Đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp tỉnh các môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Đông Sơn (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HểA KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 
 DỰ THI CẤP TỈNH CÁC MễN VĂN HểA LỚP 9
 NĂM HỌC 2018 – 2019
 PHềNG GD&ĐT ĐễNG SƠN MễN THI: TOÁN 
 Thời gian: 150 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề)
 Bài 1. (4 điểm)
 1. Chứng minh biểu thức sau khụng phụ thuộc vào giỏ trị của x :
 6x x 6 x 3 3 1
 A .
 2 x 4 x 3 2 x 2x 10 x 12 3 x x 2
 Điều kiện x 0 , x 4 ; x 9 ; x 1. 
 2 3 2 3
 2. Rỳt gọn biểu thức: B . 
 2 2 3 2 2 3
 Bài 2. (6,0 điểm)
 2
 3a 1 a 1 2a a 1 
 1. Cho phương trỡnh: ( a là tham số).
 a x a x x2 a2
 a) Giải phương trỡnh trờn.
 b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn dương của a để phương trỡnh cú nghiệm x là số nguyờn tố.
 3 3 3
 x y z 3xyz
 2. Tỡm nghiệm nguyờn dương của hệ phương trỡnh sau: .
 2
 x 2 y z 
 Cõu 3. (4 điểm) 
 1) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn cú ba chữ số abc sao cho:
 2
 abc n 1
 2 Với n  ; n 2 .
 cba n 2 
 2) Cho tam giỏc ABC cú ba cạnh a;b;c thỏa : a + b + c = 6 
 Chứng minh : 52 Ê 3(a2 + b2 + c2 )+ 2abc < 54 
 Bài 4. (4,0 điểm)
 Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh là a và N là một điểm trờn cạnh AB . Tia CN cắt tia DA tại 
 E . Trờn tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho BF DE . Gọi M là trung điểm của EF .
 1) Chứng minh tam giỏc ACE đồng dạng với tam giỏc BCM .
 2) Xỏc định vị trớ điểm N trờn AB sao cho diện tớch tứ giỏc ACFE gấp ba lần diện tớch hỡnh 
 vuụng ABCD . 
 Bài 5 (2,0 điểm)
 Cho ABC : Bà Cà 1050 ; AB AC 2 2BC. Tớnh Bà,Cà ? 
 ------------- HẾT -------------
 LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài 1. (4 điểm)
 1. Chứng minh biểu thức sau khụng phụ thuộc vào giỏ trị của x :
 6x x 6 x 3 3 1
 A .
 2 x 4 x 3 2 x 2x 10 x 12 3 x x 2
 Điều kiện x 0 , x 4 ; x 9 ; x 1. 
 2 3 2 3
 2. Rỳt gọn biểu thức: B 
 2 2 3 2 2 3
 Lời giải
 1. Với điều kiện x 0 , x 4 ; x 9 ; x 1
 6x x x 6 x 3 3 1
 Ta cú A 
 2 x 1 x 3 x 2 2 x 2 x 3 x 1 x 2 
 6x x x 6 x 3 3 x 1 2 x 3 
 2 x 1 x 2 x 3 
 x x 6x 11 x 6
 2 x 1 x 2 x 3 
 x 1 x 5 x 6 
 2 x 1 x 2 x 3 
 x 1 x 2 x 3 
 2 x 1 x 2 x 3 
 1
 .
 2
 Vậy A khụng phụ thuộc vào giỏ trị của x .
 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 
 2. B 
 2 2 3 2 2 3 2 4 2 3 2 4 2 3
 2 2 3 2 2 3 2 4 2 3 2 4 2 3 
 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 3 
 2 2
 2 1 3 2 1 3 1 3 1 3 
 2 3 1 3 2 1 3 6 2
 1 3 3 1 3 1 2 3 3 2 3 1 6 3 1 
 6 6 6 3
 6 3 1 
 Vậy B .
 3 Bài 2. (6,0 điểm)
 2
 3a 1 a 1 2a a 1 
 1. Cho phương trỡnh: ( a là tham số).
 a x a x x2 a2
 a) Giải phương trỡnh trờn.
 b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn dương của a để phương trỡnh cú nghiệm x là số nguyờn tố.
 3 3 3
 x y z 3xyz
 2. Tỡm nghiệm nguyờn dương của hệ phương trỡnh sau: .
 2
 x 2 y z 
 Lời giải
 1. Rỳt gọn cỏc biểu thức sau:
 a) Điều kiện: x a .
 Phương trỡnh đó cho tương đương với: 
 3a 1 x a a x a 1 2a a2 1 
 4ax 2a3 2a2 . 
 Nếu a 0 thỡ phương trỡnh đó cho nghiệm đỳng với mọi x 0 .
 1
 Nếu a 0 thỡ 2x a2 a x a a 1 .
 2
 Vậy : Nếu a 0 thỡ phương trỡnh đó cho nghiệm đỳng với mọi x Ă * . 
 1
 Nếu a 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x a a 1 . 
 2
 1
 b) Với a Z* thỡ ta cú x a a 1 . 
 2
 *
 * Nếu a 2k k Z thỡ x k 2k 1 .
 a 2
 Để x là số nguyờn tố thỡ k 1(vỡ 2k 1 k ). Suy ra: . 
 x 3
 *
 * Nếu a 2k 1 k Z thỡ x k 1 2k 1 .
 *
 Để x là số nguyờn tố thỡ k 1 1 k 0 (vỡ 2k 1 k 1 ) khụng thỏa món vỡ k Z .
 Vậy a 2 là giastrij cần tỡm.
 2. Từ phương trỡnh (1) của hệ ta cú: x3 y3 z3 3xyz
 3
 x3 y z 3yz(y z) 3xyz 0 
 2
 x y z x2 x y z y z 3yz 0 
 x y z x2 y2 z 2 xy xz yz 0 
 2 2 2
 x y z x y x z y z 0 
 2 2 2
 Vỡ theo giả thiết x, y,z 0 nờn : x y x z y z 0 suy ra : x y z 0 
 2 x 0 (loaùi)
 x y z . Thay vào phương trỡnh (2) ta cú : x 2x x x 2 0 
 x = 2 Với x 2 y z 2 . Vỡ y, z là cỏc số nguyờn dương suy ra: y z 1. 
 Thử lại ta thấy với : x 2, y z 1 thỏa món hệ phương trỡnh đó cho.
 Vậy nghiệm nguyờn dương của hệ phương trỡnh là : x, y, z 2,1,1 .
Cõu 3. (4 điểm) 
 1) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn cú ba chữ số abc sao cho:
 2
 abc n 1
 2 Với n  ; n 2 .
 cba n 2 
 2) Cho tam giỏc ABC cú ba cạnh a;b;c thỏa : a + b + c = 6 
 Chứng minh : 52 Ê 3(a2 + b2 + c2 )+ 2abc < 54 
 Lời giải
 1. abc n2 1 100a 10b c n2 1 1 
 2
 cba n 2 100c 10b a n2 4n 4 2 
 Trừ từng vế 1 và 2 ta cú: 
 100a 10b c 100c 10b a n2 1 n2 4n 4 
 99a 99c 4n 5 . 
 99 a c 4n 5 . 
 4n 5 99 . 3 
 Mặt khỏc abc n2 1 mà 100 abc 999 .
 100 n2 1 999 . 
 101 n2 1000 . 
 11 n 31. 
 39 4n 5 119 . 4 
 Từ 3 và 4 4n 5 99 n 26 . 
 abc 262 1 675 .
 Vậy abc 675 .
 2. Ta cú 3 a2 + b2 + c2 + 2abc = 3ộ(a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)ự+ 2abc 
 ( ) ởờ ỷỳ
 ộ 2 ự
 = 3ởờ6 - 2(ab + bc + ca)ỷỳ+ 2abc = 108- 2(3ab + 3bc + 3ca - abc) 
 Ta sẽ chứng minh 27 < 3(ab + bc + ca)- abc Ê 28 
 Thật vậy theo bdt tam giỏc ta cú 
 ùỡ b + c > a ùỡ 6 > 2a ùỡ 3- a > 0
 ù ù ù
 ớù a + c > b ị ớù 6 > 2b ị 0 0 
 ù ù ù
 ợù a + b > c ợù 6 > 2c ợù 3- c > 0 Xột (3- a)(3- b)(3- c)= 27- 9(a + b + c)+ 3(ab + bc + ca)- abc > 0 
 ị 27- 9.6 + 3(ab + bc + ca)- abc > 0 ị 3(ab + bc + ca)- abc > 27 
 Mặt khỏc theo bđt Cụ si ta cú 
 (3- a)+ (3- b)+ (3- c)³ 33 (3- a)(3- b)(3- c)ị 3 ³ 33 (3- a)(3- b)(3- c) 
 ị (3- a)(3- b)(3- c)Ê 1ị 3(ab + bc + ca)- abc - 9(a + b + c)+ 27 Ê 1
 ị 3(ab + bc + ca)- abc - 54 + 27 Ê 1ị 3(ab + bc + ca)- abc Ê 28
 Vậy ta cú 52 Ê 108- 2(3ab + 3bc + 3ca - abc)< 54
 ị 52 Ê 3(a2 + b2 + c2 )+ 2abc < 54 ( đpcm ). 
Bài 4. (4,0 điểm)
 Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh là a và N là một điểm trờn cạnh AB . Tia CN cắt tia DA tại 
 E . Trờn tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho BF DE . Gọi M là trung điểm của EF .
 1) Chứng minh tam giỏc ACE đồng dạng với tam giỏc BCM .
 2) Xỏc định vị trớ điểm N trờn AB sao cho diện tớch tứ giỏc ACFE gấp ba lần diện tớch hỡnh 
 vuụng ABCD . 
 Lời giải
 1).
 F
 M
 B C
 N
 E A D
 Cú BFC DEC c.g.c vỡ 
 CB CD 
 Cã BF Cã DE 90 
 BF DE 
 Suy ra CE CF và Fã CB Eã CD .
 Mà Eã CD Eã CB 90 Bã CF Eã CB 90 Eã CF 90 . Suy ra tam giỏc ECF vuụng cõn tại C suy ra CM vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam 
giỏc ECF và tam giỏc CME vuụng cõn tại M .
Dễ thấy tam giỏc ABC vuụng cõn tại B .
 CM CB
Cú MCE : BCA ( Hai tam giỏc vuụng cõn đồng dạng với nhau) suy ra .
 CE CA
Lại cú Mã CE Bã CA 45 Mã CB Eã CA .
Vậy ACE : BCM (c.g.c) vỡ
 CM CB
 và Mã CB Eã CA. (đpcm).
 CE CA
2).
 A
 E D
 N
 B
 C
 M
 F
 ax ax
Đặt AN x AE , AF 2a , điều kiện 0 x a 
 a x a x
 1 1
 S S S AE.AF CB.AF AF AE CB 
 ACFE AEF ACF 2 2
 1 ax ax 1 2 x x 1 2 2a x a 
 2a a a 2 1 a 
 2 a x a x 2 a x a x 2 a x a x 
 a3 2a x
 2 a x 2 3
 a 2a x 2 2 2 2
 Cú SACFE 3SABCD 3a 2a x a 6 a x 6x 11ax 4a 0
 2 a x 2
 4a
 x (L)
 3
 .
 a
 x (N)
 2
Bài 5 (2,0 điểm)
 Cho ABC : Bà Cà 1050 ; AB AC 2 2BC. Tớnh Bà,Cà ? 
 Lời giải
 Trờn BC chọn điểm N sao cho Nã AB 300 
 Kẻ BM  AN;CP  AN (P, M AN)
 * Xột ABM cú Mả 900 ; àA 300 
 Áp dụng định lý gúc đối diện cạnh
 300 bằng nửa cạnh huyền
 AB 2BM (1)
 * Xột APC cú Pã AC 450 
 Nờn APC vuụng cõn tại P
 AC 2PC 
 2AC 2PC (2)
 Từ (1) và (2) AB 2AC 2(BM PC) 2(BN CN) 2BC 
 để thoả món bài toỏn thỡ M  N  P hay Bà 600 ;Cà 450. 
 ------------- HẾT -------------