Đề chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Hương Khê (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯƠNG KHÊ - NĂM 2019
I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Câu 1: Tính giá trị biểu thức: A 2 3 2 3 
Câu 2: Tìm số thực a , b sao cho:
 Đa thức x4 9x3 21x2 ax b chia hết cho đa thức x2 x2 2 .
Câu 3: Viết hai số tiếp theo của dãy 1; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 10; 13; 17 ; 21; 
 2
 2 2019 2019
Câu 4: Tính giá trị của biểu thức: M 1 2019 
 2020 2020
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2020 
Câu 6: Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn: x2 1 x2 y2 4x2 y 
 x2 y2
Câu 7: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x y và xy 1. Tìm GTNN của biểu thức A .
 x y
Câu 8: Tìm A là số nguyên dương, biết trong ba mệnh đề P , Q , R dưới đây chỉ có duy nhất một 
 mệnh đề sai:
 P “ A 45 là bình phương của một số tự nhiên”
 Q “ A có chữ số tận cùng là số 7”
 R “ A 44 là bình phương của một số tự nhiên”
Câu 9: Cho tam giác ABC có góc A bằng 1200 , AD là phân giác của góc A D BC . Tính độ 
 dài AD biết AB 4cm , AC 6cm .
Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A , có các đường trung tuyến AE và BD vuông góc với 
 nhau, biết AB 1cm . Tính cạnh BC .
II. PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11: Giải các phương trình sau:
 2x x 5
 a) ; b) x2 5x 8 2 x 2. 
 x2 x 1 x2 x 1 3
Câu 12: Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC ( M 
 khác B, C ). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N , trên cạnh AB lấy điểm E sao cho 
 BE CM. 
 a) Chứng minh OEM vuông cân.
 b) Chứng minh ME//BN. 
 c) Từ C kẻ CH  BN H BN . Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng.
Câu 13: Cho hình vuông có cạnh bằng 1, có chứa 29 đường tròn, mỗi đường tròn có đường kính 
 1
 . Chứng minh rằng tồn tại 1 đường thẳng giao với ít nhất 5 đường tròn.
 7
 ---HẾT---
 LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯƠNG KHÊ - NĂM 2019 I. PHẦN GHI KẾT QUẢ
Câu 1: Tính giá trị biểu thức: A 2 3 2 3 
 Hướng dẫn
 2
 A2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 
 A2 4 2 4 3 4 2 2
 Vậy A 1. 
Câu 2: Tìm số thực a , b sao cho:
 Đa thức x4 9x3 21x2 ax b chia hết cho đa thức x2 x2 2 .
 Hướng dẫn
 Ta thực hiện phép chia: 
 x4 9x3 21x2 ax b x2 x 2
 x4 x3 2x2 x2 8x 15
 8x3 23x2 ax b
 8x3 8x2 16x
 15x2 a 16 x b
 15x2 15x 30
 a 1 x b 30
 Vì đa thức x4 9x3 21x2 ax b chia hết cho đa thức x2 x2 2 ,
 a 1 0 a 1
 Nên a 1 x b 30 0 .
 b 30 0 b 30
 Vậy a 1 và b 30 .
Câu 3: Viết hai số tiếp theo của dãy 1; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 10; 13; 17 ; 21; 
 Hướng dẫn
 Ta thấy:
 1 1 2 7 3 10 
 2 1 3 10 3 13 
 3 2 5 13 4 17 
 5 2 7 17 4 21
 Do đó số tiếp theo là 21 5 26 và 26 5 31 .
 Vậy số cần tìm là 26, 31.
 2
 2 2019 2019
Câu 4: Tính giá trị của biểu thức: M 1 2019 
 2020 2020
 Hướng dẫn
 Ta có: 20202 2019 1 2 20192 2.2019.1 1 
 1 20192 20202 2.2019 2 2
 2 2019 2019 2 2019 2019
 M 1 2019 2020 2.2019 2 
 2020 2020 2020 2020
 2
 2019 2019 2019 2019
 2020 2020 2020 
 2020 2020 2020 2020
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2020 
 Hướng dẫn
 F 2x 2 2.2x.y y2 x2 2x 1 y2 2.y.2 4 2015 
 2x y 2 x 1 2 y 2 2 2015 
 2 2 2
 Vì 2x y 0 , x 1 0 , y 2 0 , với x, y ¡ .
 Do đó F 2015 
 2x y 2 0
 2 x 1
 Vậy F đạt GTNN bằng 2015 khi x 1 0 .
 y 2
 y 2 2 0
Câu 6: Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn: x2 1 x2 y2 4x2 y 
 Hướng dẫn
 PT x4 x2 y2 x2 y2 4x2 y
 x2 x2 y x2 y y 1 x2 1 y y y x2 0 
 x2 y x2 y2 y 1 x2 y x2 0 
 2
 x2 y y 1 y 1 .x2 0 
 2 2
 x2 y y 1 .x2 0 * 
 2
 2 2
 x y ¢ x y 0
 Vì x, y ¢ nên hay 
 y 1 ¢ 2 2
 y 1 .x 0
 2
 2 x y
 x2 y 0 x y 
 Kết hợp với * suy ra 2 x 0 
 y 1 0 x 1 .x 0 
 x 1
 - Nếu x 0 thì y 02 0 (Thỏa mãn x, y ¢ )
 - Nếu x 1 thì y 12 1 (Thỏa mãn x, y ¢ )
 2
 - Nếu x 1 thì y 1 1 (Thỏa mãn x, y ¢ )
 Vậy các cặp số nguyên x, y thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 0;0 , 1;1 , 1;1 . 
 x2 y2
Câu 7: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x y và xy 1. Tìm GTNN của biểu thức A .
 x y
 Hướng dẫn x y 2 2xy
 Ta có: A 
 x y
 2 2
 x y 2 x y 2 2
 Mà xy 1 thay vào A, ta có: A x y 
 x y x y x y x y
 2 2
 Vì x y nên x y 0 . Áp dụng BĐT Cô-si: A x y 2 x y . 
 x y x y
 hay A 2 2 .
 2 2
 A 2 2 khi x y x y 2 , kết hợp x y 0 
 min x y
 x y 2 
 x 2 y 
 Mà xy 1, khi đó 2 y y 1 y2 2y 1 0 
 2
 Ta có 
 Vy 2 4.1. 1 6 0
 2 6
 y TM 
 2 2 6
 . khi đó x 2 
 2 6 2
 y L 
 2
 2 6 2 6
 Vậy A đạt GTNN bằng 2 2 khi x 2 , y 
 2 2
Câu 8: Tìm A là số nguyên dương, biết trong ba mệnh đề P , Q , R dưới đây chỉ có duy nhất một 
 mệnh đề sai:
 P “ A 45 là bình phương của một số tự nhiên”
 Q “ A có chữ số tận cùng là số 7”
 R “ A 44 là bình phương của một số tự nhiên”
 Hướng dẫn
 - Nếu P, Q đúng thì A 45 có tận cùng bằng 2. Không là số chính phương, trái với P . 
 Suy ra P hoặc Q sai. 1 
 - Nếu Q và R đúng thì A 44 có tận cùng bằng 3. Không là số chính phương, trái với R . 
 Suy ra Q hoặc R sai. 2 
 Từ 1 và 2 suy ra Q sai.
 Mà A 45 là bình phương của một số tự nhiên nên A 45 có dạng a2 
 A 44 là bình phương của một số tự nhiên nên A 44 có dạng b2 .
 A 45 A 44 a2 b2 
 89 a b a b 
 Mà 89 là số nguyên tố a b 1; a b 89 . a 45, b 44. 
 A 45 452 2025 
 Vậy A 1980.
Câu 9: Cho tam giác ABC có góc A bằng 1200 , AD là phân giác của góc A D BC . Tính độ 
 dài AD biết AB 4cm , AC 6cm .
 Hướng dẫn
 Qua D kẻ DE//AB E AB 
 Vì AD là phân giác góc A của ABC 
 DC AC
 DB AB
 DC AC DC 6 DC 2
 hay 1 
 DB DC AB AC BC 3 6 BC 3
 B· AC 1200
 Ta có: AB là phân giác góc A µA ¶A 600 
 1 2 2 2
 µ ¶ 0
 Mà A1 D1 60 ( DE//AB )
 ¶ ¶ 0
 A2 D1 60 ADE đều
 AD DE 
 Vì DE//AB (cách dựng)
 DE DC
 Xét ABC theo hệ quả định lý Ta-lét: 2 
 AB BC
 DE 2 DE 2 2.3
 Thế 1 vào 2 ta được: hay DE 2 cm 
 AB 3 3 3 3
 AD DE 2cm .
Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A , có các đường trung tuyến AE và BD vuông góc với 
 nhau, biết AB 1cm . Tính cạnh BC .
 Hướng dẫn
 Ta có: B· AE D· AB D· BA 
 BAE ∽ CAB 
 AC AB
 AB AE
 1
 AC.AE 6 AC 2 12 AE AC 
 2
 Áp dụng định lý pytago: BC AC 2 BC 2 3 2 
II. PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11: Giải các phương trình sau:
 2x x 5
 a) ; b) x2 5x 8 2 x 2. 
 x2 x 1 x2 x 1 3
 Lời giải 2 2
 2x x x 1 x x x 1 5
a) PT 
 x2 x 1 x2 x 1 3
 2x3 2x2 2x x3 x2 x 5
 x2 x 1 x2 x 1 3
 3x3 9x2 3x 5x4 5x2 5 
 5x4 3x3 4x2 3x 5 0 
 2
 x 1 5x3 2x2 2x 5 0 
 x 1 1 
 2
 5x 7x 5 0 2 
 2 5x2 7x 5 0 
 5x2 7x 5 0 
 2
 2 7 7 51
 5x 2 5x 0 
 2 5 2 5 20
 2
 7 51
 5x 0 
 2 5 20
 2
 7 
Vì 5x 0 
 2 5 
 2
 7 51
 5x 0 * vô nghiệm.
 2 5 20
Vậy x 1 là nghiệm của PT.
b) x2 5x 8 2 x 2. ĐK: x 2 
 x2 5x 6 2 2 x 2 0 
 x 2 x 3 2 2 x 2 0 
 x 2 x 3 2 x 2 1 0 
 2 x 2 1 
 x 2 x 3 0
 x 2 1
 2 
 x 3 x 2 0 
 x 2 1 
 x 3
 2 x 3 TM 
 x 2 0
 x 2 1 Vậy x 3 là nghiệm của PT.
Câu 12: Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC ( M 
 khác B, C ). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N , trên cạnh AB lấy điểm E sao cho 
 BE CM. 
 a) Chứng minh OEM vuông cân.
 b) Chứng minh ME//BN. 
 c) Từ C kẻ CH  BN H BN . Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng.
 Lời giải
 A E B
 1
 1
 2
 O 3
 M
 H
 1
 D
 C N
 µ µ 0
 a) Vì ABCD là hình vuông nên AC  BD , B1 C1 45 và OB OC .
 Xét OEB và OMC có:
 EB MC (GT)
 µ µ
 B1 C1 (CMT)
 OB OC (CMT)
 OEB OMC c c c 
 OE OM (2 cặp cạnh t.ư) 1 
 µ ¶
 O1 O2 (2 cặp góc t.ư)
 ¶ ¶ 0 ¶ µ 0 · 0
 Ta có O2 O3 90 O2 O1 90 hay OEM 90 2 
 Từ 1 và 2 suy ra OEM vuông cân.
 b) Xét ABM và NCM có:
 ·ABM N· CM 900 
 ·AMB N· MC (đối đỉnh)
 ABM ∽ NCM g g 
 CM MN
 (cạnh tương ứng tỉ lệ)
 BM AM
 CM MN CM MN
 BM CM AM MN BC AN BE MN BE MN
 AB AN AB AN
 ME//BN (ĐL đảo của ĐL Ta-let)
 c) Gọi giao điểm của OM và BN là H ' .
 Ta có M· HB E· MD 450 
 Xét BMH ' và OCM có:
 Hµ Cµ 450 
 B· MH ' C· MO (đối đỉnh)
 BMH '∽ OMC g g 
 BM OM
 Ta có tỉ số: 
 MH ' MC
 B· MO H· 'MC (đối đỉnh)
 BMO ∽ H 'MC c g c 
 O· BM C·H 'M 450
 B· H 'C 900
 H ' trùng với H 
 Vậy O, M , H thẳng hàng.
Câu 13: Cho hình vuông có cạnh bằng 1, có chứa 29 đường tròn, mỗi đường tròn có đường kính 
 1
 . Chứng minh rằng tồn tại 1 đường thẳng giao với ít nhất 5 đường tròn.
 7
 Lời giải
 Kẻ 9 đường thẳng song song cách đều chia hình vuông thành 10 hình chữ nhật có chiều rộng là 
0,1 .
 Vì đường kính của mỗi hình tròn lớn hơn 0,1 nên mỗi đường tròn bị ít nhất một trong 9 đường 
thẳng vừa kẻ cắt.
 Nếu mỗi đường thẳng chỉ cắt không quá 6 đường tròn thì số đường tròn không quá 9.6 54 
 Mà có 55 đường tròn nên ít nhất phải có một đường thẳng cắt 7 đường tròn.
 ---HẾT---