Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016 – 2017
 ĐỀ THI MÔN: TOÁN
 ĐỀ CHÍNH THỨC Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin 
 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
 Câu 1 (2,0 điểm). Cho phương trình x4 3x3 mx2 9x 9 0 ( m là tham số).
 a) Giải phương trình khi m 2.
 b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm dương.
 Câu 2 (3,0 điểm). 
 a) Giải phương trình 3x2 4x 4x 3 4x 3 0.
 b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên x, y của phương trình x2 y2 x y4 2y2 .
 Câu 3 (1,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a b c 3. Chứng minh rằng 
 4 a2 b2 c2 a3 b3 c3 9.
 Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O với AB AC . Gọi M là 
 trung điểm BC , AM cắt O tại điểm D khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC cắt 
 đường thẳng AC tại E khác C . Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt đường thẳng AB 
 tại F khác B.
 a) Chứng minh rằng hai tam giác BDF,CDE đồng dạng và ba điểm E,M , F thẳng hàng.
 b) Chứng minh rằng OA  EF.
 c) Phân giác của góc B· AC cắt EF tại điểm N . Phân giác của các góc C· EN và B· FN lần lượt 
 cắt CN, BN tại P và Q . Chứng minh rằng PQ song song với BC.
 Câu 5 (1,0 điểm). Tập hợp A 1;2;3;...;3n 1;3n ( n là số nguyên dương) được gọi là tập 
 hợp cân đối nếu có thể chia A thành n tập hợp con A1, A2 ,..., An và thỏa mãn hai điều kiện sau: 
 i) Mỗi tập hợp Ai i 1,2,...,n gồm ba số phân biệt và có một số bằng tổng của hai số còn 
 lại.
 ii) Các tập hợp A1, A2 ,..., An đôi một không có phần tử chung.
 a) Chứng minh rằng tập A 1;2;3;...;92;93 không là tập hợp cân đối.
 b) Chứng minh rằng tập A 1;2;3;...;830;831 là tập hợp cân đối.
 —— Hết—— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ..; Số báo danh: 
 KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
 CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 2016
 HẢI DƯƠNG
 Môn thi: TOÁN (Chuyên)
 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian 
 ĐỀ CHÍNH THỨC
 giao đề
 (Đề thi gồm: 01 trang)
Câu I (2,0 điểm)
 1) Cho a b 29 12 5 2 5 . Tính giá trị của biểu thức:
 A a2 (a 1) b2 (b 1) 11ab 2015
 2) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn xy (1 x2 )(1 y2 ) 1. 
Chứng minh rằng x 1 y2 y 1 x2 0. 
Câu II (2,0 điểm)
 1) Giải phương trình 2x 3 4x2 9x 2 2 x 2 4x 1. 
 2 2
 2x y xy 5x y 2 y 2x 1 3 3x
 2) Giải hệ phương trình 
 2
 x y 1 4x y 5 x 2y 2
Câu III (2,0 điểm)
 1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x4 x2 y2 y 20 0. 
 2) Tìm các số nguyên k để k 4 8k 3 23k 2 26k 10 là số chính phương.
Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia 
BC lấy điểm A (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các 
tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC.
1) Chứng minh A, O, M, N, I cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của góc MIN
 2 1 1
2) Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh . 
 AK AB AC
3) Đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng ON cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Xác định vị 
trí của điểm A trên tia đối của tia BC để AMPN là hình bình hành.
Câu V (1,0 điểm) Cho a,b là các số dương thỏa mãn điều kiện (a b)3 4ab 12. 
 1 1
Chứng minh bất đẳng thức 2015ab 2016. 
 1 a 1 b
 ---------------------------Hết----------------------------
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
 PHÚ THỌ LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009-2010
 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn Toán
 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể giao đề
Câu 1 (4đ)
 a) Chứng minh rằng A 2n 1 2n 1 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n
 b) Tìm số các số nguyên n sao cho B n2 n 13 là số chính phương
Câu 2. (5đ) a) Giải phương trình
 x2 2x 3 2 2x2 4x 3 
 b) Giải hệ phương trình
 x2 y2 1 xy
 2 2
 x y 3xy 11
Câu 3 (3đ)
 Cho ba số x, y, z thỏa mãn
 x y z 2010
 1 1 1 1 
 x y z 2010
Tính giá trị của biểu thức P x2007 y2007 y2009 z2009 z2011 x2011 
Câu 4. (6đ)
 Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB cố định, AB R 2 . Điểm P di động trên dây AB (P 
khác A và B). Gọi C;R1 là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại A , D;R2 là 
đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại B. hai đường tròn C;R1 và D;R2 cắt 
nhau tại điểm thứ hai là M.
 a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM//CD 
 và 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn
 b) Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên đường tròn cố 
 định và đưởng thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định N
 c) Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất ? diện tích tam giác AMB lớn nhất ? 
Câu 5. Cho các số dương x, y,z thỏa mãn điều kiện xy yz zx 670. Chứng minh rằng:
 x y z 1
 x2 yz 2010 y2 zx 2010 z2 xy 2010 x y z PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
 TP. BẮC GIANG NĂM HỌC 2016-2017
 Môn: Toán lớp 9
 Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (5 điểm)
 a a b b a b
 a. Cho biểu thức M= với a, b > 0 và a b
 a b a b b a
 Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết 1 a 1 b 2 ab 1
 5 4
 b. Tìm các số nguyên a, b thoả mãn 18 2 3
 a b 2 a b 2
 c. Cho a, b, c thỏa mãn a b c 7 ; a b c 23 ; abc 3
 1 1 1
 Tính giá trị biểu thức H= 
 ab c 6 bc a 6 ca b 6
Bài 2: (4,5 điểm)
 4 3 4 3
 a. Tính giá trị của biểu thức N= 27 10 2
 4 13
 2
 b. Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn a2 b2 2 a b + (1 ab)2 4ab
Chứng minh 1 ab là số hữu tỉ
 c. Giải phương trình x2 x 4 2 x 1 1 x 
Bài 3: (3,5 điểm)
 a. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn x5 y2 xy2 1
 b. Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 . Chứng minh 
 1 1 1 3
 ab a 2 bc b 2 ca c 2 2
Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ 
AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy M sao 
cho AM > R. Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vuông góc với 
AB, CE vuông góc với AM. Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BC tại N. Đường 
thẳng MO cắt CE, CA, CH lần lượt tại Q, K, P.
 a. Chứng minh MNCO là hình thang cân
 b. MB cắt CH tại I. Chứng minh KI song song với AB
 c. Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH và AE. Chứng minh PG vuông góc với 
 QF 
Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A= 427 + 42016 + 4n là số chính 
phương
 Họ tên thí sinh.................................................... SBD:................................ PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
 THANH HÓA
 NĂM HỌC 2016 - 2017
 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn Toán: Lớp 9
 (Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1: (5,0 điểm) 
 x 2 x 1 x 1
Cho biểu thức: P : . Với x 0, x 1.
 x x 1 x x 1 1 x 2
a) Rút gọn biểu thức P.
 2
b) Tìm x để P .
 7
c) So sánh: P2 và 2P.
Bài 2: (4,0 điểm) 
a) Tìm x, y Z thỏa mãn: 2y2 x x y 1 x2 2y2 xy
b) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện: 
 2
 1 1 1 1 1 1
 2 2 2 .
 a b c a b c
Chứng minh rằng: a3 b3 c3 chia hết cho 3.
Bài 3: (4,0 điểm) 
a) Giải phương trình sau: 4x2 20x 25 x2 6x 9 10x 20
 2 2
b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x + 2y + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao 
điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm 
của EF.
a) Chứng minh: CM vuông góc với EF. 
b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.
c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của 
hình vuông ABCD
Bài 5: (1,0 điểm) 
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
 a b c a b c
 a b b c c a b c c a a b
 -------------- Hết------------
 Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
 HẢI PHÒNG CẤP THCS NĂM HỌC 2016 - 2017
 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN 
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
 (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi 12/4/2017
Bài 1. (2,0 điểm)
 3
 10 6 3( 3 1) 2017
 a) Cho x . Tính giá trị của P 12x2 + 4x – 55 .
 6 2 5 5
 a 1 a a 1 a 2 a a a 1
 M 
 b) Cho biểu thức a a a a a a với a > 0, a 1.
 6
 Với những giá trị nào của a thì biểu thức N nhận giá trị nguyên?
 M
Bài 2. (2,0 điểm)
 a) Cho phương trình: x2 2mx m2 m 6 0 (m là tham số). Với giá trị nào của 
m thì phương trình có hai nghiệm x1 và x2 sao cho x1 x2 8 ?
 x3y2 2x2y x2y2 2xy 3x 3 0
 b) Cho hệ phương trình .
 2 2017
 y x y 3m
 Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ;y1 và 
 x 2 ;y2 thỏa mãn điều kiện x 1 y2 x2 y1 3 0 .
Bài 3. (2,0 điểm)
 a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho a + b2 chia hết cho a 2b 1.
 b) Cho ba số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng: 
 a3 b3 c3
 1.
 a3 b c 3 b3 c a 3 c3 a b 3
Bài 4. (3,0 điểm)
 Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (điểm B nằm giữa điểm 
A và điểm C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua điểm B và điểm C (điểm 
O không thuộc đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O 
(với M và N là các tiếp điểm). Đường thẳng BC cắt MN tại điểm K. Đường thẳng AO 
cắt MN tại điểm H và cắt đường tròn tại các điểm P và điểm Q (P nằm giữa A và Q).
 a) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
 b) Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường 
thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME.
Bài 5. (1,0 điểm)
 Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 
phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại. Biết các số 101 và 102 thuộc tập 
hợp A. Tìm tất cả các phần tử của tập hợp A.
 ---------Hết---------
 (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
 THANH HOÁ Năm học 2010- 2011
 Đề chính thức Môn thi: Toán
 Lớp: 9 THCS
 Số báo danh Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
 Ngày thi: 24/03/2011
 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).
Câu I. (5,0 điểm). 
 1) Cho phương trình:x2 2mx 2m 1 0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm 
 2x1x2 3
 x1, x2 với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2 2 khi m thay 
 x1 x2 2(1 x1x2 )
đổi.
 1 1 1
 2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn . Chứng minh rằng A a2 b2 c2
 a b c
 là số hữu tỉ.
 (b). Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
 1 1 1
 B là số hữu tỉ.
 (x y)2 (y z)2 (z x)2
 2 2
 x x 10
Câu II. (5,0 điểm).1) Giải phương trình: . 
 x 1 x 1 9
 2 1 1 
 x x 1 4
 y y 
 2) Giải hệ phương trình: 
 2
 3 x x 1
 x 2 3 4.
 y y y
Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, 
 sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC.
 Tính B· PE.
Câu IV. (4,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định ( O AB ). P là điểm di 
 động trên đoạn thẳng AB ( P A, B và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi 
 qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp 
 xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N P ).
 1) Chứng minh rằng ·ANP B· NP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường 
 tròn.
 2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di 
 động.
Câu V. (4,0 điểm). 
 1) Cho a1,a2 ,....,a45 là 45 số tự nhiên dương thoả mãn a1 a2 .... a45 130. Đặt 
 d j a j 1 a j , ( j 1,2,...,44). Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu d j xuất hiện 
 ít nhất 10 lần.
 2) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn: a2 b2 b2 c2 c2 a2 2011. a2 b2 c2 1 2011
 Chứng minh rằng: .
 b c c a a b 2 2
 ............................................................. HẾT ........................................................
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. 
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
 PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
 THANH HÓA NĂM HỌC 2016 - 2017
 Môn Toán: Lớp 9
 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1: (5,0 điểm) 
 x 2 x 1 x 1
Cho biểu thức: P : . Với x 0, x 1.
 x x 1 x x 1 1 x 2
a) Rút gọn biểu thức P.
 2
b) Tìm x để P .
 7
c) So sánh: P2 và 2P.
Bài 2: (4,0 điểm) 
a) Tìm x, y Z thỏa mãn: 2y2 x x y 1 x2 2y2 xy
b) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện: 
 2
 1 1 1 1 1 1
 2 2 2 .
 a b c a b c
Chứng minh rằng: a3 b3 c3 chia hết cho 3.
Bài 3: (4,0 điểm) 
c) Giải phương trình sau: 4x2 20x 25 x2 6x 9 10x 20
 2 2
d) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x + 2y + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm 
của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF.
d) Chứng minh: CM vuông góc với EF. 
e) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.
f) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD
Bài 5: (1,0 điểm) 
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
 a b c a b c
 a b b c c a b c c a a b
 -------------- Hết------------
 Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG 
 KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 
 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
 ĐỀ THI VÒNG II 
 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm) Cho a, b, c Q; a, b, c đôi một khác nhau.
 1 1 1
 Chứng minh rằng bằng bình phương của một số hữu 
 a b 2 b c 2 c a 2
tỷ.
Bài 2: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5 x + 2.5y + 5z = 4500 với 
x < y < z.
 x 2 4x 1
Bài 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = 
 x 2
Bài 4: (2 điểm) Tìm một số có hai chữ số; biết rằng số đó chia hết cho 3 và nếu thêm số 
0 vào giữa các chữ số rối cộng vào số mới tạo thành một số bằng hai lần chữ số hàng 
trăm của nó thì được một số lớn gấp 9 lần số phải tìm.
Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có góc BAC = 20 0. Trên AC lấy điểm E 
sao cho góc EBC = 200. cho AB = AC = b, BC = a
 a) Tính CE.
 b) Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2.
 ---------------------------------------- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
 HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012- 2013
 Môn thi: TOÁN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút
 Đề thi gồm : 01 trang
Câu I (2,0 điểm)
 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 2 (b-2c)+b2 (c-a)+2c2 (a-b)+abc .
 2) Cho x, y thỏa mãn x 3 y- y2 +1+ 3 y+ y2 +1 . Tính giá trị của biểu thức 
 A x4 +x3y+3x2 +xy- 2y2 +1.
Câu II ( 2,0 điểm)
 1) Giải phương trình (x2 - 4x+11)(x4 - 8x2 +21) 35 .
 2 2
 x+ x +2012 y+ y +2012 2012
 2) Giải hệ phương trình .
 2 2
 x + z - 4(y+z)+8 0
Câu III (2,0 điểm)
 1)Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (n 2 + n + 1) không chia hết cho 9.
 2)Xét phương trình x2 – m2x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x). Tìm các giá trị nguyên dương của 
 m để phương trình (1) có nghiệm nguyên.
Câu IV (3,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D, E, 
 F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF tại I. M là điểm di 
 chuyển trên đoạn CE.
 1) Tính B· IF .
 2) Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứ giác 
 ABHI nội tiếp.
 3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt là hình chiếu 
 của N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí của điểm M để PQ lớn nhất.
Câu V (1,0 điểm) 
 Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0 a b c 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 1 1 1 
 B (a+b+c+3) + + .
 a+1 b+1 c+1 
 ----------------------------Hết----------------------------
Họ và tên thí sinh Số báo danh ... 
Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2: 
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI