Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Hạ Hòa (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG PGD HẠ HÒA NĂM HỌC 2015-2016
Câu 1: (3,0 điểm)
 a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x2 8x 38 6y2 . 
 b) Tìm số tự nhiên n để n4 4 là số nguyên tố. 
Câu 2: (4,0 điểm)
 a) Cho x x2 2015 y y2 2015 2015. 
 Hãy tính giá trị của biểu thức A x y 2016 .
 b) Chứng minh rằng: 
 1 1 1
 Nếu ax3 by3 cz3 và 1 thì 3 ax2 by2 cz2 3 a 3 b 3 c . 
 x y z
Câu 3: (4,0 điểm)
 a) Giải phương trình 4 x2 4x 2 11 x4 4 . 
 2
 x x y y 4y 1 0
 b) Giải hệ phương trình .
 2 2
 y x y 2x 7y 2
Câu 4: (7,0 điểm)
 Cho đường tròn O; R và dây cung BC cố định BC 2R . Điểm A di động trên cung 
 lớn BC sao cho ABC có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H . 
 S
 a) Chứng minh AEF ∽ ABC và AEF cos2 A .
 SABC
 2 2 2
 b) Chứng minh rằng: SDEF 1 cos A cos B cos C .SABC . 
 c) Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho chu vi DEF đạt giá trị lớn nhất. 
Câu 5: (2,0 điểm)
 Cho a, b, c là ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 a3 b3 c3 a2 b2 b2 c2 c2 a2
 P .
 2abc c2 ab a2 bc b2 ca
 .HẾT .
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . .Số báo danh: . LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG PGD HẠ HÒA NĂM HỌC 2015-2016
Câu 1: (3,0 điểm)
 a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x2 8x 38 6y2 . 
 b) Tìm số tự nhiên n để n4 4 là số nguyên tố. 
 Lời giải
 a) Ta có 4x2 8x 38 6y2 2x2 4x 19 3y2 2 x 1 2 3 7 y2 .
 Ta thấy: 2 x 1 2 2 7 y2 2 y lẻ. 
 Mặt khác: 7 y2 0 y2 7 . Do đó y2 1 y 1. 
 Khi đó 2(x 1)2 18 x 1 3 x 2 hoặc x 4. 
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x; y 2;1 ; 2; 1 ; 4;1 ; 4; 1 . 
 2
 b) Ta có n4 4 n4 4 4n2 4n2 n2 2 2n 2 n2 2n 2 n2 2n 2 .
 Vì n là số tự nhiên nên n2 2n 2 1, mà n4 4 là số nguyên tố nên 
 n2 2n 2 1 n 1. 
Câu 2: (4,0 điểm)
 a) Cho x x2 2015 y y2 2015 2015. 
 Hãy tính giá trị của biểu thức A x y 2016 .
 b) Chứng minh rằng: 
 1 1 1
 Nếu ax3 by3 cz3 và 1 thì 3 ax2 by2 cz2 3 a 3 b 3 c . 
 x y z
 Lời giải
 a) Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với x x2 2015 ta được: 
 2015 y y2 2015 2015 x x2 2015 1 
 Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với y y2 2015 ta được:
 2015 x x2 2015 2015 y y2 2015 2 
 Lấy 1 2 vế theo vế ta được x y 0 .
 Vậy A x y 2016 2016 . 
 3 3 3 2 2 2 t t t 3 1 1 1
 b) Đặt ax by cz t , ta có 3 ax by cz 3 t (vì 1) 
 x y z x y z
 1 .
 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3
 Mặt khác t x a y b z c . Suy ra a b c t t 2 . 
 x y z 
 Từ 1 và 2 ta có điều phải chứng minh. 
Câu 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình 4 x2 4x 2 11 x4 4 . 
 x(x y) y2 4y 1 0
 b) Giải hệ phương trình . 
 2 2
 y(x y) 2x 7y 2
 Lời giải
 a) Ta có 4 x2 4x 2 11 x4 4 1 
 6 x2 2x 2 2 x2 2x 2 11 x2 2x 2 x2 2x 2 
 2
 6 x 2x 2 x2 2x 2
 2 11 (do x2 2x 2 (x 1)2 1 0 với mọi x ).
 x2 2x 2 x2 2x 2
 2 t 2
 x 2x 2 2
 Đặt t , t 0 . Phương trình 1 trở thành 6t 11t 2 0 1 .
 x2 2x 2 t 
 6
 x2 2x 2 5 7
 Chọn t 2, khi đó 4 3x2 10x 6 0 x .
 x2 2x 2 3
 5 7 
 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S  . 
 3  
 b) Thay y 0 vào hệ phương trình ta thấy không thỏa mãn. 
 Với y 0 ta có: 
 x2 1
 2 2 x y 4
 x x y y 4y 1 0 x 1 y y x 4y y
 2 2 2 2 2
 y x y 2x 7y 2 y x y 2 x 1 7y 2 x 1
 x y 2 7
 y
 .
 x2 1
 Đặt u , v x y 
 y
 u v 4 u 4 v v 3, u 1
 Hệ phương trình trở thành: .
 2 2 
 v 2u 7 v 2v 15 0 v 5, u 9
 • Với v 3, u 1 ta có hệ phương trình 
 x2 1 y x2 x 2 0 x 1, y 2
 .
 x y 3 y 3 x x 2, y 5
 • Với v 5 , u 9 ta có hệ phương trình 
 x2 1 9y x2 1 9y x2 9x 46 0
 (vô nghiệm). 
 x y 5 y 5 x y 5 x
 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 1;2 ; 2;5  . 
Câu 4: (7,0 điểm)
 Cho đường tròn O; R và dây cung BC cố định BC 2R . Điểm A di động trên cung 
 lớn BC sao cho ABC có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H . S
 a) Chứng minh AEF ∽ ABC và AEF cos2 A .
 SABC
 2 2 2
 b) Chứng minh rằng: SDEF 1 cos A cos B cos C .SABC . 
 c) Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho chu vi DEF đạt giá trị lớn nhất. 
 Lời giải
 AE AF
 a) Ta có ABE vuông tại E nên cos A , ACF vuông tại F nên cos A . 
 AB AC
 AE AF
 Suy ra AEF ∽ ABC (c.g.c). A
 AB AC
 2
 SAEF AE 2
 Khi đó cos A. E
 SABC AB F
 H
 b) Tương tự câu a) ta có: 
 SBDF 2 SCDE 2
 cos B , cos C . O
 SABC SABC
 Từ đó suy ra: B C
 D
 S S S S S
 DEF ABC AEF BDF CDE 1 cos2 A cos2 B cos2 C .
 SABC SABC
 2 2 2
 Suy ra SDEF 1 cos A cos B cos C .SABC .
 c) Ta chứng minh được OA  EF ; OB  DF ; OC  ED .
 Ta có 2SABC 2. SAEOF SBDOF SCDOE BC.AD OA.EF OB.FD OC.ED 
 BC.AD
 BC.AD R EF FD ED EF FD ED . 
 R
 Chu vi DEF đạt giá trị lớn nhất AD lớn nhất A là điểm chính giữa của cung lớn 
 BC . 
Câu 5: (2,0 điểm)
 Cho a, b, c là ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 a3 b3 c3 a2 b2 b2 c2 c2 a2
 P .
 2abc c2 ab a2 bc b2 ca
 Lời giải
 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
 Ta có P .
 2bc 2ca 2ab c2 ab a2 bc b2 ca
 a2 a2 bc 1 b2 b2 ca 1 c2 c2 ab 1
 Mà , , .
 2bc 2bc 2 2ca 2ca 2 2ab 2ab 2
 a2 bc 2bc b2 ca 2ca c2 ab 2ab 3
 Suy ra P 2 2 2 
 2bc a bc 2ca b ca 2ab c ab 2
 3 9 x y
 2 2 2 (Vì với x, y 0 , áp dụng BĐT Cosi ta được 2 ).
 2 2 y x
 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c . 
 9
 Vậy GTNN của P bằng đạt được khi a b c . 
 2
 ..HẾT