Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2009-2010 (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009 – 2010
Câu 1: (2,0 điểm)
 Cho biểu thức: 
 a 1 a 1 1 
 P 4 a a .
 a 1 a 1 a 
 a) Rút gọn P. 
 b) Tính giá trị của P tại a 2 3 3 1 2 3
Câu 2: (1,5 điểm)
 Giải phương trình: x 2 x 1 x 1 1.
Câu 3: (2,5 điểm)
 Cho x, y là các số dương.
 x y
 a) Chứng minh: 2 .
 y x
 x y xy
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M .
 y x x2 y2
Câu 4: (3,0 điểm)
 Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2R ( M không trùng với 
 A và B ). Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp 
 tuyến Ax. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của I·AM cắt nửa đường tròn O 
 tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K. 
 a) Chứng minh 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn.
 b) Chứng minh HF  BI .
 c) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn O để chu vi AMB đạt giá trị lớn nhất và 
 tìm giá trị đó theo R? 
Câu 5: (1,0 điểm)
 Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng: 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 5y 11879 .
 .HẾT .
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . .Số báo danh: . LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009 – 2010
Câu 1: (2,0 điểm)
 Cho biểu thức: 
 a 1 a 1 1 
 P 4 a a .
 a 1 a 1 a 
 a) Rút gọn P. 
 b) Tính giá trị của P tại a 2 3 3 1 2 3
 Lời giải
 a 0
 a 0
 a) Điều kiện a 1 
 a 1
 a 0
 2 2
 a 1 a 1 4 a a 1 a 1
 P .
 a 1 a
 4 a 4 a a 1 4 a(1 a 1)
 4a
 a a
 Vậy P 4a .
 b) a 2 3 2 3 2 3 . 3 1 
 2
 2 3 . 3 1 2 3 3 1 2 3 4 2 3 
 2 2 3 2 3 2 . 
 Vậy a 2 do đó P 4a 4 2 .
Câu 2: (1,5 điểm)
 Giải phương trình: x 2 x 1 x 1 1.
 Lời giải
 Điều kiện x 1
 2
 x 2 x 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1
 x 1 1 x 1 1 (1)
 Khi x 1 1 x 1 1 x 2 : Ta có
 (1) x 1 1 x 1 1. Phương trình vô nghiệm
 Khi 0 x 1 1 0 x 1 1 1 x 2 : Ta có
 1 (1) 1 x 1 x 1 1 2 x 1 0 x 1
 Vậy x 1 là nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 3: (2,5 điểm)
 Cho x, y là các số dương. x y
 a) Chứng minh: 2 .
 y x
 x y xy
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M .
 y x x2 y2
 Lời giải
 x y
 a) Vì x > 0, y > 0 nên 0 và 0
 y x
 Áp dụng bất đẳng thức a b 2 ab dấu "=" xảy ra a b
 x y x y
 ta có 2 . 2
 y x y x
 x y
 Vậy 2 .
 y x
 x y
 Dấu "=" xảy ra x2 y2 x y (vì x > 0, y > 0)
 y x
 x y 1 3a a 1
 b) Đặt a , ta có M a 
 y x a 4 4 a
 x y 3a 3
 Vì a 2 nên ; 
 y x 4 2
 a 1 a 1 1
 Ta có 2 . 2. 1
 4 a 4 a 2
 1 3a a 1 3 5 5
 Do đó M a 1 ; M a 2 x y
 a 4 4 a 2 2 2
 5
 Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng khi và chỉ khi x y .
 2
Câu 4: (3,0 điểm)
 Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2R ( M không trùng với 
 A và B ). Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp 
 tuyến Ax. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của I·AM cắt nửa đường tròn O 
 tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K. 
 a) Chứng minh 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn.
 b) Chứng minh HF  BI .
 c) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn O để chu vi x
 AMB đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R? I
 Lời giải F
 a) Ta có M , E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB 
 M
 nên F· MK 90 và F· EK 90.
 E
 Vậy 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên đường tròn đường H
 kính FK. K
 b) Ta có HAK cân tại A nên AH AK (1)
 K là trực tâm của AFB nên ta có FK  AB A O B
 Suy ra FK // AH (2)
 Do đó F· AH ·AFK mà F· AH F· AK (gt) cho nên ·AFK F· AK Suy ra AK KF, kết hợp với (1) ta được AH KF (3)
 Từ (2) và (3) ta có AKFH là hình bình hành nên HF // AK. Mà AK  IB suy ra HF  IB
 .
 c) Chu vi của AMB C AMB MA MB AB lớn nhất khi chỉ khi MA MB lớn nhất (vì 
 AB không đổi).
 2
 Áp dụng bất đẳng thức a b 2 a2 b2 dấu "=" xảy ra a b , ta có 
 MA MB 2 2(MA2 MB2 ) 2AB2
 Nên MA MB đạt giá trị lớn nhất bằng AB 2 khi và chỉ khi 
 MA MB hay M nằm chính giữa cung AB. 
 Vậy khi M nằm chính giữa cung AB thì C AMB đạt giá trị lớn nhất.
 Khi đó
 C AMB MA MB AB AB 2 AB (1 2)AB 2R(1 2)
Câu 5: (1,0 điểm)
 Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng: 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 5y 11879 .
 Lời giải
 Đặt A 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 , ta có 2x.A là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên 
 2x.A chia hết cho 5. Nhưng 2x không chia hết cho 5, do đó A chia hết cho 5.
 Nếu y 1, ta có 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 5y chia hết cho 5 mà 11879 không chia 
 hết cho 5 nên y 1 không thỏa mãn, suy ra y 0. 
 Khi đó, ta có 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 5y 11879
 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 1 11879
 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 11880
 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 9.10.11.12 x 3 .
 Vậy x 3; y 0 là hai giá trị cần tìm.
 ..HẾT