Đề chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Thạch Hà (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THẠCH HÀ - NĂM 2019 -2020
Bài 1:
 a) Tính giá trị biểu thức T 5 3 29 12 5 .
 5 2 5 2
 b) Chứng minh rằng: A 2 .
 5 1
 c) Tính giá trị biểu thức N x2019 3x2020 2x2021 với 
 5 2 5 2
 x 3 2 2 .
 5 1
 3 1 3 1
 d) Cho x và y . Tính M x5 y5 .
 2 2
 e) Cho M a2 2bc 1 b2 2ac 1 1 c2 2ab . Trong đó 
 a,b,c là các số hữu tỉ thỏa mãn ab bc ca 1. Chứng minh rằng: M là một số hữu tỉ.
Bài 2:
 a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xyz 2 x y z .
 b) Tìm các số a,b,c sao cho đa thức f x x3 ax2 bx c chia cho x 2 ; x 1; x 1 
 đều dư 8 .
 c) Tìm các số tự nhiên x, y biết: 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 5y 11879 .
Bài 3: Giải các phương trình sau:
 9x2
 a) x2 16 b) x x 1 x x 5 2 x2 .
 x 3 2
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . 
 AB 3
 a) Tính AH, BH biết BC 50cm và .
 AC 4
 b) Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC . Chứng minh rằng: 
 AH 3 BC.BD.CE .
 c) Giả sử BC 2a là độ dài cố định. Tính giá trị nhỏ nhất của: BD2 CE 2 .
Bài 5: Cho 0 a,b,c 1. Tìm giá trị lớn nhất của: P a b2019 c2020 ab bc ac LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THẠCH HÀ - NĂM 2019 -2020
Bài 1:
 a) Tính giá trị biểu thức T 5 3 29 12 5 .
 5 2 5 2
 b) Chứng minh rằng: A 2 .
 5 1
 c) Tính giá trị biểu thức N x2019 3x2020 2x2021 với 
 5 2 5 2
 x 3 2 2 .
 5 1
 3 1 3 1
 d) Cho x và y . Tính M x5 y5 .
 2 2
 e) Cho M a2 2bc 1 b2 2ac 1 1 c2 2ab . Trong đó 
 a,b,c là các số hữu tỉ thỏa mãn ab bc ca 1. Chứng minh rằng: M là một số hữu tỉ.
 Lời giải
 a) T 5 3 29 12 5 
 2
 5 3 2 5 3 
 5 3 2 5 3 
 5 6 2 5
 2
 5 5 1 5 5 1 1.
 5 2 5 2 2 5 2
 b) A A2 A 2 dpcm .
 5 1 5 1
 5 2 5 2 2
 c) x 3 2 2 2 2 1 2 2 1 1
 5 1
 Với x 1 , ta có: N 1 3 2 4 .
 1
 d) Ta có: xy và x y 3 .
 2 2 2 1
 x2 y2 x y 2xy 3 2. 2
 2
 3 3 1 3 3
 x3 y3 x y 3xy x y 3 3. . 3 
 2 2
 3 3 1 11 3
 Vậy x5 y5 x2 y2 x3 y3 x2 y2 x y 2. . 3 .
 2 4 4
 e) M a2 2bc 1 b2 2ac 1 1 c2 2ab 
 a2 bc ac ab b2 ac ab bc ac bc c2 ab 
 2 2 2
 a b a c b a b c c a b c a b a c b c 
 M a b a c b c 
 Vì a,b,c là các số hữu tỉ nên M là một số hữu tỉ.
Bài 2:
 a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xyz 2 x y z .
 b) Tìm các số a,b,c sao cho đa thức f x x3 ax2 bx c chia cho x 2 ; x 1; x 1 
 đều dư 8 .
 c) Tìm các số tự nhiên x, y biết: 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 5y 11879 .
 Lời giải
 a) Vì x, y, z là các số nguyên dương và vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát gải sử: 
 1 x y z , ta có: xyz 2 x y z 6z
 xy 6 x 1 hoặc x 2 .
 Xét x 1 cho y 1,2,3,4,5,6 ta được: x, y, z 1,3,8 , 1,4,5 
 Xét x 2 cho y 2,3 ta được x, y, z 2;2;4 .
 Vậy x, y, z 1;3;8 , 1;4;5 , 2;2;4 và các hoán vị.
 b) Từ giả thiết ta có: f x 8 luôn chia hết cho x 2 ; x 1; x 1.
 f x x 2 x 1 x 1 8 .
 Với x 2, ta có: 8 4a 2b c 8 4a 2b c 16 1 
 Với x 1, ta có: 1 a b c 8 a b c 9 2 Với x 1, ta có: 1 a b c 8 a b c 7 3 
 Từ 1 , 2 , 3 suy ra: b 1 a 2;b 6 .
 c) Ta có: 2x 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 là tích 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 
 5 mà 2x không chia hết cho 5 nên
 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 chia hết cho 5
 Mà 11879 không chia hết cho 5 nên y 0.
 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 11880 9.10.11.12 x 3
 Vậy x 3, y 0 .
Bài 3: Giải các phương trình sau:
 9x2
 a) x2 16 b) x x 1 x x 5 2 x2 .
 x 3 2
 Lời giải
 a) Điều kiện: x 3
 2 2 2 2 2 2
 2 9x 3x 6x x x
 Ta có: x 2 16 x 16 2. .3 9 25
 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
 2
 x2 
 3 25
 x 3 
 x2
 3 5 2
 x 3 x 4 8 0 VN x 7 1
 thoa dk 
 x2 2 x 7 1
 3 5 x 1 7 
 x 3
 Vậy S 7 1; 7 1.
 b) x x 1 x x 5 2 x2
 Điều kiện: x 5 hoặc x 0 .
 Nếu x 5 thì x x 1 x x 5 2 x2 
 x 3
 x 3 
 x 1 x 5 2 x x 5 x 1 x 3 1 .
 12x 4 x loai 
 3 Nếu x 0 thì x x 1 x x 5 2 x2
 x 3
 x 3 
 1 x 5 x 2 x 5 x 1 x x 3 1
 12x 4 x loai 
 3
 Nếu x 0 thì 0 0 1 0 0 5 2 02 0 0 dung 
 Do đó x 0 thỏa mãn phương trình trên.
 Vậy x 0 là nghiệm của phương trình trên.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . 
 AB 3
 a) Tính AH, BH biết BC 50cm và .
 AC 4
 b) Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC . Chứng minh rằng: 
 AH 3 BC.BD.CE .
 c) Giả sử BC 2a là độ dài cố định. Tính giá trị nhỏ nhất của: BD2 CE 2 .
 Lời giải
 C
 E H
 A D B
 AB 3 AB AC AB 3k
 a) Ta có: k 
 AC 4 3 4 AC 4k
 3k 2 4k 2 502 k 2 100 k 10
 AB 30cm, AC 40cm .
 Trong ABC vuông tại A , đường cao AH , ta có: 
 AB.AC AH.BC 30.40 AH.50 AH 24cm AB2 BH.BC 302 BH.50 BH 18cm .
 b) Trong ABC vuông tại A , đường cao AH , ta có: AH 2 BH.CH
 AH 4 BH 2.CH 2 BD.AB.CE.AC BD.CE AB.AC BD.CE AH.BC .
 AH 3 BC.BD.CE .
 c) Áp dụng định lí Py ta go, ta có:
 BD2 CE 2 BH 2 HD2 HC 2 HE 2 BH 2 HC 2 HD2 HE 2 
 AB2 AH 2 AC 2 AH 2 AH 2 AB2 AC 2 3AH 2 BC 2 3AH 2 4a2 3AH 2
 .
 Gọi O là trung điểm của BC , ta có: AH AO a nên BD2 CE 2 4a2 3a2 a2 .
 Dấu “=” xảy ra khi H trùng O ABC vuông cân tại A .
 Vậy GTNN của BD2 CE 2 bằng a2 khi ABC vuông cân tại A .
Bài 5: Cho 0 a,b,c 1. Tìm giá trị lớn nhất của:
 P a b2019 c2020 ab bc ac .
 Lời giải
 Vì 0 a,b,c 1 nên b2019 b,c2020 c, 1 a 1 b 1 c 0,abc 0. 
 a b2019 c2020 ab bc ac a b c ab bc ac
 Và 1 abc a b c ab ac bc 0
 a b c ab ac bc 1 abc 1
 do đó P a b2019 c2020 ab bc ac 1. 
 abc 0
 2019
 b b
 2020
 Dấu bằng xảy ra khi c c chẳng hạn a 1;b c 0 .
 1 a 1 b 1 c 0
 0 a,b,c 1
 Vậy GTLN của P bằng 1 chẳng hạn khi a 1;b c 0 .
 HẾT