Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Tỉnh Quảng Bình (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012-2013
Câu 1. (2,0 điểm)
 x x 26 x 19 2 x x 3
 Cho biểu thức: P .
 x 2 x 3 x 1 x 3
 a) Rút gọn P .
 b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2. (2.0 điểm) 
 Cho phương trình x2 2mx m 4 0 .
 3 3
 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 x2 26m .
 b) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.
Câu 3. (3,5 điểm) 
 Cho tam giác ABC đều cố định nội tiếp trong đường tròn O . Đường thẳng d thay đổi nhưng 
 luôn đi qua A và cắt cung nhỏ AB tại điểm thứ hai là E E A . Đường thẳng d cắt hai tiếp 
 tuyến tại B và C của đường tròn O lần lượt tại M và N , MC cắt BN tại F . Chứng minh 
 rằng: 
 a) Tam giác CAN đồng dạng với tam giác BMA, tam giác MBC đồng dạng với tam giác 
 BCN .
 b) Tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp. 
 c) Chứng minh đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi d thay đổi nhưng luôn 
 đi qua A .
Câu 4. (1,5 điểm) 
 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 6 . Chứng minh rằng:
 b c 5 c a 4 a b 3
 6 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
 1 a 2 b 3 c
Câu 5. (1,0 điểm) 
 Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4 4n là hợp số.
 --------------------HẾT---------------------- LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012-2013
Câu 1. (2,0 điểm)
 x x 26 x 19 2 x x 3
 Cho biểu thức: P .
 x 2 x 3 x 1 x 3
 a) Rút gọn P .
 b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.
 Lời giải
 a) ĐK: 0 x 1. Ta có:
 x x 26 x 19 2 x x 3
 P 
 ( x 1)( x 3) x 1 x 3
 x x 26 x 19 2 x( x 3) ( x 3)( x 1)
 ( x 1)( x 3)
 x x 26 x 19 2x 6 x x 4 x 3
 ( x 1)( x 3)
 x x x 16 x 16 ( x 1)(x 16) x 16
 .
 ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3) x 3
 x 16 25 25
 b) P x 3 x 3 6
 x 3 x 3 x 3
 25
 2 ( x 3) 6 10 6 4
 x 3
 25
 Vậy GTNN của P 4 , dấu " " xảy ra khi x 3 x 4 .
 x 3
Câu 2. (2,0 điểm)
 Cho phương trình x2 2mx m 4 0 .
 3 3
 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 x2 26m 
 b) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.
 Lời giải
 a) x2 2mx m 4 0
 2
 2 1 15
 Ta có: ' m m 4 m 0, với m 
 2 4
 Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
 x1 x2 2m 
 Theo định lý Vi-et ta có: 
 x1x2 m 4 3 3 3
 Ta có x1 x2 26m x1 x2 3x1x2 (x1 x2 ) 26m
 8m3 6m(m 4) 26m m(8m2 6m 2) 0
 m 0
 m 1
 1
 m 
 4
 b) Gọi x1, x2 (x1 x2 ) là hai nghiệm nguyên của phương trình.
 x1 x2 2m 
 Theo định lí Vi-et ta có . 
 x1x2 m 4
 Suy ra x1 x2 2x1x2 8 2(x1 x2 ) 4x1x2 1 15 (2x1 1)(2x2 1) 15 . 
 2x1 1 1 x1 0
 TH1: m 4
 2x2 1 15 x2 8
 2x1 1 5 x1 2
 TH2: m 0
 2x2 1 3 x2 2
 2x1 1 15 x1 7
 TH3: m 3
 2x2 1 1 x2 1
 2x1 1 3 x1 1
 TH4: m 1
 2x2 1 5 x2 3
 Thử lại m 0 , m 1, m 3 , m 4 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 3. (3,5 điểm)
 Cho tam giác ABC đều cố định nội tiếp trong đường tròn O . Đường thẳng d thay đổi nhưng 
 luôn đi qua A và cắt cung nhỏ AB tại điểm thứ hai là E E A . Đường thẳng d cắt hai tiếp 
 tuyến tại B và C của đường tròn O lần lượt tại M và N , MC cắt BN tại F . Chứng minh 
 rằng: 
 a) Tam giác CAN đồng dạng với tam giác BMA, tam giác MBC đồng dạng với tam giác 
 BCN .
 b) Tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp. 
 c) Chứng minh đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi d thay đổi nhưng luôn 
 đi qua A .
 Lời giải N
 A
 E
 M
 F O
 I
 B C
a) Ta có: AC//BM B· MA C· AN 
 AB//CN B· AM C· NA 
Xét CAN và BMA có
 B· MA C· AN
 B· AM C· NA
 CAN ∽ BMA (g.g)
 MB AB MB BC
Suy ra: 
 AC NC BC CN
Mặt khác M· BC B· CN 120 
Xét MBC và BCN có
 MB BC
 BC CN
 M· BC B· CN 120
 MBC ∽ BCN (c.g.c) .
b) Ta có B· FM B· CM N· BC B· CM B· MC 180 M· BC 60
Mặt khác B· EM B· CA 60 (do t/c góc ngoài của tứ giác nội tiếp)
Suy ra B· FM B· EM 60 . Do đó tứ giác BMEF nội tiếp.
c) Gọi I là giao điểm của EF với BC .
Ta có I·BF B· MF (câu a), suy ra IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tứ giác BMEF .
Tương tự chứng minh được IC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tứ giác CNEF .
Từ đó: IB2 IE.IF; IC 2 IE.IF IB IC hay I là trung điểm của BC .
Vậy d luôn đi qua điểm cố định là I . Câu 4. (1,5 điểm) 
 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 6 . Chứng minh rằng:
 b c 5 c a 4 a b 3
 6 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
 1 a 2 b 3 c
 Lời giải
 Đặt x a 1; y b 2; z c 3 x, y, z 0 
 y z z x x y y x x z y z
 Ta có VT 
 x y z x y z x z y
 y x z x y z
 2 . 2 . 2 . 6 
 x y x z z y
 Dấu bằng xảy ra khi x y z suy ra a 3, b 2 , c 1.
Câu 5. (1,0 điểm) 
 Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4 4n là hợp số.
 Lời giải
 n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng n 2k hoặc n 2k 1, với k ¥ * 
 4
 - Với n 2k , ta có n4 4n 2k 42k lớn hơn 2 và chia hết cho 2. Do đó n4 4n là hợp số.
 2 2 2
 - Với n 2k 1, ta có n4 4n n4 42k.4 n4 2.4k n2 2.4k 2.n.2k 
 2 2
 n2 2.4k 2.n.2k n2 2.4k 2.n.2k n 2k 4k n 2k 4k 
 Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2. Vậy n4 4n là hợp số.