Đề chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Thường Tín (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN THƯỜNG TÍN
 NĂM HỌC 2019-2020
 1 1 2x x 1 2x x x x 
Bài 1. Cho biểu thức: P : .
 1 x x 1 x 1 x x 
 a) Rút gọn P .
 b) Chứng minh: P 1.
Bài 2. Giải phương trình:
 x 4 x 1 3 x 6 x 1 8 1.
Bài 3.
 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 6x2 y3 3x2 10y3 2 .
 2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z 2 .
 x2 y2 z2
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P .
 y z z x x y
Bài 4: 
 1. Cho hai đường tròn O; R và đường tròn O ; R / 2 tiếp xúc ngoài nhau tại A . Trên 
 đường tròn O lấy điểm B sao cho AB R và điểm M trên cung lớn AB . Tia MA 
 cắt đường tròn O tại điểm thứ 2 là N . Qua N kẻ đường thẳng song song với AB
 .cắt đường thẳng MB tại Q và cắt đường tròn O ở P .
 a) Chứng minh tam giác OAM đồng dạng tam giác O AN .
 b) Tính NQ theo R .
 c) Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất tính giá trị lớn 
 nhất theo R .
 2. Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó. Các tia AO , BO , CO cắt 
 các cạnh BC , CA, AB theo thứ tự tại M , N, P . Chứng minh rằng: 
 OA OB OC
 2 .
 AM BN CP
Bài 5: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện x3 y3 x y .
 Chứng minh rằng x2 y2 1.
 ======== Đề thi gồm có 01 trang =========
 LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN THƯỜNG TÍN
 1 1 2x x 1 2x x x x 
Bài 1. Cho biểu thức: P : 
 1 x x 1 x 1 x x 
 a) Rút gọn P .
 b) Chứng minh: P 1.
 Lời giải
 a) Điều kiện: P có nghĩa: x 0; x 1
 2 x 1 x 1 2 x 1 x 2 x 1 x 1 
 P : 
 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x x 
 2 x 1 2 x 1 x 2 x 1 
 : 
 1 x x 1 x 1 x x 
 2 x 1 2 x 1
 :
 1 x x 1 x 1 x x 
 1 x x
 .
 x
 1 x x 1 1
 b) P x 1 2 . x 1 1 (BĐT Cauchy)
 x x x
 1
 Vì đẳng thức xảy ra x x 1không thỏa mãn điều kiện xác định nên P 1.
 x
Bài 2. Giải phương trình:
 x 4 x 1 3 x 6 x 1 8 1.
 Lời giải
 ĐKXĐ: x 1
 Phương trình được viết lại là:
 x 1 4 x 1 4 x 1 6 x 1 9 1
 2 2
 x 1 2 x 1 3 1
 x 1 2 x 1 3 1. 1 
 * Nếu 1 x 5 ta có 1 2 x 1 3 x 1 1 x 1 2 x 5 không thuộc 
 khoảng đang xét.
 * Nếu 5 x 10 ta có 0x 0 phương trình có vô số nghiệm.
 * Nếu x 10 thì 1 5 1 phương trình vô nghiệm.
 Vậy phương trình có vô số nghiệm: 5 x 10 . Bài 3.
 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 6x2 y3 3x2 10y3 2 .
 2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 x2 y2 z2
 biểu thức: P .
 y z z x x y
 Lời giải
 1)
 6x2 y3 3x2 10y3 2
 3x2 (2y3 1) 5(2y3 1) 7
 (3x2 5)(2y3 1) 7 . 
 2 3
 Nên suy ra 3x 5; 2y 1 là ước của 7
 3x2 5 7 x 2
 * (thỏa mãn).
 3 
 2y 1 1 y 1
 2 2
 3x 5 7 x2 
 * 3 (loại).
 2y3 1 1
 y 0
 2
 3x2 5 1 x 
 * 3 (loại).
 3 
 2y 1 7 3
 y 3
 3x2 5 1 x 2
 * (loại).
 3 3
 2y 1 7 y 4
 Vậy phương trình có nghiệm nguyên x; y 2; 1 ; 2; 1  . 
 2) Áp dụng BĐT Cauchy ta có
 x2 y z y2 z x z2 x y
 x; y; z .
 y z 4 z x 4 x y 4
 Cộng từng vế ta được 
 x y z x y z
 P x y z P 1.
 2 2
 2
 x y z 
 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 3 .
Bài 4: 
 1. Cho hai đường tròn O; R và đường tròn O ; R / 2 tiếp xúc ngoài nhau tại A . Trên 
 đường tròn O lấy điểm B sao cho AB R và điểm M trên cung lớn AB . Tia MA 
 cắt đường tròn O tại điểm thứ 2 là N . Qua N kẻ đường thẳng song song với AB , 
 cắt đường thẳng MB tại Q và cắt đường tròn O ở P . a) Chứng minh tam giác OAM đồng dạng tam giác O AN .
 b) Tính NQ theo R .
 c) Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị lớn 
nhất theo R .
2. Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó. 
Các tia AO , BO , CO cắt các cạnh BC , CA, AB theo thứ tự 
 OA OB OC
tại M , N, P . Chứng minh rằng: 2 .
 AM BN CP
 Lời giải
a) Ta thấy OAM ∽ O AN (g.g) vì O· AM O· AN; ·AOM ·AO N .
b) Vì AB//NQ , áp dụng hệ quả định lí Ta-lét ta có
 AB MA OA R 2 3
 NQ R .
 NQ MN OO 3R 3 2
 2
c) Kẻ AK  NQ, MH  AB, OC  AB , gọi OC  O I .
 1 1 3 5R
 SABNQ AB NQ .AK . R R .AK .AK Smax AK có giá trị lớn nhất.
 2 2 2 4
 MH MA OA
Ta có MAH ∽ ANK g.g 2 MH 2AK .
 AK AN AO 
Để AK có giá trị lớn nhất thì MH lớn nhất.
 R 3 R 2 3 R 2 3 
Ta có MH MC OM OC R . Nên suy ra AK .
 2 2 4
 5R2 2 3 
Khi đó, tứ giác ABQN có diện tích lớn nhất là S khi M  I là giao 
 max 16
điểm của đường trung trực của AB với O .
2) Gọi S1;S2 ;S3;S lần lượt là diện tích các tam giác OBC, OCA, OAB, ABC . 
 Dựng AH  BC (H BC), AK  BC (K BC) AH //OK
 Áp dụng đính lý Talets và tỉ số diện tích tam giác, ta có 
 OM OK S ON S OP S
 1 , tương tự 2 ; 2 .
 AM AH S BN S CP S
 Cộng các đẳng thức trên theo vế 
 OM ON OP S S S S
 1 2 3 1
 AM BN CP S S
 AM OA BN OB CP OC
 1
 AM BN CP
 OA OB OC 
 3 1
 AM BN CP 
 OA OB OC
 2 .
 AM BN CP
Bài 5: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện x3 y3 x y .
 Chứng minh rằng x2 y2 1.
 Lời giải
 Từ giải thiết x y 0 . Giả sử x2 y2 1 
 Ta có
 x3 y3 x y (x y)(x2 y2 ) x3 y3 x2 xy2 x2 y y3 
 xy2 x2 y 2y3 0 xy(y x) 2y3 0
 Vô lý vì y – x 0; 2y2 0 .
 Điều vô lý này chứng tỏ giải sử ban đầu là sai.
 Vậy x2 y2 1.