Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Tỉnh Hải Dương (Có đáp án)

 ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG 2013-2014
Cõu 1 (2 điểm).
 1 1 x2 . (1 x)3 (1 x)3 
 a) Rỳt gọn biểu thức A 
 2 1 x2
 với 1 x 1.
 b) Cho a và b là cỏc số thỏa món a b 0 và a3 a2b ab2 6b3 0 .
 a4 4b4
 Tớnh giỏ trị của biểu thức B .
 b4 4a4
Cõu 2 (2 điểm).
 a) Giải phương trỡnh x2 (x2 2) 4 x 2x2 4.
 3
 x 2x y
 b) Giải hệ phương trỡnh .
 3
 y 2y x
Cõu 3 (2 điểm).
 a) Tỡm cỏc số nguyờn dương x , y thỏa món phương trỡnh 
 xy2 2xy x 32y .
 b) Cho hai số tự nhiờn a, b thỏa món 2a2 a 3b2 b . 
 Chứng minh rằng 2a 2b 1 là số chớnh phương. 
Cõu 4 (3 điểm).
 Cho tam giỏc đều ABC nội tiếp đường trũn O, R . H là một điểm di động trờn đoạn OA (
 H khỏc A ). Đường thẳng đi qua H và vuụng gúc với OA cắt cung nhỏ AB tại M . Gọi K 
 là hỡnh chiếu của M trờn OB . 
 a) Chứng minh Hã KM 2ãAMH . 
 b) Cỏc tiếp tuyến của O, R tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của O, R lần lượt tại D và 
 E . OD , OE cắt AB lần lượt tại F và G . 
 Chứng minh OD.GF OG.DE .
 c) Tỡm giỏ trị lớn nhất của chu vi tam giỏc MAB theo R .
Cõu 5 (1 điểm).
 Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món 2ab 6bc 2ac 7abc . Tỡm giỏ trị nhỏ 
 4ab 9ac 4bc
 nhất của biểu thức C .
 a 2b a 4c b c
 ----------------------Hết------------------------
 LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG 2013-2014 Cõu 1 (2 điểm).
 1 1 x2 . (1 x)3 (1 x)3 
 a) Rỳt gọn biểu thức A 
 2 1 x2
 với 1 x 1.
 b) Cho a và b là cỏc số thỏa món a b 0 và a3 a2b ab2 6b3 0 .
 a4 4b4
 Tớnh giỏ trị của biểu thức B .
 b4 4a4
 Lời giải:
 1 1 x2 . 1 x 1 x 2 1 x2 
 a) A 
 2
 2 1 x
 1 1 x2 . 1 x 1 x 
 2
 1 1 x2 1 x 1 x 1 1 x2 2 2 1 x2 
 2x2 = x 2
 .
 b) a3 a2b ab2 6b3 0 (a 2b)(a2 ab 3b2 ) 0 (*) 
 Vỡ a b 0 a2 ab 3b2 0 nờn từ (*) ta cú a 2 b 
 a4 4b4 16b4 4b4
 Vậy biểu thức B 
 b4 4a4 b4 64b4
 12b4 4
 B 
 63b4 21
Cõu 2 (2 điểm).
 a) Giải phương trỡnh x2 (x2 2) 4 x 2x2 4.
 3
 x 2x y
 b) Giải hệ phương trỡnh .
 3
 y 2y x
 Lời giải:
 t 2
 a) Đặt t x 2x2 4 t 2 2 x4 2x2 x2 x2 2 
 2
 2
 t 2 t 4
 ta được phương trỡnh 4 t t 2t 8 0 
 2 t 2
 x 0 x 0
 Với t 4 ta cú x 2x2 4 4
 4 2 4 2
 2 x 2x 16 x 2x 8 0
 x 0
 x 2
 2 
 x 2 x 0 x 0
 Với t 2 ta cú x 2x2 4 2
 4 2 4 2
 2 x 2x 4 x 2x 2 0
 x 0
 x 3 1. Kết luận nghiệm của phương trỡnh.
 2
 x 3 1
 b) Từ hệ ta cú x3 (2y x) y3 (2x y) (x2 y2 ) 2xy x2 y2 0
 3 x y
 (x y) (x y) 0 
 x y
 * Với x y ta tỡm được x ; y 0; 0 ; 3; 3 ; 3; 3 
 * Với x -y ta tỡm được x ; y 0; 0 ; 1; 1 ; 1;1 
 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm
 x ; y 0; 0 ; 3; 3 ; 3; 3 ; 1; 1 ; 1;1 
Cõu 3 (2 điểm).
 a) Tỡm cỏc số nguyờn dương x , y thỏa món phương trỡnh xy2 2xy x 32y .
 b) Cho hai số tự nhiờn a, b thỏa món 2a2 a 3b2 b . 
 Chứng minh rằng 2a 2b 1 là số chớnh phương. 
 Lời giải:
 2 2
 a) xy 2xy x 32y x(y 1) 32y
 32y
 Do y nguyờn dương y 1 0 x 
 (y 1)2
 Vỡ (y, y 1) 1 (y 1)2 U (32)
 mà 32 25 (y 1)2 22 và (y 1)2 24 (Do (y 1)2 1)
 *Nếu (y 1)2 22 y 1; x 8 
 *Nếu (y 1)2 24 y 3; x 6 
 Vậy nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh là:
 x 8 x 6
 và 
 y 1 y 3
 b) 2a2 a 3b2 b (a b)(2a 2b 1) b2 * 
 Gọi d là ước chung của a b, 2a 2b 1 ( d Ơ * ). Thỡ
 (a b)d 2
 a b 2a 2b 1 d
 (2a 2b 1)d
 b2 d 2 bd
 Mà (a b)d ad (2a 2b)d , mà (2a 2b 1)d 1d d 1 Do đú a b, 2a 2b 1 1. Từ * ta được a b và 2a 2b 1 là số chớnh phương 
 2a 2b 1 là số chớnh phương.
 Cõu 4 (3 điểm).
Cho tam giỏc đều ABC nội tiếp đường trũn O, R . H là một điểm di động trờn đoạn OA 
( H khỏc A ). Đường thẳng đi qua H và vuụng gúc với OA cắt cung nhỏ AB tại M . Gọi 
K là hỡnh chiếu của M trờn OB . 
a) Chứng minh Hã KM 2ãAMH . 
b) Cỏc tiếp tuyến của O, R tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của O, R lần lượt tại D 
và E . OD , OE cắt AB lần lượt tại F và G . 
Chứng minh OD.GF OG.DE .
c) Tỡm giỏ trị lớn nhất của chu vi tam giỏc MAB theo R .
 Lời giải:
Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax của O, R . Ta cú 
 x A
 1 1 1
àA Oà sđ ẳAM 1 
 1 2 1 2
 à ả M 1 H
Cú Ax / / MH (cựng vuụng gúc với OA ) A1 M1 
 1 O
 2
 1
 K
 à ả ẳ B C
Tứ giỏc MHOK nội tiếp O1 K1 (cựng chắn MH ) 
 3 
 1
Từ 1 ; 2 ; 3 ta cú Mả Kả hay Hã KM 2ãAMH .
 1 2 1
b) Cú tứ giỏc AOMD nội tiếp 4 
 1 1 D A
àA sđ BẳM ;Oà Oả sđ BẳM 2
 1 2 1 2 2 1 1
 F
 àA Oà Gà Dả Dả tứ giỏc AMGO nội tiếp 5 M
 1 1 1 2 1 H
 1 1
Từ 4 , 5 ta cú 5 điểm A, D, M , G, O cựng nằm trờn E G 2 O
một đường trũn B C
 à ả ả
 G1 D2 D1 
 OGF và ODE đồng dạng
 OG GF
 hay OD.GF OG.DE .
 OD DE
c) Trờn đoạn MC lấy điểm A' sao cho '
 MA' MA AMA đều A
 0
 àA ảA 60 Bã AA' 
 1 2 1 2
 MAB A' AC MB A'C 
 H
 MA MB MC M
 O
 Chu vi tam giỏc MAB là 
 MA MB AB MC AB 2R AB A'
 Đẳng thức xảy ra khi MC là đường kớnh của O, R B I C
 M là điểm chớnh giữa cung AM H là trung 
 điểm đoạn AO
 Vậy giỏ trị lớn nhất của chu vi tam giỏc MAB là 2R AB
 3 AB 3
 Gọi I là giao điểm của AO và BC AI R AB R 3 
 2 2
 Giỏ trị lớn nhất của chu vi tam giỏc MAB là 2R AB = (2 3)R
Cõu 5 (1 điểm).
 Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món 2ab 6bc 2ac 7abc . Tỡm giỏ trị nhỏ 
 4ab 9ac 4bc
 nhất của biểu thức C .
 a 2b a 4c b c
 Lời giải:
 Từ gt : 2ab 6bc 2ac 7abc và a,b,c 0 
 2 6 2
 Chia cả hai vế cho abc 0 7
 c a b
 1 1 1 x, y, z 0
 đặt x , y , z 
 a b c 2z 6x 2y 7
 4ab 9ac 4bc 4 9 4
 Khi đú C 
 a 2b a 4c b c 2x y 4x z y z
 4 9 4
 C 2x y 4x z y z (2x y 4x z y z)
 2x y 4x z y z
 2 2 2
 2 3 2 
 x 2y 4x z y z 17 17
 x 2y 4x z y z 
 1
 Khi x , y z 1 thỡ C 7 
 2
 Vậy GTNN của C là 7 khi a 2; b 1; c 1