Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Cẩm Giàng (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN CẨM GIÀNG NĂM HỌC 2013-2014
Câu 1: (2,0 điểm)
 2
 a) Cho biểu thức: A x2 x 1 2013 .
 3 3
 Tính giá trị của A khi x .
 3 1 1 3 1 1
 b) Cho x x2 2013 y y2 2013 2013. Chứng minh rằng x2013 y2013 0 .
Câu 2: (2,0 điểm)
 a) Giải phương trình: x2 5x 1 x 5 x2 1 .
 a b c
 b) Chứng minh 2 , với a,b,c 0 .
 b c a c b a
Câu 3: (2,0 điểm)
 a) Tìm số dư của phép chia đa thức x 2 x 4 x 6 x 8 2013 cho đa thức 
 x2 10x 21.
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3y2 x2 2xy 2x 6y 2017 .
Câu 4: (3,0 điểm)
 1. Cho tam giác ABC , Aµ 90, AB AC , đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là hình 
 chiếu của H trên AB và AC . Chứng minh:
 a) DE2 BH.HC .
 b) AH 3 BC.BD.CE .
 Aµ a
 2. Cho tam giác ABC , BC a, AC b, AC c . Chứng minh: sin .
 2 b c
Câu 5: (1,0 điểm)
 Cho a,b,c là ba cạnh một tam giác. Chứng minh:
 1 1 1 1 1 1
 .
 a b c b c a c a b a b c
 .HẾT .
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
 Họ và tên thí sinh: . .Số báo 
 danh: . LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN CẨM GIÀNG NĂM HỌC 2013-2014
Câu 1: (2,0 điểm)
 2
 a) Cho biểu thức: A x2 x 1 2013 .
 3 3
 Tính giá trị của A khi x .
 3 1 1 3 1 1
 b) Cho x x2 2013 y y2 2013 2013. Chứng minh rằng x2013 y2013 0 .
 Lời giải
 3 3 3( 3 1 1) 3( 3 1 1)
 a) Ta có x 
 3 1 1 3 1 1 3 1 1
 3( 3 1 1 3 1 1) 2 3
 2 .
 3 1 1 3
 Thay x 2 vào biểu thức A , ta có:
 A 22 2 1 2013 2014 .
 3 3
 Vậy khi x thì giá trị của biểu thức A là 2014.
 3 1 1 3 1 1
 b) x x2 2013 y y2 2013 2013
 x x2 2013 x x2 2013 y y2 2013 2013 x x2 2013 
 2013 y y2 2013 2013 x x2 2013 
 y y2 2013 x x2 2013 .
 Tương tự x x2 2013 y y2 2013
 Do đó x y 0 x y x2013 y2013 0 (đpcm).
Câu 2: (2,0 điểm)
 a) Giải phương trình: x2 5x 1 x 5 x2 1 .
 a b c
 b) Chứng minh 2 , với a,b,c 0 .
 b c a c b a
 Lời giải
 a) x2 5x 1 x 5 x2 1
 x2 1 5x x 5 x2 1
 x2 1 5x x x2 1 5 x2 1 0
 x2 1 x2 1 x 5 x x2 1 0
 x2 1 x x2 1 5 0 x2 1 x 0
 2
 x 1 5 0.
 x 0
 TH1: 2 1 0 2 1 (không có thỏa mãn).
 x x x x 2 2 x
 x 1 x
 TH2: x2 1 5 0 x2 1 5 x2 1 25 x 24 .
 b c a b c a b c a
 b) Ta có b c a 
 2 2a a
 b c a b c a 2a
 .
 2a a b c a b c
 b 2b c 2c
 Tương tự , .
 a c a b c b a a b c
 a b c 2 a b c 
 2 .
 b c a c b a a b c
 Dấu “=” xảy ra b c a,c a b,a b c , a,b,c 0 (vô lí).
 a b c
 Vậy 2 .
 b c a c b a
Câu 3: (2,0 điểm)
 a) Tìm số dư của phép chia đa thức x 2 x 4 x 6 x 8 2013 cho đa thức 
 x2 10x 21.
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3y2 x2 2xy 2x 6y 2017 .
 Lời giải
 a) x 2 x 4 x 6 x 8 2013
 x2 10x 16 x2 10x 24 2013
 x2 10x 21 5 x2 10x 21 3 2013
 y 5 y 3 2013, đặt y x2 10x 21
 y2 2y 1998 chia cho y dư 1998.
 Vậy số dư của phép chia đa thức x 2 x 4 x 6 x 8 2013 cho đa thức 
 x2 10x 21 là 1998.
 b) A 3y2 x2 2xy 2x 6y 2017
 2 2
 y x 1 2 1 y 2014 2014 .
 y x 1 0 x 0
 Dấu “=” xảy ra 
 y 1 y 1.
 Vậy min A 2014 khi x 0, y 1.
Câu 4: (3,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC , Aµ 90, AB AC , đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là hình 
 chiếu của H trên AB và AC . Chứng minh:
 a) DE2 BH.HC .
 b) AH 3 BC.BD.CE .
 Aµ a
 2. Cho tam giác ABC , BC a, AC b, AC c . Chứng minh: sin .
 2 b c
 Lời giải
 1.
 A
 E
 D
 C
 B H
 a) Vì D, E là hình chiếu của H trên AB, AC nên DH  AB, HE  AC .
 Tứ giác ADHE có D· AE A· DH A· EH 90 nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật
 AH DE .
 Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ABC vuông tại A , có AH là đường 
 cao , ta có AH 2 BH.HC .
 Do đó DE2 BH.HC .
 b) AH 2 BH.HC AH 3 BH.HC.AH .
 Mặt khác AH.CB AB.AC, BA2 BH.BC, AC2 CH.BC
 Do đó AH 3 BC.BD.CE .
 2. 
 A
 I
 B C
 D
 Vẽ đường phân giác AD của ABC .
 BD DC BD DC BD DC BC a
 Ta có .
 AB AC AB AC AB AC AB AC b c
 Vẽ BI  AD BI BD .
 Aµ BI Aµ BD
 Ta có sin sin .
 2 AB 2 AB AC
 Aµ a
 Vậy sin .
 2 b c
Câu 5: (1,0 điểm)
 Cho a,b,c là ba cạnh một tam giác. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1
 .
 a b c b c a c a b a b c
 Lời giải
 2 1 1 4 1 1 1 1 
Với x 0, y 0 ta có x y 4xy . (1)
 x y x y x y 4 x y 
 a,b,c là ba cạnh của một tam giác nên a b c 0,a c b 0,c b a 0.
Áp dụng BĐT (1) với các số x a b c, y a c b dương ta có:
 1 1 4 2
 a b c a c b a b c a c b a
 1 1 4 2
Tương tự 
 b a c b c a c b a a b c b
 1 1 4 2
 c b a c a b c b a c a b c
 2 2 2 1 1 1 
Do đó 2 
 a b c b c a c a b a b c 
 1 1 1 1 1 1
 (đpcm).
 a b c b c a c a b a b c
 ..HẾT