Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Tỉnh Nghệ An (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2011-2012 
Cõu 1: (4,0 điểm)
 3 3 3
 a) Cho cỏc số nguyờn a1,a2 ,a3 , ... ,an . Đặt S a1 a2 ... an .
 và P a1 a2 ... an . Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 
 6.
 b) Cho A n6 n4 2n3 2n2 (với n N, n > 1). Chứng minh A khụng phải là số 
 chớnh phương.
Cõu 2: (4,5 điểm)
 a) Giải phương trỡnh: 10 x3 1 3x2 6
 1
 x 3
 y
 1
 b) Giải hệ phương trỡnh: y 3
 z
 1
 z 3
 x
Cõu 3: (4,5 điểm)
 1 1 1
 a) Cho x 0, y 0, z 0 và 4 .
 x y z
 1 1 1
 Chứng minh rằng: 1
 2x y z x 2y z x y 2z
 b) Cho x 0, y 0, z 0 thỏa món x2011 y2011 z2011 3.
 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: M x2 y2 z2
Cõu 4: (4,5 điểm)
 Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn nội tiếp đường trũn O , H là trực tõm của tam giỏc. 
 Gọi M là một điểm trờn cung BC khụng chứa điểm A . ( M khụng trựng với B và C ). 
 Gọi N và P lần lượt là điểm đối xứng của M qua cỏc đường thẳng AB và AC .
 a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.
 1 1
 b) Khi Bã OC 120 , xỏc định vị trớ của điểm M để đạt giỏ trị nhỏ nhất. 
 MB MC
Cõu 5: (2,5 điểm)
 Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn tõm O , một điểm I chuyển động trờn cung 
 BC khụng chứa điểm A ( I khụng trựng với B và C ). Đường thẳng vuụng gúc với IB 
 tại I cắt đường thẳng AC tại E , đường thẳng vuụng gúc với IC tại I cắt đường thẳng 
 AB AB tại F . Chứng minh rằng đường thẳng EF luụn đi qua một điểm cố định.
 .HẾT .
 Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm.
Họ và tờn thớ sinh: . .Số bỏo danh: . LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2011-2012
Cõu 1: (4,0 điểm)
 3 3 3
 a) Cho cỏc số nguyờn a1,a2 ,a3 , ... ,an . Đặt S a1 a2 ... an 
 và P a1 a2 ... an . Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 
 6.
 b) Cho A n6 n4 2n3 2n2 (với n N, n 1) . Chứng minh A khụng phải là số 
 chớnh phương.
 Lời giải
 Với a Z thỡ a3 a a 1 a a 1 là tớch 3 số tự nhiờn liờn tiếp nờn chia hết cho 2 và 
 3 2 3 3
 3. Mà 2;3 1 a a6 S P a1 a1 a2 a2 ... an an 6 
 Vậy S6 P6
 n6 n4 2n3 2n2 n2 (n 1)2.(n2 2n 2) với n N , n > 1 thỡ 
 n2 2n 2 (n 1)2 1 > (n 1)2 và n2 2n 2 n2 2(n 1) n2
 Vậy (n 1)2 n2 2n 2 n2 n2 2n 2 khụng là số chớnh phương đpcm.
Cõu 2: (4,5 điểm)
 3 2
 a) Giải phương trỡnh: 10 x 1 3x 6
 1
 x 3
 y
 1
 b) Giải hệ phương trỡnh: y 3
 z
 1
 z 3
 x
 Lời giải
 a) 10 x3 1 3(x2 2)
 10 (x 1)(x2 x 1) 3(x2 2) điều kiện x 1
 Ta cú :
 Đặt x 1 a (a 0) ; x2 x 1 b b 0 
 2 2 a 3b
 Ta cú: 10ab 3a 3b (a 3b)(3a-b) = 0 
 b 3a
 Trường hợp1: a 3b 
 Ta cú: x 1 3 x2 x 1 (1)
 9x2 9x 9 x 1
 9x2 10x 8 0
 Trường hợp 2: b 3a 
 Ta cú: 3 x 1 x2 x 1 9(x 1) x2 x 1
 x 5 33 (TM )
 x2 10x-8 = 0 1
 x2 5 33 (TM )
 Vậy phương trỡnh cú 2 nghiệm x 5 33
 ' 25 9.8 0 phương trỡnh 1 vụ nghiệm.
 b)
 1
 x 3 1 
 y
 1
 y 3 2 
 z
 1
 z 3 3 
 x
 3x 1
 Từ (3) z thay vào (2) 3xy 3 8x y (4)
 x
 Từ (1) xy 1 3y 3xy 3 9y (5)
 Từ (4) và (5) 8x y 9y x y
 Chứng minh tương tự : y z 
 Từ đú x y z
 1
 Thay vào (1) x 3 x2 3x+1 = 0
 x
 3 5
 x 
 2
 3 5
 hệ cú 2 nghiệm x y z 
 2
Cõu 3: (4,5 điểm)
 1 1 1
 a) Cho x 0, y 0, z 0 và 4 .
 x y z
 1 1 1
 Chứng minh rằng: 1
 2x y z x 2y z x y 2z
 b) Cho x 0, y 0, z 0 thỏa món x2011 y2011 z2011 3.
 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: M x2 y2 z2
 Lời giải
 1 1 4
 a) Áp dụng bất đẳng thức (với x, y 0 )
 x y x y
 1 1 1 1 1 1 1
 Ta cú: ; 
 2x y z 4 2x y z y z 4y 4z 1 1 1 1 1 
 Suy ra: (1)
 2x y z 4 2x 4y 4z 
 1 1 1 1 1 
 Tương tự: (2)
 x 2y z 4 4x 2y 4z 
 1 1 1 1 1
 ( ) (3)
 x y 2z 4 4x 4y 2z
 1 1 1 1 1 1 1
 Từ (1),(2),(3) ( )
 2x y z x 2y z x y 2z 4 x y z
 1 1 1
 1
 2x y z x 2y z x y 2z
 3
 Dấu "=" xảy ra x y z 
 4
 b) Áp dụng bất đẳng thức CụSy cho x2011, x2011 và 2009 số 1 ta cú:
 2011 2011 2011 2 2011
 x  x 1 1 ... 1 2011 (x )
 2009 C/S1
 2011 2
 2x 2009 2011x (1)
 Tương tự: 2y2011 2009 2011y2 (2)
 2z2011 2009 2011z2 (3)
 2(x2011 y2011 z2011) 3.2009
 Từ (1), (2), (3) x2 y2 z2 
 2011
 x2 y2 z2 3
 Giỏ trị lớn nhất của M là 3 khi và chỉ khi x y z 1 
Cõu 4: (4,5 điểm)
 Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn nội tiếp đường trũn O , H là trực tõm của tam 
 giỏc. Gọi M là một điểm trờn cung BC khụng chứa điểm A . ( M khụng trựng với B và 
 C ). Gọi N và P lần lượt là điểm đối xứng của M qua cỏc đường thẳng AB và AC .
 a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.
 1 1
 b) Khi Bã OC 120 , xỏc định vị trớ của điểm M để đạt giỏ trị nhỏ nhất. 
 MB MC
 Lời giải A
 O E
 I P
 H
 N C
 F
 B
 M
a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.
Gọi giao điểm của BH với AC là E , AH với BC là F , CH với AB là I .
 HECF là tứ giỏc nội tiếp.
 ãAHE ãACB (1)
Mà ãACB ãAMB ( gúc nội tiếp cựng chắn một cung)
Ta cú: ãAMB ãANB (Do M , N đối xứng AB ) (2)
Từ (1), (2) AHBN là tứ giỏc nội tiếp.
 Nã AB Nã HB (*)
Mà Nã AB Mã AB (Do M , N đối xứng AB ) (**)
Từ (*), (**) Nã HB Bã AM 
Chứng minh tương tự: Pã HC Mã AC
 Nã HB Pã HC Bã AM Mã AC Bã AC
Mà Bã AC IãHE 1800
 Nã HB Pã HC Bã HC 1800 ( vỡ IãHE Bã HC )
 N, H, P thẳng hàng
 1 1
b) Khi Bã OC 120 , xỏc định vị trớ của điểm M để đạt giỏ trị nhỏ nhất. 
 MB MC
Gọi J là điểm chớnh giữa của cung lớn BC .
 ã 0
 BOC 120 BJC đều
Trờn đoạn JM lấy K sao cho MK MB JKB CMB J
 O
 K C
 B
 M
 BM MC JM
 1 1 4
 BM MC BM MC
 1 1 4
 BM MC JM
 JM lớn nhất JM là đường kớnh O lỳc đú M là điểm chớnh giữa của cung nhỏ
 BC .
 1 1
 Vậy nhỏ nhất M là điểm chớnh giữa của cung nhỏ BC .
 BM MC
Cõu 5: (2,5 điểm)
 Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn tõm O , một điểm I chuyển động trờn cung 
 BC khụng chứa điểm A ( I khụng trựng với B và C ). Đường thẳng vuụng gúc với IB 
 tại I cắt đường thẳng AC tại E , đường thẳng vuụng gúc với IC tại I cắt đường 
 thẳng AB tại F . Chứng minh rằng đường thẳng EF luụn đi qua một điểm cố định.
 Lời giải
 + Khi Bã AC 90 Bã IC 90.
 F trựng với B, E trựng vớiC lỳc đú EF là đường kớnh.
 EF đi qua điểmO cố định. B
 F
 O
 I
 K
 C
 E
 A
+ Khi Bã AC 90 Bã IC 90.
Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF . 
 Eã IF Eã AF (cựng bự Bã IC )
 Eã KF Eã IF (Do I và K đối xứng qua EF )
 Eã KF Eã AF
 AKFE nội tiếp
 Kã AB Kã EF (cựng chắn KằF ) (1)
 IảEF Kã EF (Do I và K đối xứng qua EF ) (2)
 IảEF Bã IK ( cựng phụ Kã IE ) (3)
Từ (1), (2), (3) Kã AB Bã IK
 AKBI là tứ giỏc nội tiếp
 K (O)
Mà EF là đường trung trực của KI E, O, F thẳng hàng.
+ Khi Bã AC 90 Bã IC 90 chứng minh tương tự.
Vậy đường thẳng E Fluụn đi qua điểm O cố định.
 ..HẾT