Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Nông Cống (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 NÔNG CỐNG NĂM HỌC 2019-2020
 MÔN: TOÁN 9
 Thời gian làm bài: 150 phút
 (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1(4 điểm) :
 2 5 x 1 x 1
Cho biểu thức : A 1 :
 1 2 x 4x 1 1 2 x 4x 4 x 1
 a) Rút gọn biểu thức 
 1 2 x
 b) Tìm x để A 
 2
Bài 2 ( 4điểm):
 2x x 5
 a) Giải phương trình 
 x2 x 1 x2 x 1 3
 x3 (2 3y) 1
 b) Giải hệ phương trình : 
 3
 x(y 2) 3
Bài 3(4 điểm ):
 a) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo diện tích 
 bằng số đo chu vi.
 b) Cho = 푛6 ― 푛4 ― 푛2 +1 với n lẻ . Chứng minh : ⋮128
Bài 4(6 điểm)
Cho đường thẳng và điểm cố định nằm ngoài đường thẳng . là hình chiếu vuông góc của 
xuống d. Hai điểm , thay đổi trên sao cho = 90°. Gọi ,퐹 lần lượt là hình chiếu vuông 
góc của H xuống , . Chứng minh rằng:
 a) . = 퐹. 
 b) 퐹 là tiếp tuyến của đường tròn đường kính 
 c) Cho đường tròn tâm đi qua 4 điểm , ,퐹, và đường tròn tâm cắt đường thẳng tại 2 
 điểm , . Chứng minh rằng đường tròn tâm đi qua 2 điểm cố định.
Bài 5(2 điểm) Cho x,y,z thỏa mãn ≥ 4; ≥ 5;6 ≤ ≤ 7; 2 + 2 + 2 = 90. Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức = + + 
 ..Hết HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ
Bài 1(4 điểm) :
 2 5 x 1 x 1
Cho biểu thức : A 1 :
 1 2 x 4x 1 1 2 x 4x 4 x 1
 a) Rút gọn biểu thức 
 1 2 x
 b) Tìm x để A 
 2
 Giải: 
 2 5 x 1 x 1
 a) A 1 :
 1 2 x 4x 1 1 2 x 4x 4 x 1
 1
 Với ≠ 1; ≠ 4; ≥ 0 biểu thức có nghĩa. Ta có: 
 2 5 x 1 x 1
 = 1 :
 1 2 x 4x 1 1 2 x 4x 4 x 1
 2(2 x 1) 5 x 2 x 1 x 1
 1 :
 (2 x 1)(2 x 1) (2 x 1)2
 x 1 (2 x 1)2
 1 :
 (2 x 1)(2 x 1) x 1
 2 x 1
 1 
 2 x 1
 2
 2 x 1
 1 2 x 2 1 2 x
 b) Ta có : A 
 2 2 x 1 2
 (2 x 1) 2 4 (2 x 1 2)(2 x 1 2) 2 x 3
 0 0 0
 2 x 1 2 x 1 2 x 1
 9
 x 
 2 x 3 0 4 9
 TH1: x 
 1 4
 2 x 1 0 x 
 4
 9
 0 x 
 2 x 3 0 4 1
 TH2: 0 x 
 1 4
 2 x 1 0 0 x 
 4
 1 1
 Vậy 0 ≤ 9
Bài 2 ( 4điểm):
 2x x 5
 c) Giải phương trình 
 x2 x 1 x2 x 1 3 x3 (2 3y) 1
 d) Giải hệ phương trình : 
 3
 x(y 2) 3
Giải: 
 a) Dễ thấy = 0 không phải là nghiệm của phương trình do đó phương trình tương đương với 
 :
 2 1 5
 1 1
 x 1 x 1 3
 x x
 1
 Đặt 푡 = + phương trình trở thành:
 2 1 5
 ― =
 푡 ― 1 푡 + 1 3
 => 5푡2 ― 3푡 ― 14 = 0(푡 ≠± 1)
 (푡 ― 2)(5푡 + 7) = 0
 t 2(TM )
 7
 t 
 5
 Nếu 푡 = 2 => = 1
 7
 Nếu 푡 = ― 5( vô nghiệm)
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1
 x3 (2 3y) 1(1)
 b) Từ hệ phương trình => ≠ 0. Chia phương trình (1) cho 3 và phương 
 3
 x(y 2) 3(2)
 1
 (2 3y) (1)
 x3 1
 trình (2) cho x ta được Đặt = . Hệ phương trình đượ viết lại :
 3 
 (y3 2) (2)
 x
 z3 3y 2
 trừ từng vế của hai phương trình ta được: ( ― ) 2 + + 2 + 3 = 0
 3
 y 3z 2
 => = => 3 ― 3 ― 2 = 0
 Giải phương trình tìm được = ―1 푣à = 2
 Với = ―1 => = ―1
 1
 Với = 2 => = 2
 Kết luận: Vậy nghiệm của hệ pương trình là( ; )휖{( ―1; ― 1); 1 ;2 }
 2
Bài 3(4 điểm ):
 a) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo diện tích 
 bằng số đo chu vi.
 b) Cho = 푛6 ― 푛4 ― 푛2 +1 với n lẻ . Chứng minh : ⋮128
Giải : a) Gọi độ dài các cạnh là ; ; . Với 1 ≤ ≤ < 푣ớ푖 , , 푛 ê푛. Theo bài ra ta có:
 z2 x2 y2 (1)
 xy 2(x y z)(2)
 Từ (1) => 2 = ( + )2 ―2 = ( + )2 ―4( + + )
 => 2 + 4 + 4 = ( + )2 ― 4( + ) + 4
 => ( + 2)2 = ( + ― 2)2. 표 1 ≤ ≤ < 
 => + 2 = + ― 2 => = + ― 4 thay vào (2) đưa về phương trình ước số:
 ( ― 4)( ― 4) = 8
 => ― 4 = 0 푣à ― 4 푡ℎ ộ Ư(8) = { ± 1; ± 2; ± 4; ± 8}
 x 6
 x 4 2 
 y 8
 y 4 4 
 z 10
Lại có ―3 ≤ ― 4 ≤ ― 4 표 1 ≤ ≤ 
 x 5
 x 4 1 
 y 12
 y 4 8 
 z 13
Vậy độ dài 3 cạnh của tam giác là (5;12;13)ℎ표ặ (6;8;10)
 b) Ta có : = 푛6 ― 푛4 ― 푛2 +1 = (푛2 ― 1)2(푛2 + 1)
 Vì n lẻ => (푛2 ― 1)2 = [4 ( + 1)}2 = 16[ ( + 1)]^2
 Do ( + 1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp => ( + 1)⋮2 = [ ( + 1)]2⋮4 => (푛2 ― 1)2
 ⋮64
 Lại do n lẻ => 푛2 +1⋮2
 => ⋮128
Bài 4(6 điểm)
Cho đường thẳng và điểm cố định nằm ngoài đường thẳng . là hình chiếu vuông góc của 
xuống . Hai điểm , thay đổi trên sao cho = 90°. Gọi ,퐹 lần lượt là hình chiếu vuông 
góc của H xuống , . Chứng minh rằng:
 a) . = 퐹. 
 b) 퐹 là tuyến tuyến của đường tròn đường kính 
 c) Cho đường tròn tâm đi qua 4 điểm , ,퐹, và đường tròn tâm cắt đường thẳng tại 2 
 điểm , . Chứng minh rằng đường tròn tâm đi qua hai điểm cố định.
Giải : A
 M F
 E
 d
 B
 C
 P H Q
 O
 N
 a) ∆ 푣 ô푛 푡ạ푖 ó đườ푛 표 : 2 = . 
 ∆ 푣 ô푛 푡ạ ó đườ푛 표 퐹: 2 = 퐹. 
 => . = 퐹. ( = 2)
 b) Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của , . 
 Ta có ∆푃 â푛 푡ạ푖 푃 => 푃 = 푃 
 Mà 퐹 = 푃 ( đồng vị) => 푃 = 퐹 (1)
 Mặt khác AEHF là hình chữ nhật => 퐹 = 퐹 (2)
 Cộng (1); (2) vế theo vế => 푃 퐹 = 90°
 1
 Lại có ∆ 푣 ô푛 푡ạ푖 có EP là đường trung tuyến => 푃 = 푃 = 푃 = 2
 => ∈ (푃)
=> EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm P
 A
 M F
 E
 d
 B
 C
 P H Q
 O
 N
 c) Ta có : . = . = 2(1) Mà 
 2 = . = . = ( ― )( + ) = 2 ― . + ( ― )
=> ― = (2)
Từ (1) và (2)
 HN HM AH
 2
 HN.HM AH
 5 1 5 1
 HM AH; HN AH
 => 2 2
Vậy ( ) luôn đi qua , cố định
Bài 5(2 điểm) Cho , , thỏa mãn ≥ 4; ≥ 5;6 ≤ ≤ 7; 2 + 2 + 2 = 90. Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức = + + 
Giải: Theo bài ra ta có:
 x2 36
 x 
 13
 4 x 9 (x 4)(9 x) 0 
 y2 40
 5 y 8 (y 5)(8 y) 0 y 
 13
 6 z 7 (z 6)(7 z) 0 
 z2 42
 z 
 13
 2 + 2 + 2 + 118 90 + 118
 => + + ≥ = = 16
 13 13
Do 2 + 2 + 2 = 90 dấu bằng xảy ra khi = 4; = 5; = 7
Vậy GTNN của = 16 ℎ푖 = 4; = 5; = 7