Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Tỉnh Lạng Sơn (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014-2015
Câu 1: (4,0 điểm)
 x 2 x 1 1
 Cho biểu thức A (x 0; x 1) 
 x x 1 x x 1 1 x
 1) Rút gọn biểu thức A.
 2) Chứng minh rằng A không nhận giá trị nguyên với x 0; x 1. 
Câu 2: (4,0 điểm)
 Giải phương trình : x2 6x 10 2 2x 5 .
Câu 3: (4,0 điểm)
 Cho phương trình x2 2(a 1)x 2a 0 (1) (với a là tham số).
 1) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi a.
 2) Tìm a để phương trình (1) có hai nghiệm là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ 
 dài đường chéo là 2 3 .
Câu 4: (6,0 điểm)
 Cho góc xOy có số đo bằng 60 . Đường tròn có tâm K tiếp xúc với tia Ox tại M và tiếp xúc 
 với tia Oy tại N. Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP 3OM . Tiếp tuyến của đường tròn 
 (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O. Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN tại E. Đường 
 thẳng QK cắt đường thẳng MN tại F.
 1) Chứng minh rằng hai tam giác MPE và KPQ đồng dạng với nhau.
 2) Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp.
 3) Gọi D là trung điểm PQ. Chứng minh tam giác DEF đều.
Câu 5: (2,0 điểm)
 Cho x, y dương thỏa mãn điều kiện : x y 6 .
 6 8
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 3x 2y .
 x y
 .HẾT .
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . .Số báo danh: . ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014-2015
Câu 1: (4,0 điểm)
 x 2 x 1 1
 Cho biểu thức A (x 0; x 1) 
 x x 1 x x 1 1 x
 1) Rút gọn biểu thức A.
 2) Chứng minh rằng A không nhận giá trị nguyên với x 0; x 1. 
 Lời giải
 x
 Rút gọn được A . 
 x x 1
 Chứng minh được 0 < A <1 nên A không nguyên.
Câu 2: (4,0 điểm)
 Giải phương trình : x2 6x 10 2 2x 5 .
 Lời giải
 x2 6x 10 2 2x 5 x2 8x 16 2x 5 2 2x 5 1
 2 2
 x 4 2x 5 1 .
 Nghiệm phương trình là x 2. 
Câu 3: (4,0 điểm)
 Cho phương trình x2 2(a 1)x 2a 0 (1) (với a là tham số).
 1) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi a.
 2) Tìm a để phương trình (1) có hai nghiệm là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ 
 dài đường chéo là 2 3 .
 Lời giải
 Có ' a2 1 0 với mọi a nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi a.
 2 2 x x 2a 2
 Theo giả thiết: x x 12, và theo Viet 1 2 
 1 2 x .x 2a
 1 2
 Nên 2a 2 2 4a 12 hay a 1; a 2 .
Câu 4: (6,0 điểm)
 Cho góc xOy có số đo bằng 60 . Đường tròn có tâm K tiếp xúc với tia Ox tại M và tiếp xúc 
 với tia Oy tại N. Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP 3OM . Tiếp tuyến của đường tròn 
 (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O. Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN tại E. Đường 
 thẳng QK cắt đường thẳng MN tại F.
 1) Chứng minh rằng hai tam giác MPE và KPQ đồng dạng với nhau
 2) Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp
 3) Gọi D là trung điểm PQ. Chứng minh tam giác DEF đều.
 Lời giải
 1) PK là phân giác góc Q· PO nên M· PE K· PQ (*) 
 OMN đều E· MP 120. QK cũng là phân giác O· QP 
 Q· KP 1800 K· PQ K· QP . O
 Mà 2.K· QP 2.K· PQ 180 60 120 Q· KP 120 .
 E
 Do đó E· MP Q· KP (**) N M F
 Từ (*) và (**) ta có MPE ∽ KPQ .
 Q K
 2) Do MPE ∽ KPQ nên M· EP K· QP hay F· EP F· QP .
 Suy ra tứ giác PQEF nội tiếp trong đường tròn. D
 PM PE PM PK P
 3) Do MPE ∽ KPQ nên suy ra . y
 PK PQ PE PQ
 x
 Ngoài ra M· PK E· PQ , do đó MPK ∽ EPQ (c.g.c).
 Từ đó: P· EQ P· MK 90. 
 Suy ra, D là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác PQEF.
 Vì vậy DEF cân tại D.
 Ta có: F· PD 180 F· DP E· DQ P· OQ 60 . 
 Do đó DEF là tam giác đều.
Câu 5: (2,0 điểm)
 Cho x, y dương thỏa mãn điều kiện : x y 6 .
 6 8
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3x 2y .
 x y
 Lời giải
 Ta có a b 0 nên a b 2 ab với a, b dương.
 Từ giả thiết, ta có:
 12 16 
 2P 3(x y) (3x ) y 3.6 2.6 2.4 38 
 x y 
 Nên 2P 38 P 19. Vậy Min P 19 khi x 2; y 4.