Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT An Giang (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS
 AN GIANG Năm học 2013-2014
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN 
 Thời gian làm bài : 150 phút
 Ngày thi: 15/3/2014
Câu 1: (3đ). Tính:
 1 1 1 1 1
 T ...... 
 1 2 2 3 3 4 4 5 99 100 
Câu 2: (4đ). Cho đa thức P x x5 x; g x x2 4 x2 1 x 
 a) Hãy phân tích đa thức P x g x thành tích các nhân tử.
 b) Chứng tỏ rằng nếu x là số nguyên thì P x luôn chia hết cho 5 . 
Câu 3: (4đ). Cho x1; x2 0;1 
 2 2
 a) Chứng minh rằng 1 x1 4x1 . 
 2 2 2
 b) Chứng minh rằng : 1 x1 x2 4 x1 x2 . 
 5x 3y 5 3
Câu 4: (4đ) Cho hệ phương trình . 
 3 1 x 5y 5 3
 a) Giải hệ phương trình.
 b) Tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn x, y nhận 1 nghiệm là nghiệm của hệ phương 
 trình đã cho và một nghiệm là 0;0 . 
Câu 5: (5đ). Cho đường tròn tâm O đường kính AB 4cm . Lấy một điểm M trên đường tròn 
 sao cho B· AM 30. Tiếp tuyến với đường tròn tại điểm A và điểm M cắt nhau tại C . 
 CM cắt AB tại D .
 a) Chứng minh rằng BM song song với OC . 
 b) Tính S ACD ? ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI AN GIANG NĂM 2013-2014
Câu 1: (3đ) Tính 
 1 1 1 1 1
 T ...... 
 1 2 2 3 3 4 4 5 99 100 .
 Lời giải
 1 1 1 1 1
 T .... 
 1 2 2 3 3 4 4 5 99 100 
 1 n n 1
 Ta có : n n 1 
 n n 1 n n 1
 T 1 2 2 3 3 4 4 5 .... 99 100 
 1 2 2 3 3 4 4 5 .... 99 100
 1 100 11.
Câu 2: (4đ) Cho đa thức P x x5 x; g x x2 4 x2 1 x 
 a) Hãy phân tích đa thức P x g x thành tích các nhân tử.
 b) Chứng tỏ rằng nếu x là số nguyên thì P x luôn chia hết cho 5 .
 Lời giải
 a) P(x) x5 x , g x x2 4 . x2 1 x 
 P x g x x5 x x2 4 . x2 1 x x5 x x4 5x2 4 x
 x5 x x5 5x3 4x 5x3 5x
 5x x2 1 5x x 1 x 1 . 
 Vậy P x 5x x 1 x 1 . 
 b) Theo trên P x g x 5x x 1 x 1 luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên x 
 Mặt khác g x x2 4 x2 1 x x 2 x 1 x x 1 x 2 nên g x là tích của 5 
 số nguyên liên tiếp 
 g x chia hết cho 5
 Vậy P x g x 5x x2 1 luôn chia hết cho 5 .
Câu 3: (4đ) Cho x1; x2 0;1 2 2
 a) Chứng minh rằng 1 x1 4x1 . 
 2 2 2
 b) Chứng minh rằng : 1 x1 x2 4 x1 x2 .
 Lời giải
 2 2
 a) Xét 4x1 1 x1 2x1 1 x1 2x1 1 x1 x1 1 3x1 1 
 Do x1 0;1 x1 1 0; 3x1 1 0 
 2 2
 Vậy 4x1 1 x1 x1 1 3x1 1 0 
 2 2
 Hay 1 x1 4x1 dấu bằng xảy ra khi x1 1 
 2 2 2 2 2
 b) Do 1 x1 x2 4 x1 x2 và x1, x2 0;1 x1 x1; x2 x2 . Ta được 
 2 2
 x1 x2 x1 x2 
 Xét:
 2 2 2 2
 1 x1 x2 4 x1 x2 1 x1 x2 4 x1 x2 
 2
 1 2 x1 x2 x1 x2 4 x1 x2 
 2 2
 1 2 x1 x2 x1 x2 1 x1 x2 0 .
 2 2 2
 Vậy 1 x1 x2 4 x1 x2 . 
 2
 x1 x1
 2
 Dấu “=” xảy ra khi x2 x2 x1 0; x2 1 hoặc x1 1; x2 0 .
 1 x x 0
 1 2
 5x 3y 5 3
Câu 4: (4đ) Cho hệ phương trình 
 3 1 x 5y 5 3
 a) Giải hệ phương trình
 b) Tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn x, y nhận 1 nghiệm là nghiệm của hệ phương 
 trình đã cho và một nghiệm là 0;0 . 
 Lời giải
 5x 3y 5 3 5x 15y 5 15
 a) 
 3 1 x 5y 5 3 3 3 x 15y 15 3 3
 5x 15y 5 15
 5x 15y 5 15 
 5 3 3
 (5 3 3)x 5 3 3 x 
 2 3 x 1 3 x 1 3
 . 
 5(1 3) 15y 5 15 y 1 5
 b) Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax by c 
 Phương trình có nghiệm 0;0 suy ra c 0 . 
 Phương trình có nghiệm 1 3; 1 5 a 1 3 b 1 5 0 
 Ta có nhiều phương trình như thế nên có thể chọn a 1 5;b 1 3 vậy một phương 
 trình thỏa đề bài đó là: 1 5 x 1 3 y 0 . 
Câu 5: (5đ). Cho đường tròn tâm O đường kính AB 4cm . Lấy một điểm M trên đường tròn 
 sao cho B· AM 30. Tiếp tuyến với đường tròn tại điểm A và điểm M cắt nhau tại C . 
 CM cắt AB tại D .
 a) Chứng minh rằng BM song song với OC . 
 b) Tính S ACD ?
 Lời giải
 C
 M
 A D
 O B
 a) Theo đề bài ta có B· AM 30, AMB vuông tại M (do góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 
 M· BO 60 * 
 MOB cân có Bµ 60 nên MOB đều ·AOM 120 
 CA,CM là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ điểm C
 nên CO là đường phân giác của ·ACM , hay CO là phân giác của ·AOM C· OA 60 ** 
 Từ * và ** suy ra BM // OC ( hai góc đồng vị).
 b) Nhận xét: Ba tam giác OAC , OMC và OMB là ba tam giác vuông bằng nhau do có một 
 cạnh góc vuong bằng nhau và một góc nhọn bằng nhau vậy SACD 3SACO 
 Tam giác ACO vuông có cạnh góc vuông OA 2cm ; ·AOC 60 AC OA.tan 60 2 3 
 1 1
 S AO.AC .2.2 3 2 3 
 ACO 2 2
 2
 Vậy diện tích tam giác ACD là SACD 6 3 (cm ) .