Tài liệu ôn tập và bào tâp môn Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 8: Định lý Ptoleme. Đường thằng Simson (có đáp án)

Chuyên đề 8.ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ-ĐƯỜNG THẲNG SIMSON
CHỦ ĐỀ 1.ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ
Kiến thức cần nhớ
Ptôlêmê là nhà khoa học cổ Hy Lạp, sống vào thế kỷ 2. Từ năm 127 đến năm 151 sau công nguyên, ông sống tại Alechxanđri (Ai Cập), nghiên cứu toán học, thiên văn học và địa lý. Ông là tác giả của thuyết hệ vũ trụ địa tâm; là mô hình cấu trúc vũ trụ đầu tiên, khẳng định một cách sai lầm rằng, các thiên thể chuyển động trên những vòng tròn có tâm là tâm trái đất nằm yên, là cơ sở cho thiên văn học trong một thòi gian dài cho đến thế kỷ 17, trước khi thuyết hệ nhật tâm của Kôpecnich ra đời.
Công trình toán học của ông khá phong phú, sau đây là một định lý mang tên ông. 
Định lý. Trong một tứ giác nội tiếp thì tích hai đường chéo bằng tổng các tích của hai cặp cạnh đối diện.
Giải
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).
Ta cần chứng minh: 
Giả sử 
Lấy điểm M trên đoạn sao cho 
Suy ra ∽ 
Suy ra	 
∽ 
Suy ra	 
Do đó 
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho nửa đường tròn đường kính AB có C là điểm chính giữa. Gọi M là điểm bất kì thuộc cung BC. Chứng minh rằng: 
Giải
Tìm cách giải. Với ta suy ra và biểu diễn được qua bán kính R. Vì M là điểm bất kì thuộc cung BC, kết luận liên quan tới MA, MB, MC nên ta liên tưởng tới định lý Ptôlêmê.
Trình bày lời giải
Ta có nên vuông cân tại C
Áp dụng định lý Ptôlêmê cho tứ giác ABMC ta được:
Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp và Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: 
Giải
Tìm cách giải. ∽ (vì đã có 
Do vậy cần chứng tỏ cặp cạnh kề góc ấy tỉ lệ tức là 
Dựa vào giả thiết, tất yếu ta nghĩ tới vận dụng định lý Ptôlêmê.
Trình bày lời giải
Áp dụng định lý Ptôlêmê cho tứ giác ABCD ta được:
Mà nên:
Mặt khác suy ra: ∽ (c.g.c)
Vậy 
Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) và dây cung BC khác đường kính. Tìm điểm A thuộc cung lớn BC của đường tròn sao cho đạt giá trị lớn nhất.
Giải
Tìm cách giải. Nếu có điểm E trên cung nhỏ BC thì ta có: Do vậy để xuất hiện thì ta cần xác định điểm E sao cho tức là Với tỉ lệ như vậy chúng ta lại nghĩ tới đường phân giác góc BEC. Do vậy bản chất của bài là dựng được điểm E.
Trình bày lời giải
Gọi I là điểm thuộc cạnh BC sao cho 
Gọi D là điểm chính giữa cung lớn BC của đường tròn (O). 
Gọi E là giao điểm thứ hai của DI với (O).
Khi đó EI là phân giác của góc 
Suy ra 
Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp ABEC, ta có: 
Suy ra: 
Do đó đạt giá trị lớn nhất khi AE lớn nhất là đường kính của (O).
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có Các đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) tại A, C cắt nhau ở P. Chứng minh rằng BP đi qua điểm chính giữa của cung BAC.
Giải
Tìm cách giải. Để chứng minh ta cần chứng minh Như vậy dựa vào kết luận và giả thiết đều liên quan tới cạnh và tứ giác ABCD nên ta nghĩ tới việc vận dụng định lý Ptoleme. Tuy nhiên trong bài, tứ giác này có hai tiếp tuyến ở hai đỉnh đối diện (A và C) và đường chéo đồng quy thì luôn có (bạn nên nhớ tính chất này để sử dụng).
Trình bày lời giải
Ta có: ∽ nên 
và ∽ nên 	.
Mặt khác nên 
Suy ra (1)
Áp dụng định lý Ptôlêmê ta có:
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Mặt khác: nên 
Vậy D là điềm chính giữa của cung BAC.
Bài tập vận dụng
1. Chứng minh rằng nếu điểm P nằm trên cung nhỏ của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD thì 
2. Cho một tứ giác nội tiếp có các cạnh liên tiếp bằng a, b, c, d và các đường chéo bằng p, q. Chứng minh rằng: 
3. Cho tam giác ABC không đều. Gọi I và O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng khi và chỉ khi 
4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).
Chứng minh rằng: 
5. Cho hai đường tròn và cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B và nằm về hai phía của AB). Một cát tuyến d qua A cắt lần lượt tại các điểm C, D khác A (A thuộc đoạn CD). Tiếp tuyến tại C của cắt tiếp tuyến tại D của ở M. Tìm vị trí của d sao cho đạt giá trị
lớn nhất.
6. Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm G. Giả sử rằng Chứng minh rằng IG song song với BC.
7. Cho tam giác ABC với nội tiếp trong đường tròn (O). Trên cạnh BC lấy điểm D và trên tia BA lấy điểm E sao cho Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt cạnh AC tại điểm P đường thẳng BP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai Q.
a) Chứng minh rằng tam giác AQC đồng dạng với tam giác EPD.
b) Chứng minh rằng 
(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên tỉnh Vĩnh Phúc, năm học 2011-2012)
8. Cho hình bình hành ABCD. Một đường tròn đi qua A cắt các đoạn thẳng AB, AC, AD lần lượt tại điểm P, Q, R khác A. Chứng minh rằng: 
9. Giả sử M, N là các điểm nằm trong tam giác ABC sao cho và Chứng minh rằng: 
HƯỚNG DẪN GIẢI-ĐÁP SỐ
1. Đặt độ dài cạnh hình vuông ABCD là a thì 
Áp dụng định lí Ptôlêmê cho tứ giác PADC, ta có: 
Áp dụng định lí Ptôlêmê cho tứ giác PBCD, ta có: 
Từ ( 1 ) và (2), suy ra: 
2. Áp dụng định lí Ptôlêmê cho tứ giác nội tiếp thì ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
Suy ra: Dấu bằng xảy ra khi: 
3. Kéo dài AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D.
Ta có: 
Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên:
Suy ra cân tại D nên 
Áp dụng định lý Ptôlêmê cho tứ giác ABDC nội tiếp:
Suy ra: 
Do cân tại O nên 
4. Lấy E, F thuộc đường tròn sao cho 
Khi đó 
Áp dụng định lý Ptôlêmê cho hai tứ giác nội tiếp AECD và BCDF ta có:
Mặt khác: 
Do đó: suy ra 
Từ (1), (2), (3) suy ra: 
5. Hạ BH vuông góc với MD.
Ta có: 
Suy ra BCMD là tứ giác nội tiếp.
Áp dụng định lý Ptôlêmê ta có: