Đề khảo sát lần I môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Cầu Giấy

 ĐỀ KHẢO SÁT LẦN I TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY NĂM HỌC 2017 - 2018
Câu 1: (2,0 điểm) 
 2 x + 3 x + 1 x - 2 2x + x - 6
Cho hai biểu thức: A = và B = + + với 0 £ x ¹ 1.
 2 x - 2 x + 2 1- x x + x - 2
a) Tính giá trị của A với x = 6 + 2 5 ; 
b) Rút gọn B ;
c) Đặt P = B : A .Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Câu 2: (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một người đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định trước. Nếu người đó đi nhanh hơn mỗi 
giờ 10 km thì tới B sớm hơn dự định 36 phút; nếu người đó đi chậm hơn mỗi giờ 10 km thì tới 
B muộn hơn dự định 54 phút. Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu km?
Câu 3: (2,0 điểm)
 ïì 2 1- x - y 22
 ï - =
 ï x + y 15
 1. Giải hệ phương trình:íï x + 1 
 ï 3 5 + x + y
 ï + = 3.
 ï
 îï x + 1 x + y
 2. Cho parabal (P) : y = x 2 và đường thẳng (d) y = 2(m - 2)x - 4m + 13.
 a) Với m = 4 , trên cùng một hệ tọa độ Oxy , vẽ (P)và (d) . Xác định tọa độ giao điểm 
 A,B. 
b)Tìm m để(d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x1,x2 sao cho biểu thức 
 2 2
S = x1 + x2 + 4x1 .x2 + 2018 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 4: (3,5 điểm) 
Cho đường tròn tâm (O) và dây BC khác đường kính. LấyA thuộc cung B¼C lớn sao cho 
AB > AC (A khác C ). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H . Đường 
thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M .
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.
 ·
b) Chứng minh EB là phân giác góc DEF 
c) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minhIE là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếpDMED .
d) Qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt các đường thẳng AB,AC lần lượt ở P và N . 
Chứng minh rằng khi A di động trên cung B¼C lớn (nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết ban đầu ) thì 
đường tròn ngoại tiếp DMNP luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5: (0,5 điểm) Cho x,y,z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y z
 T = + +
 3 x + 2y - 1 - 4 3 y + 2z - 1 - 4 3 z + 2x - 1 - 4
 LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY NĂM HỌC 2017 – 2018
Câu 1: (2,0 điểm) 
 2 x + 3 x + 1 x - 2 2x + x - 6
Cho hai biểu thức: A = và B = + + với 0 £ x ¹ 1.
 2 x - 2 x + 2 1- x x + x - 2
a) Tính giá trị của A với x = 6 + 2 5 ; 
b) Rút gọn B ;
c) Đặt P = B : A .Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
 Lời giải
 a) Tính giá trị của A với x = 6 + 2 5 
 2 2
 x = 6 + 2 5 = 5 + 2 5 + 1 = ( 5) + 2. 5.1+ 12 = ( 5 + 1)
 2
 x = ( 5 + 1) = 5 + 1 = 5 + 1
 2 x + 3
Thay x = 5 + 1vào A =
 2 x - 2
 2( 5 + 1)+ 3 2 5 + 5 (2 5 + 5). 5 2.5 + 5. 5 2 + 5
A = = = = = 
 2( 5 + 1)- 2 2 5 2 5. 5 2.5 2
 2 + 5
Vậy x = 6 + 2 5 thì A = .
 2
 b) Rút gọn B
 x + 1 x - 2 2x + x - 6
 B = + + (0 £ x ¹ 1)
 x + 2 1- x x + x - 2
 x + 1 x - 2 2x + x - 6
 B = - +
 x + 2 x - 1 ( x - 1)( x + 2)
 ( x + 1).( x - 1)- ( x - 2).( x + 2)+ 2x + x - 6
 B =
 ( x - 1)( x + 2)
 x - 1- x + 4 + 2x + x - 6
 B =
 ( x - 1)( x + 2) 2x + x - 3
 B =
 ( x - 1)( x + 2)
 ( x - 1)(2 x + 3) 2 x + 3
 B = =
 x - 1 x + 2 x + 2
 ( )( ) .
c) Đặt P = B : A . Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
 2 x + 3 2 x + 3 2 x + 3 2 x - 2 2 x - 2 - 6
 P = B : A = : = . = = 2 + 
 x + 2 2 x - 2 x + 2 2 x + 3 x + 2 x + 2
 - 6
 P nguyên Û nguyên Û - 6M( x + 2) Û x + 2 Î Ư 6 
 x + 2
 Mà Ư(-6)={± 1;± 2;± 3;± 6} 
 Mặt khác: x + 2 > 0
 Þ x + 2 Î {2;3;6} Þ x Î {0;1;4} Þ x Î {0;16} (tm).
 Kết luận: Vậy x = {0;16} thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 2: (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một người đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định trước. Nếu người đó đi nhanh hơn mỗi 
giờ 10 km thì tới B sớm hơn dự định 36 phút; nếu người đó đi chậm hơn mỗi giờ 10 km thì tới 
B muộn hơn dự định 54 phút. Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu km?
 Lời giải
Đổi 36 phút= 0,6h ; 54 phút= 0,9h 
Gọi vận tốc dự định là: v(km / h)(v > 0) 
Gọi thời gian dự định là: t(h)(t > 0) 
Nếu người đó đi thêm được 10 km mỗi giờ thì vận tốc là: (v + 10)(km / h) 
Khi đó người đó đến B sớm hơn dự định 36 phút nên thời gian người đó đi là: (t - 0,6)(h) 
Vì quãng đường AB không đổi nên ta có phương trình là: (v + 10)(t - 0,6) = v.t (1) 
Nếu người đó đi chậm hơn 10 km mỗi giờ thì vận tốc là: (v - 10)(km / h) 
Khi đó người đó đến B muộn hơn dự định 54 phút nên thời gian người đó đi là: (t + 0,9)(h) 
Vì quãng đường AB không đổi nên ta có phương trình là: (v - 10)(t + 0,9) = v.t (2)
 ì
 ï (v + 10)(t - 0,6) = v.t
Từ (1) và(2) ta có hệ phương trình:í 
 ï (v - 10)(t + 0,9) = v.t
 îï
 ì ì ì
 ï vt + 10t - 0,6v - 6 = v.t ï 10t - 0,6v = 6 ï t = 3,6
Û í Û í Û í 
 ï vt - 10t + 0,9v - 9 = v.t ï - 10t + 0,9v = 9 ï v = 50
 îï îï îï Vậy quãng đường AB là: 50.3,6 = 180 (km) .
Câu 3: (2,0 điểm)
 ïì 2 1- x - y 22
 ï - =
 ï x + y 15
1) Giải hệ phương trình:íï x + 1 
 ï 3 5 + x + y
 ï + = 3
 ï
 îï x + 1 x + y
 2) Cho parabal (P) : y = x 2 và đường thẳng (d) y = 2(m - 2)x - 4m + 13.
 a) Với m = 4 , trên cùng một hệ tọa độ Oxy , vẽ (P)và (d) . Xác định tọa độ giao điểm 
 A,B. 
b)Tìm m để(d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x1,x2 sao cho biểu thức 
 2 2
S = x1 + x2 + 4x1 .x2 + 2018 đạt giá trị nhỏ nhất.
 Lời giải
 1) Điều kiện:x ³ 0;x ¹ - y 
 ïì 2 1- x - y 22 ïì 2 1 22
 ï - = ï - + 1 =
 ï x + y 15 ï x + y 15
 íï x + 1 Û íï x + 1
 ï 3 5 + x + y ï 3 5
 ï + = 3 ï + + 1 = 3
 ï ï
 îï x + 1 x + y îï x + 1 x + y
 ïì 2 1 7 ïì 10 5 7
 ï - = ï - =
 ï x + y 15 ï x + y 3
 Û íï x + 1 Û íï x + 1
 ï 3 5 ï 3 5
 ï + = 2 ï + = 2
 ï ï
 îï x + 1 x + y îï x + 1 x + y
 ì
 ï 13 13 ì
 ï = ï x + 1 = 3 ì
 ï 3 ï ï x = 4
 Û íï x + 1 Û íï Û í tm
 ï 3 5 ï 5 ï y = 1 ( )
 ï + = 2 ï = 1 îï
 ï îï x + y
 îï x + 1 x + y
 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (4;1).
 2) 
a) Với m = 4 phương trình đường thẳng (d) là: y = 4x - 3 .
*Vẽ đồ thị:
- Vẽ (P): y = x 2 . Ta có bảng giá trị
Parabol (P) đi qua hai điểm (0;- 3) và (1;1)
 x 2 1 0 1 2
 y = x 2 4 1 0 1 4 - Vẽ (d): (d): y = 4x - 3. Ta có bảng giá trị 
 3
 x 0
 4
 y = 4x - 3 3 0
 y
 12
 10
 8
 2
 y=x 6
 4 y=4x-3
 2
 x
 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
 -2
 -4
 -6
 -8
 -10
* Tìm giao điểm của hai đồ thị:
- Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: 
 x2 4x 3 x2 4x 3 0 (1).
Vì a + b + c = 1- 4 + 3 = 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm x 1và x 3.
 • Nếu x 1 y 1. 
 • Nếu x 3 y 9 . 
Vậy (P)giao (d)tại A(1;1)và B (3;9).
 b) Xét phương trình hoành độ giao điểm:
 x 2 = 2(m - 2)x - 4m + 13
 Û x 2 - 2(m - 2)x + 4m - 13 = 0
 2
 D ' = (m - 2) - (4m - 13) = m2 - 4m + 4 - 4m + 13
 2
 D ' = m2 - 8m + 17 = (m - 4) + 1 ³ 1 > 0
 Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B
 ïì x + x = 2(m - 2)
 ï 1 2
 Áp dụng hệ thức viet:í 
 ï x x = 4m - 13
 îï 1 2
 2 2 2
 S = x1 + x2 + 4x1 .x2 + 2018 = (x1 + x2) + 2x1x2 + 2018 2
 S = (2m - 4) + 2(4m - 13)+ 2018
 S = 4m2 - 16m + 16 + 8m - 26 + 2018
 S = 4m2 - 8m + 2008
 S = (2m - 2)2 + 2004 ³ 2004
 Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 2004 khi m = 1.
Câu 4: (3,5 điểm) 
Cho đường tròn tâm (O) và dây BC khác đường kính. LấyA thuộc cung B¼C lớn sao cho 
AB > AC (A khác C ). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H . Đường 
thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M .
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.
 ·
b) Chứng minh EB là phân giác góc DEF 
c) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minhIE là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếpDMED .
d) Qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt các đường thẳng AB,AC lần lượt ở P và N . 
Chứng minh rằng khi A di động trên cung B¼C lớn (nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết ban đầu ) thì 
đường tròn ngoại tiếp DMNP luôn đi qua một điểm cố định.
 Lời giải A
a) Ta có: AD,BF,CF là các đường cao của DABC
 F
 E
 · o · o
 Þ BFD = 90 ;CEB = 90 H
Xét tứ giác BFEC có: B I D C M
 J
B·FC = B·EC = 90o
Mà 2 góc này cùng nhìn BC K
tứ giác BFEC nội tiếp (dhnb)
b) Ta có: Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp (cmt)
 Þ F·EB = F·CB (t/c) (1)
 · o · o
Xét tứ giác CEHD có HEC = 90 ;HDC = 90
Þ H·EC + H·DC = 90o + 90o = 180o
Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
Þ tứ giác CEHD nội tiếp (dhnb)
Þ D·CH = D·EH (2) · ·
Từ (1) và (2) suy ra DEH = FEB
 ·
Þ EB là phân giác của DEF
 c) Ta có: I là trung điểm của BC (gt) Þ IB = IC = IE
 Þ DIEC cân Þ I·EC = I·CE (t/c)
 ·
 Lại có: ICE là góc ngoài của DEMC Þ I·CE = M·EC + C·ME
 Þ I·EC = C·EM + C·ME
 Lại có: C·EM = F·EA ( đối đỉnh)
 Dễ dàng chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp Þ A·EF = A·HF
 Þ I·EC = A·HF + C·ME = D·HC + C·ME = D·EC + C·ME
 Û I·ED + D·EC = D·EC + C·ME Þ I·ED = C·ME
 Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp DDEM . Kẻ đường kính EK
 Þ tứ giác KDEM nội tiếp Þ E·MD = E·KD (t/c)
 Mà E·MD = I·ED (cmt)
 Þ E·KD = I·ED
 Lại có: DDEK vuông tại D 
 Þ E·KD + K·ED = 90°
 Þ I·ED + K·ED = 90°
 Þ IE ^ JE
 Þ IE là tiếp tuyến của (J ) 
d) 
 · · P
+) Ta có: FE/ / PN Þ CPE = FEA (2 góc đồng vị)
 · · N
Mà ABC = FEA ( vì tứ giác BFEC nội tiếp)
Þ C·PF = C·BN
+) C/m : Tứ giác CPBN nội tiếp
+) C/m : DP.DN = DB.DC 
+) Ta Có : IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DMED (cmt)
Þ C/m : IE 2 = IM .ID 
Mà IE = IB 
Þ IB 2 = IM .ID
Þ IB 2 - ID 2 = IM .ID - ID 2 Þ (IB - ID)(IB + ID) = ID (IM - ID)
Þ BD.DC = ID.DM
+) C/m : DP.DN = ID.DM
+) C/m : Tứ giácMNIP nội tiếp
Þ Khi A di động trên cung B¼C lớn ( nhưng vẫn thảo mãn giả thiết ban đầu ) thì đường tròn ngoại 
tiếp DMNP luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5: (0,5 điểm) Cho x,y,z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 x y z
 T = + +
 3 x + 2y - 1 - 4 3 y + 2z - 1 - 4 3 z + 2x - 1 - 4
 Lời giải
 2
 a2 b2 c2 (a + b + c)
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức + + ³ (*) với x,y,z > 0, a,b,c bất 
 x y z x + y + z
kì.
 a b c
Dấu " = '' xảy ra Û = = 
 x y z
 2
 a2 b2 (a + b)
Chứng minh: Trước hết ta chứng minh + ³ ,
 x y x + y
 2
 Thật vậy quy đồng hai vế lên ta được bất đẳng thức tương đương (ay - bx) ³ 0 , luôn đúng. Dấu 
 a b
" = " xảy ra Û ay = bx Û = 
 x y
 2 2
 a2 b2 c2 (a + b) c2 (a + b + c)
Áp dụng ta được + + ³ + ³
 x y z x + y z x + y + z
 ïì a b
 ï =
 ï x y a b c
Dấu " = " xảy ra Û íï Û = = (đpcm).
 ï a + b c x y z
 ï =
 îï x + y z
Bất đẳng thức thức (*) được chứng minh.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm 3 và x + 2y - 1 ta có: 
 9 + x + 2y - 1 x x
3 x + 2y - 1 £ = + y + 4 Þ 3 x + 2y - 1 - 4 £ + y 
 2 2 2 x x 2x 2x 2
 Suy ra ³ = = .
 x x + 2y x 2 + 2xy
 3 x + 2y - 1 - 4 + y
 2
 y 2y2 z 2z2
Tương tự ³ ; ³ 
 3 y + 2z - 1 - 4 y2 + 2yz 3 z + 2x - 1 - 4 z2 + 2zx
Cộng vế với vế tương ứng của các bất đẳng thức trên ta được 
 2x 2 2y2 2z2
T ³ + + .
 x 2 + 2xy y2 + 2yz z2 + 2zx
Lại áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 
 æ 2 ö
 2 2 2 ç x + y + z ÷
 2x 2y 2z ç ( ) ÷
 + + ³ 2ç ÷= 2.
x 2 + 2xy y2 + 2yz z2 + 2zx çx 2 + 2xy + y2 + 2yz + z2 + 2zx ÷
 èç ø÷
Do đó T ³ 2 
 ïì x + 2y - 1 = 9
 ï
 ï y + 2z - 1 = 9
 ï 10
Dấu " = '' xảy ra Û í z + 2x - 1 = 9 Û x = y = z = (tmđk).
 ï 3
 ï x y z
 ï = =
 ï 2 2 2
 îï x + 2xy y + 2yz z + 2zx
 10
Vậy Min T = 2 khi x = y = z = .
 3