Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Quận Đống Đa (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN ĐỐNG ĐA
 ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN
 Thời gian làm bài 150 phút
 Ngày thi: 14/11/2020
Câu 1. (5 điểm) 
 n(n 1)(n 2)
 1. Tìm tất cả các số tự nhiên n để p 1 là số nguyên tố.
 6
 2. Giải phương trình x 1 6 x (x 1)(6 x) 1
Câu 2. (5 điểm)
 1. Cho ba số thực khác không a,b,c thỏa mãn điều kiện: 
 1 1 1 1
 a b c 0 và . Tính giá trị của biểu thức:
 a b c a b c
 1 1 1
 A (a2021 b2021 c2021)( )
 a2021 b2021 c2021
 2. Tìm tất cả các bộ số nguyên x; y; z thỏa mãn x y x y 8z 10
Câu 3. (2 điểm)
 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 a b c
 A 
 2a2 b2 3 2b2 c2 3 2c2 a2 3
Câu 4. (7 điểm)
 Cho đoạn thẳng AB 8cm và một điểm M nằm bất kỳ trên đoạn thẳng AB , một nửa 
 mặt phẳng bờ AB , dựng hai hình vuông AMCD và BMEF . Gọi giao điểm của đường 
 thẳng AE và BC là điểm N , giao điểm của đường thẳng AC và BE là P .
 a) Chứng minh bốn điểm A, N, P, B cùng thuộc một đường tròn.
 b) Chứng minh rằng DN.FN MN 2 và 3 điểm N, P, F thẳng hàng.
 c) Tìm vị trí các điểm M trên đoạn thẳng AB để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn 
 nhất.
Câu 5. (1 điểm)
 Một hình hộp chữ nhật có các kích thước
 là các số nguyên dương tính theo đơn vị cm, 
 có thể tích a (cm3 ) . 
 Biết khi đạt hình hộp chữ nhật đó đặt lên mặt bàn 
 thì tổng diện tích của 5 mặt nhìn thấy được là a (cm2 )
 (minh họa bằng hình vẽ bên). Tìm giá trị nhỏ nhất của a .
 HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 9 QUẬN ĐỐNG ĐA
 Năm học: 2020-2021
Câu 1. (5 điểm) 
 n(n 1)(n 2)
 1. Tìm tất cả các số tự nhiên n để p 1 là số nguyên tố.
 6
 2. Giải phương trình x 1 6 x (x 1)(6 x) 1
 Lời giải
 n(n 1)(n 2)
 1. Tìm tất cả các số tự nhiên n để p 1 là số nguyên tố.
 6
 Ta có 
 n(n 1)(n 2)
 p 1
 6
 (n 3)(n2 2)
 P 
 6
 Với n 0 P 1 không phải số nguyên tố
 Với n 1 P 2 là số nguyên tố
 Với n 2 P 5 là số nguyên tố.
 Với n 3 P 11là số nguyên tố.
 Với n 4 thì (n 3) 6 và (n2 2) 17
 (n 3) và (n2 2) thì luôn tồn tại một số số chẵn nên khi đó P là hợp số.
 Vậy P là số nguyên tố thì n 1;2;3
 2. Giải phương trình x 1 6 x (x 1)(6 x) 1(*)
 Điều kiện xác định: 1 x 6
 Đặt 
 t x 1 6 x
 t 2 x 1 2 (x 1)(6 x) 6 x
 t 2 5 2 (x 1)(6 x)
 t 2 5
 (x 1)(6 x) 
 2
 Thay vào (*) ta được t 2 5
 t 1 2t t 2 5 2
 2
 2 t 1
 t 2t 3 0 
 t 3
 Với t=3
 32 5
 (x 1)(6 x) 
 2
 (x 1)(6 x) 2
 (x 1)(6 x) 4
 x 2 hoặc x 5
Câu 2. (5 điểm)
 1. Cho ba số thực khác không a,b,c thỏa mãn điều kiện: 
 1 1 1 1
 a b c 0 và . Tính giá trị của biểu thức:
 a b c a b c
 1 1 1
 A (a2021 b2021 c2021)( )
 a2021 b2021 c2021
 2. Tìm tất cả các bộ số nguyên x; y; z thỏa mãn x y x y 8z 10
 Lời giải
 1. Ta có 
 1 1 1 1 1 1 1 1
 0
 a b c a b c a b c a b c
 a b a b
 0
 ab c(a b c)
 c(a b c) ab
 a b . 0
 abc(a b c)
 (a b)(b c)(c a) 0
 a b 0 a b
 b c 0 b c
 c a 0 c a
 2021 2021 2021 1 1 1 
 Khi đó ta có A (a b c ) 2021 2021 2021 
 a b c 
 1 1 1
 A (a2021 ( a)2021 ( a)2021)( )
 a2021 ( a)2021 ( a)2021
 1
 ( a)2021. 
 ( a)2021
 1
 2.
 -Nếu z 0 8z 10 không là số nguyên, x y x y z (*) không thể xảy ra. - Nếu z 0 x y x y 11.
 x y 11 x 6
 Trường hợp 1. 
 x y 1 y 5
 x y 1 x 6
 Trường hợp 2. 
 x y 11 y 5
 x y 11 x 12
 Trường hợp 3. 
 x y 1 y 1
 x y 1 x 12
 Trường hợp 4. 
 x y 11 y 11
 - Nếu z 1 8z 10 là số chẵn và chia 4 dư 2 x y x y là số chẵn.
 Mà x y x y 2x là số chẵn x y và x y là số chẵn.
 x y x y chia hết cho 4, mà 8z 10 không chia hết cho 4. Nên z 1không thể 
 xảy ra.
 Vậy bộ số nguyên x, y,z là 6,5,0 ; 6, 5,0 ; 12, 1,0 ; 12,11,0 
Câu 3. (2 điểm)
 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 a b c
 A 
 2a2 b2 3 2b2 c2 3 2c2 a2 3
 Lời giải
 a b c
 A 
 2a2 b2 3 2b2 c2 3 2c2 a2 3
 Ta có: 2a2 b2 3 a2 b2 a2 1 2 2ab 2a 2abc
 a a 1
 2a2 b2 3 2ab 2a 2abc 2(b 1 bc)
 Tương tự
 b 1
 2b2 c2 3 2(c 1 ac)
 c 1
 2c2 a2 3 2(a 1 ab)
 1 1 1 1 1 1 b bc 
 A 
 2 1 b bc 1 c ac 1 a ab 2 1 b bc b bc abc bc abc ab.bc 
 1 1 b bc 1
 A 
 2 1 b bc b bc 1 bc 1 b 2 Dấu “ =” xảy ra khi a b c 1
 1
 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là khi a b c 1.
 2
Câu 4. (7 điểm)
 Cho đoạn thẳng AB 8cm và một điểm M nằm bất kỳ trên đoạn thẳng AB , một nửa 
 mặt phẳng bờ AB , dựng hai hình vuông AMCD và BMEF . Gọi giao điểm của đường 
 thẳng AE và BC là điểm N , giao điểm của đường thẳng AC và BE là P .
 a) Chứng minh bốn điểm A, N, P, B cùng thuộc một đường tròn.
 b) Chứng minh rằng DN.FN MN 2 và 3 điểm N, P, F thẳng hàng.
 c) Tìm vị trí các điểm M trên đoạn thẳng AB để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn 
 nhất.
 Lời giải
 a) Chứng minh bốn điểm A, N, P, B cùng thuộc một đường tròn.
 Hình vuông AMCD có đường chéo AC , suy ra C· AM 45o hay P· AB 45o .
 Hình vuông BMEF có đường chéo BE , suy ra E· BM 45o hay P· BA 45o .
 Suy ra tam giác PAB vuông cân ở P , suy ra AP  BE.
 Xét tam giác EAB có AP, EM là các đường cao và cắt nhau tại C ,
 suy ra C là trực tâm tam giác EAB, suy ra BC  AE hay BN  AE .
 Tứ giác ANPB có ·ANB ·APB 90o nên là tứ giác nội tiếp
 Suy ra minh bốn điểm A, N, P, B cùng thuộc một đường tròn.
 b) Chứng minh rằng DN.FN MN 2 và 3 điểm N, P, F thẳng hàng.
 Xét tứ giác ADNC , có ·ADC ·ANC 90o nên nội tiếp, suy ra D· NA D· CA 45o (1)
 Tương tự E· NF E· BF 45o (2)
 Từ (1) và (2), suy ra D· NA E· NF 45o . Vì E, N, A thẳng hàng nên D, N, F .
 Suy ra M· NF M· EF 90o hay MN  DF .
 Xét tam giác DMF có D· MF D· MC E· MF 90o , từ đó theo hệ thức lượng trong tam 
 giác vuông ta có DN.FN MN 2 . Ta có tứ giác ENCP nội tiếp vì E· NC E· PC 180o , suy ra C· EN N· PC hay 
 ·APD N· EM .
 Mặt khác tứ giác MNEF nội tiếp, suy ra M· FN N· EM , suy ra ·APD M· FN hay 
 ·APD D· FM mà AP//MF , suy ra D, P, F thẳng hàng, lại có D, P, N . 
 Do đó bốn điểm D, N, P, F thẳng hàng. (đpcm).
 Cách 2
 Xét tứ giác ADNC , có ·ADC ·ANC 90o nên nội tiếp, suy ra D· NA D· CA 45o (1)
 Tương tự E· NF E· BF 45o (2)
 Từ (1) và (2), suy ra D· NA E· NF 45o . Vì E, N, A thẳng hàng nên D, N, F .
 Suy ra M· NF M· EF 90o hay MN  DF .
 Xét tam giác DMF có D· MF D· MC E· MF 90o , từ đó theo hệ thức lượng trong tam giác 
 vuông ta có DN.FN MN 2 .
 Ta có tứ giác ENCP nội tiếp vì E· NC E· PC 180o , suy ra C· EN N· PC hay ·APD N· EM
 .
 Mặt khác tứ giác MNEF nội tiếp, suy ra M· FN N· EM , suy ra ·APD M· FN hay 
 ·APD D· FM mà AP//MF , suy ra D, P, F thẳng hàng, lại có D, P, N . 
 Do đó bốn điểm D, N, P, F thẳng hàng. (đpcm).
 c) Tìm vị trí các điểm M trên đoạn thẳng AB để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị 
 lớn nhất.
 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 1
 Ta có 2 2 2 2 2 2 2 .
 MN MD MF 2MA 2MB 4 MA MB MA MB AB 16
 Suy ra MN 2 16 MN 4 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là trung điểm AB.
Câu 5. (1 điểm)
 Một hình hộp chữ nhật có các kích thước
 là các số nguyên dương tính theo đơn vị cm, 
 có thể tích a (cm3 ) . 
 Biết khi đặt hình hộp chữ nhật đó lên mặt bàn 
 thì tổng diện tích của 5 mặt nhìn thấy được là a (cm2 )
 (minh họa bằng hình vẽ bên). Tìm giá trị nhỏ nhất của a .
 Lời giải
 Gọi các kích thước của hình hộp chữ nhật đó là x, y, z
 Từ giả thiết, ta có a xyz 2z x y xy xy z 1 2z x y z 2.
 4z 16z3
 Ta có xy z 1 2z x y 4z xy. xy xyz .
 z 1 z 1 2 2
 16z3 4 z 3 4z 3 
Xét hiệu xyz 108 0, z 2.
 z 1 2 z 1 2
 16z3
Suy ra xyz 108. Dấu “=” xảy ra tại x 3; y z 6.
 z 1 2
Vậy min a 108
 HẾT