Đề chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Đức Cơ (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 HUYỆN ĐỨC CƠ - NĂM 2019
Cõu 1:(4,0 điểm)
 x y x y x y
 1. Rỳt gọn biểu thức: A với x, y 0, x y
 2 x 2 y 2 x 2 y y x
 2x 3 x 2 x3 x 2x 2
 2. Cho A ; B . Tỡm x sao cho A B .
 x 2 x 2
Cõu 2: (4,0 điểm) 
 1. Tỡm x, y  biết x y 2xy 6
 2. Tỡm n để n5 1 chia hết cho n3 1 với n *
Cõu 3: (4,0 điểm) Giải phương trỡnh
 1. x2 9 2 x 3 0
 2. x 1 x3 x2 x 1 1 x4 1
Cõu 4:(2,0 điểm) 
 bc ac ab
 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giỏc. Chứng minh rằng a b c . Đẳng 
 a b c
 thức xảy ra khi nào?
Cõu 5:(6,0 điểm) 
 Cho gúc vuụng xã Oy . Trờn cạnh Ox lấy điểm A sao cho OA 4cm , trờn tia đối của tia
 Ox lấy điểm B sao cho OB 2cm . Đường trung trực của AB cắt AB ở H , M là một 
 điểm nằm trờn đường trung trực đú. Cỏc tia AM , MB cắt Oy lần lượt ở C và D . Gọi E 
 là trung điểm của AC , F là trung điểm của BD .
 1. Chứng minh OE.OF= AE.BF .
 2. Gọi I là trung điểm của EF . Chứng minh 3 điểm O, I, M thẳng hàng.
 3. Xỏc định vị trớ của điểm M để cho OM EF . Khi đú S1 là diện tớch tứ giỏc OBME , 
 S1 S2
 S2 là diện tớch tứ giỏc ABFE . Tớnh tỉ số 
 S1.S2 LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ĐỨC CƠ - NĂM 2019
 x y x y x y
Cõu 1: 1. Rỳt gọn biểu thức: A với x, y 0, x y
 2 x 2 y 2 x 2 y y x
 2x 3 x 2 x3 x 2x 2
 2. Cho A ; B . Tỡm x sao cho A B .
 x 2 x 2
 Lời giải
 x y x y x y x y x y x y
 1. A 
 2 x 2 y 2 x 2 y y x 2 x y 2 x y x y
 x y x y x y
 2 x y 2 x y x y x y 
 x y x y x y x y 2 x y 
 2 x y x y 
 2
 4 xy 2x 2y 2 x y x y
 2 x y x y 2 x y x y x y
 x y
 Vậy A 
 x y
 2x 3 x 2
 2. + Ta cú: A xỏc định khi x 0; x 4.
 x 2
 2x 3 x 2 x 2 2 x 1 
 A 2 x 1
 x 2 x 2
 x3 x 2x 2
 + Ta cú: B xỏc định khi x 0.
 x 2
 x3 x 2x 2 x 2 x 1 
 B x 1
 x 2 x 2
 Ta cú A B nờn 2 x 1 x 1 x 2 x 0 x x 2 0
 x 0 x 0
 2 x 0 x 4
 Kết hợp với điều kiện suy ra x 0
 Vậy x 0 khi A B .
Cõu 2: 1. Tỡm x, y  biết x y 2xy 6 2. Tỡm n để n5 1 chia hết cho n3 1 với n *
 Lời giải
 1. Ta cú x y 2xy 6 2x 2y 4xy 12 2x 4xy 1 2y 11
 2x 1 1 2y 11 1.11 1 . 11 
 Ta cú bảng sau:
 2x 1 1 11 -1 -11
 1 2y 11 1 -11 -1
 x 1 6 0 -5
 y 5 0 -6 -1
 Vậy cặp nghiệm x, y nguyờn là: 1,5 ; 6,0 ; 0, 6 ; 5, 1 
 2. Ta cú n5 1 n5 n2 n2 1 n5 n2 n2 1 n2 n3 1 n2 1 
 Vỡ n5 1 chia hết cho n3 1 nờn cần chứng minh n2 1 chia hết cho n3 1
 Ta cú: n2 1 n 1 n 1 và n3 1 n 1 n2 n 1 
 Khi đú n 1 chia hết cho n2 n 1
 Vỡ n Ơ * nờn ta xột cỏc trường hợp sau:
 Nếu n 1 thỡ n 1 chia hết cho n2 n 1 suy ra n5 1 chia hết cho n3 1
 Nếu n 1 thỡ n 1 n n 1 1 nờn n 1 khụng chia hết cho n2 n 1
 Vậy n 1 thỡ n5 1n3 1.
Cõu 3: Giải phương trỡnh:
 1. x2 9 2 x 3 0
 2. x 1 x3 x2 x 1 1 x4 1
 Lời giải
 1. Điều kiện x 3 
 Ta cú: x2 9 2 x 3 0 x 3 x 3 2 x 3 0 x 3 x 3 2 0
 x 3 0 x 3 TMDK 
 x 3 2 0 x 1 KTMDK 
 Vậy x 3 là nghiệm của phương trỡnh.
 2. ĐKXĐ: x 1. 
 x 1 x3 x2 x 1 1 x4 1 x 1 1 x2 1 x 1 x2 1 x2 1 0
 x 1 1 x2 1 x 1 x 1 x 1 x2 1 0 x 1 1 x2 1 x 1 1 x 1 0
 x 1 1 x2 1 x 1 x 1 1 0
 x 1 1 1 x2 1 x 1 0
 x 1 1 0 x 1 1 x 1 1 1 
 1 x2 1 x 1 0 x2 1 x 1 1 x2 1 x 1 1 2
 1 x 1 1 x 2 TMDK 
 2 x2 1 x 1 1 x3 x2 x 0 (vụ nghiệm vỡ x 1.)
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm x 2.
 bc ac ab
Cõu 4: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giỏc. Chứng minh rằng a b c . Đẳng 
 a b c
 thức xảy ra khi nào?
 Lời giải
 bc ac ab
 Vỡ a,b,c 0 nờn 0; 0; 0
 a b c
 Áp dụng bất đẳng thức cụsi cho hai số khụng õm, ta cú:
 bc ac bc ac
 + 2 . 2c 1 
 a b a b
 ac ab ac ab
 + 2 . 2a 2 
 b c b c
 ab bc ab bc
 + 2 . 2b 3 
 c a c a
 bc ac ab
 Lấy (1) cộng (2) cộng (3) vế theo vế ta được a b c (ĐPCM)
 a b c
Cõu 5: Cho gúc vuụng xã Oy . Trờn cạnh Ox lấy điểm A sao cho OA 4cm , trờn tia đối của tia
 Ox lấy điểm B sao cho OB 2cm . Đường trung trực của AB cắt AB ở H , M là một 
 điểm nằm trờn đường trung trực đú. Cỏc tia AM , MB cắt Oy lần lượt ở C và D . Gọi E 
 là trung điểm của AC , F là trung điểm của BD .
 1. Chứng minh OE.OF= AE.BF .
 2. Gọi I là trung điểm của EF . Chứng minh 3 điểm O, I, M thẳng hàng. 3. Xỏc định vị trớ của điểm M để cho OM EF . Khi đú S1 là diện tớch tứ giỏc OBME , 
 S1 S2
 S2 là diện tớch tứ giỏc ABFE . Tớnh tỉ số 
 S1.S2
 Lời giải
1. + BOD cú OF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BD nờn FO FB
 BFO cõn tại F Bà Fã OB . (1)
+ EAO vuụng tại ? cú OE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền MA nờn 
OE EA EAO cõn tại E àA ãAOE. (2)
+ MAB cú MA MB MAB cõn tại M àA Bà. (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra BFO ∽ OEA (gúc – gúc)
 FO BF
 OE.FO EA.BF.
 EA OE
 2. Ta cú: Mã AB Fã OB nờn OF / / MA 
 Mã BA Eã OA nờn OE / / MB 
 Suy ra tứ giỏc MEOF là hỡnh bỡnh hành. Suy ra đường chộo OM đi qua trung điểm I 
của EF .
 Vậy 3 điểm O, I, M thẳng hàng.
3. OEMF là hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo OM EF nờn OEMF là hỡnh chữ nhật 
 BFO ∽ BMA mà MA MB AMB vuụng cõn tại M Mã AB 450 .
 Khi đú AHM vuụng cõn tại H . Mặt khỏc H là trung điểm của AB
 HM HA 3cm. Vậy M nằm trờn đường trung trực của đoạn thẳng AB và cỏch AB một đoạn 
 MH 3cm .
 MAH vuụng ở H , ta cú: MA2 MH 2 HA2 33 32 18 MA 18 3 2 (cm)
+ BFO và BMA cú Mả Fà; àA Bà; suy ra BFO ∽ BMA (g - g) nờn 
 FO BO 2 1 MA 3 2
 FO 2 (cm)
 MA AB 6 3 3 3
 OE OA 4
 2 OE 2.FO 2 2 (cm)
 FO OB 2
 2 2
 SOEMF OE.FO 2 2. 2 4(cm ) S FEO 4 : 2 2 cm 
 1 1
Ta cú: S .MH.AB .3.6 9(cm2 ) 
 ABM 2 2
 1 S 1
Ta cũng cú BFO ∽ OEA theo tỉ số đồng dạng k nờn BFO k 2 
 2 S OEA 4
 2 2
 S BFO 1 cm ;S OEA 4 cm 
 2
 S1 SOBME SBFO SOEMF 1 4 5 cm 
 2
 S2 SABFE SBFO SFEO SOEA 1 2 4 7 cm .
 S S 5 7 12
Vậy 1 2 .
 S1.S2 5.7 35