;3;7  x 1;9;49 Kết hợp với điều kiện ta được 
 x 1;49 
Câu 4:(4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC , đường cao AH. Gọi D và E 
 lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB, AC. 
 a. Cho BH 4cm,CH 9cm . Tính AH, DE; 
 b. Chứng minh AD.AB AE.AC ; 
 c. Đường phân giác của B· AH cắt BC tại K. Gọi I là trung điểm của AK . Chứng minh 
 tam giác AKC cân và CI vuông góc với AK; 
 1 1 1
 d. Dựng IM vuông góc với BC tại M. Chứng minh . 
 AH 2 AK 2 4CI 2
 Lời giải
 A
 E
 I
 D
 C
 B K M H
 a. Xét tứ giác ADHE có µA Dµ Eµ 90 Tứ giác ADHE là hình chữ nhật
 AH DE 
 Ta lại có: ABC vuông tại A có AH là đường cao nên 
 AH 2 DE 2 BH.CH 4.9 36 AH DE 6
b. AHB có ·AHB 90; HD  AB suy ra AD. AB AH 2 1 
 AHC có ·AHC 90, HE  AC suy ra AE. AC AH 2 2 
 Từ 1 và 2 suy ra AD.AB AE.AC
c. ABC vuông tại A nên K· AC 90 B· AK 3 
 AHK vuông tại H nên ·AKH 90 K· AH 4 
 Mặt khác, B· AK K· AH ( AK là phân giác của góc BAH ) 5 
 Từ 3 , 4 và 5 K· AC ·AKH AKC cân tại C nên đường trung tuyến CI 
 đồng thời là đường cao CI  AK. 
d. Ta có IM  BC; AH  BC IM // AH mà I là trung điểm của AK M là trung 
 1
 điểm của AK IM là đường trung bình của tam giác AKH IM AH 
 2
 Xét KIC có K· IC 90, IM  AH 
 1 1 1
 6 
 IM 2 KI 2 IC 2
 1
 Mà IM AH AH 2IM 7 
 2
 1
 IK AK AK 2IK 8 
 2
 4 4 1 1 1 1
 Từ 6 , 7 và 8 
 AH 2 AK 2 CI 2 AH 2 AK 2 4CI 2