Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Tỉnh Kiên Giang (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 THCS
 TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2011-2012
 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN
 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
 Ngày thi : 01/03/2012
Câu 1: (4 điểm)
 a) Cho S 1 3 32 33 34 ...... 396 397 398 399 
 Chứng minh S chia hết cho 40 . 
 a3 b3 c3 3abc
 b) Rút gọn phân thức . 
 a b 2 a c 2 b c 2
Câu 2: (4 điểm)
 2 3 2 3
 a) Thực hiện phép tính : .
 2 2 3 2 2 3
 b) Cho a b c 0; a,b,c 0 . Chứng minh đẳng thức 
 1 1 1 1 1 1
 .
 a2 b2 c2 a b c
Câu 3: (4 điểm)
 a) Giải phương trình: 2x2 2x 1 4x 1 .
 x 2 2 y 1 9
 b) Giải hệ phương trình : .
 x y 1 1
Câu 4: (5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn O; R có hai đường chéo 
 AC, BD vuông góc với nhau tại I I O . Vẽ đường kính CE .
 a) Chứng minh ABDE là hình thang cân.
 b) Chứng minh AB2 CD2 BC 2 DA2 2R 2 . 
 c) Từ A và B vẽ các đường thẳng vuông góc đến CD lần lượt cắt BD tại F , cắt 
 AC tại K . Chứng minh A, N, K, F là bốn đỉnh của một tứ giác đặc biệt.
Câu 5: (3 điểm) Cho hai điểm A , B cố định và điểm M di động sao cho MAB là tam 
 giác có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường 
 cao vẽ từ M của tam giác MAB . Tính giá trị lớn nhất của tích KH.KM . ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 KIÊN GIANG NĂM 2011-2012
Câu 1: (4 điểm)
 a) Cho S 1 3 32 33 34 ...... 396 397 398 399 . Chứng minh S chia hết cho 
 40 . 
 a3 b3 c3 3abc
 b) Rút gọn phân thức . 
 a b 2 a c 2 b c 2
 Lời giải
 a) S 1 31 32 33 34 35 36 37 ..... 396 397 398 399 
 S 1 31 32 33 34. 1 31 32 33 .... 396. 1 31 32 33 
 S 1 31 32 33 . 1 34 38...... 396 
 S 40. 1 34 38...... 396 
 Vậy S chia hết cho 40 .
 3
 b) Ta có: a3 b3 c3 3abc a b 3ab(a b) c3 3abc .
 a b 3 c3 3ab.(a b) 3abc
 a b c a b 2 (a b)c c2 3ab(a b c)
 a b c . a2 2ab b2 ac bc c2 3ab 
 a b c . a2 b2 c2 ab bc ca 
 2 2 2
 Ta lại có: a b a c b c 
 a2 2ab b2 a2 2ac c2 b2 2bc c2 
 2(a2 b2 c2 ab bc ca) . 
 a b c
 Kết quả với a2 b2 c2 ab bc ca 0 .
 2
Câu 2: (4 điểm)
 2 3 2 3
 a) Thực hiện phép tính : .
 2 2 3 2 2 3
 b) Cho a b c 0; a,b,c 0 . Chứng minh đẳng thức 
 1 1 1 1 1 1
 .
 a2 b2 c2 a b c
 Lời giải
 a) Ta có: 2 3 2 3
 2 2 3 2 2 3
 2. 2 3 2. 2 3 2. 2 3 2. 2 3 
 2 4 2 3 2 4 2 3 2 3 1 2 3 1 
 2 3 2 3 
 2. 
 3 3 3 3 
 2 3 . 3 3 2 3 . 3 3 
 2. 2 
 6
 b) Ta có:
 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 2 2 2 2 
 a b c a b c ab ac bc 
 1 1 1 c b a 1 1 1
 2 2 2 2 2 2 2
 a b c abc a b c
 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 2 2 2 . 
 a b c a b c a b c
Câu 3: (4 điểm)
 a) Giải phương trình: 2x2 2x 1 4x 1 .
 x 2 2 y 1 9
 b) Giải hệ phương trình : .
 x y 1 1
 Lời giải
 1
 a) Điều kiện: 4x 1 0 x . 
 4
 Với điều kiện trên, phương trình trở thành:
 2x2 2x 1 4x 1 4x2 4x 2 2 4x 1
 2
 2
 2 4x 0
 4x 4x 1 1 0 x 0 (thỏa).
 4x 1 1 0
 x 2 2 y 1 9 1 
 b) 
 x y 1 1 2 
 Từ phương trình 2 y 1 1 x 0 x 1. 
 Thế vào phương trình 1 ta có 
 x 2 2 1 x 9 x 2 2x 11 2 x 2x 9 x 3 (vì x 1).
 y 3
 Thế x 3 vào phương trình 2 : y 1 1 3 2 y 1 2 . 
 y 1
 Vậy nghiệm của hệ là 3;3 ; 3; 1 . 
Câu 4: (5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn O; R có hai đường chéo 
 AC, BD vuông góc với nhau tại I I O . Vẽ đường kính CE .
 a) Chứng minh ABDE là hình thang cân.
 b) Chứng minh AB2 CD2 BC 2 DA2 2R 2 . 
 c) Từ A và B vẽ các đường thẳng vuông góc đến CD lần lượt cắt BD tại F , cắt 
 AC tại K . Chứng minh A, N, K, F là bốn đỉnh của một tứ giác đặc biệt.
 Lời giải
 A
 F I
 D B
 C
 K
 a) Ta có: E· AC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AE  AC . 
 Mà BD  AC (gt) AE // BD
 ABDE là hình thang.
 Mà ABDE nội tiếp đường tròn O nên ABDE là hình thang cân.
 b) Ta có E· DC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 DEC vuông ở D . 
 ED2 CD2 EC 2 2R 2 4R2 
 Mà AB ED (vì ABDE là hình thang cân) AB2 CD2 4R2 
 Chứng minh tương tự BC 2 DA2 4R2 . 
 AB2 CD2 BC 2 DA2 8R2 AB2 CD2 BC 2 DA2 2R 2 . 
 c) Ta có : B· AC B· DC (cùng chắn B»C )
 I·AF B· DC (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
 Suy ra: B· AC I·AF ABF cân tại A . 
 Mà AI là đường cao , nên AI là đường trung tuyến IB IF Chứng minh tương tự IA IK ABKF là hình bình hành
 Mà AK  BF nên ABKF là hình thoi.
Câu 5: (3 điểm) Cho hai điểm A , B cố định và điểm M di động sao cho MAB là tam 
 giác có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường 
 cao vẽ từ M của tam giác MAB . Tính giá trị lớn nhất của tích KH.KM .
 Lời giải
 A
 K H
 B M
 Xét KAH và KMB ta có:
 ·AKH M· KB 90
 K· AH K· MB (cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc)
 KAH # KMB g g 
 KH AK
 KH.KM AK.KB 
 KB KM
 Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương
 AK KB AB2
 Ta có: AK.KB AK.KB 
 2 4
 AB2
 Do đó KH.KM (không đổi). 
 4
 AB2
 Dấu " " xảy ra AK KB . Vậy giá trị lớn nhất của KH.KM là . 
 4