Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Tỉnh Bến Tre (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 TỈNH BẾN TRE NĂM HỌC 2016-2017
Câu 1: (7,0 điểm)
 a) Chứng minh rằng A n8 4n7 6n6 4n5 n4 chia hết cho 16 với mọi n là số 
 nguyên.
 2 2 2
 x 3 12x 2
 b) Cho biểu thức B x 2 8x . Rút gọn biểu thức B và tìm 
 x2
 các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên.
 c) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2y2 x x y 1 x2 2y2 xy . 
Câu 2: (3,0 điểm)
 Cho hàm số y 2 x2 6x 9 x 2 có đồ thị D .
 a) Vẽ đồ thị D của hàm số trên.
 b) Với giá trị nào của m thì phương trình 2 x2 6x 9 x 2 m vô nghiệm.
 c) Dựa vào đồ thị D , tìm tập nghiệm của bất phương trình: 2 x2 6x 9 x . 
Câu 3: (2,0 điểm)
 2
 2 y
 x xy 2017
 3
 2
 2 y
 Cho x, y, z là các số thực thỏa: z 1009 (x 0, z 0, x z)
 3
 x2 xz z2 1008
 2z y z
 Chứng minh rằng . 
 x x z
Câu 4: (5,0 điểm)
 Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE BE . Vẽ 
 đường tròn O1 đường kính AE và đường tròn O2 đường kính BE . Vẽ tiếp tuyến 
 chung ngoài MN của hai đường tròn với M là tiếp điểm thuộc O1 và N là tiếp 
 điểm thuộc O2 . 
 a) Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN . Chứng minh rằng đường 
 thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB .
 b) Với AB 18 cm và AE 6 cm, Vẽ đường tròn O đường kính AB . Đường thẳng 
 MN cắt đường tròn O tại C và D sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD . Tính 
 độ dài đoạn thẳng CD .
Câu 5: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A , có góc A nhỏ hơn 90 . Từ B kẻ BM vuông 
 2
 AM AB 
góc với AC tại M (điểm M thuộc AC ). Chứng minh 1 2 .
 MC BC 
 .HẾT . LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 TỈNH BẾN TRE NĂM HỌC 2018-2019
Câu 1: (7,0 điểm)
 a) Chứng minh rằng A n8 4n7 6n6 4n5 n4 chia hết cho 16 với mọi n là số 
 nguyên.
 2 2 2
 x 3 12x 2
 b) Cho biểu thức B x 2 8x . Rút gọn biểu thức B và tìm 
 x2
 các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên.
 c) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2y2 x x y 1 x2 2y2 xy . 
 Lời giải
 a) A n8 4n7 6n6 4n5 n4 n4. n4 4n3 6n2 4n 1 n(n 1)4 . 
 4 4
 Vì n n 1 là tích hai số nguyên liên tiếp nên n(n 1)M2 n n 1 M2 16 . 
 Do đó AM16 với mọi n thuộc ¢ . 
 2 2
 2 2 2 2
 x 3 12x 2 x 3 2 x 3
 b) B x 2 8x x 2 x 2 
 x2 x2 x
 Điều kiện xác định x 0 .
 x2 3 2x2 2x 3 3
 +) Xét x 0 : B x 2 2x 2 
 x x x
 x x 1
 Với x ¢ , B có giá trị nguyên khi ¢ x Ư(3), mà x < 0 nên 
 3 x 3
 x2 3 2x 3 3
 +) Xét 0 x 2 : B x 2 2 
 x x x
 3
 Với x ¢ , B có giá trị nguyên khi ¢ x Ư(3) mà 0 x 2 x 1 
 x
 x2 3 2x2 2x 3 3
 +) Xét x 2 : B x 2 2x 2 
 x x x
 3
 Với x ¢ , B có giá trị nguyên khi ¢ x Ư(3) mà x 2 nên x 3.
 x
 Kết luận 
 2x2 2x 3
 khi x 0
 x
 2x 3
 B khi 0 x 2 
 x
 2x2 2x 3
 khi x 2
 x
 Với x ¢ , B có giá trị nguyên khi và chỉ khi x 1; 3 . 
 c) 2y2 x x y 1 x2 2y2 xy x 1 x 2y2 y 1 x 1 1 x 2 x 2
 2 2 
 x 2y y 1 2y y 1 0 y 1
 x 1 1 x 0 x 0
 2 2 
 x 2y y 1 2y y 1 0 y 1
 Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên là 2;1 và 0;1 .
Câu 2: (3,0 điểm)
 Cho hàm số y 2 x2 6x 9 x 2 có đồ thị D .
 a) Vẽ đồ thị D của hàm số trên.
 b) Với giá trị nào của m thì phương trình 2 x2 6x 9 x 2 m vô nghiệm.
 c) Dựa vào đồ thị D , tìm tập nghiệm của bất phương trình: 2 x2 6x 9 x . 
 Lời giải
 2 x 8 , khi x 3
 a) y 2 x 6x 9 x 2 2 x 3 x 2 .
 3x 4, khi x 3
 b) Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị sau:
 D : y 2 x2 6x 9 x 2 (1)
 D ' : y m Trong đó, D ' là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox và cắt trục Oy tại 
 điểm có tung độ là m . 
 Phương trình (*) vô nghiệm khi và chỉ khi D và D ' không giao nhau.
 Dựa vào đồ thị , ta có:
 D và D ' không giao nhau m 5. 
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi m 5 .
 c) 2 x2 6x 9 x 2 x2 6x 9 x 2 2 1 
 Các nghiệm của bất phương trình trên là hoành độ của các điểm thuộc (D) mà có 
 tung độ y 2 .
 x 6
 Dựa vào đồ thị ta suy ra: 1 
 x 2
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là x ¡ x 6 x 2. 
Câu 3: (2,0 điểm)
 2
 2 y
 x xy 2017 (1)
 3
 2
 2 y
 Cho x, y, z là các số thực thỏa: z 1009 (2) (x 0, z 0, x z) 
 3
 x2 xz z2 1008 (3)
 2z y z
 Chứng minh rằng . 
 x x z
 Lời giải
 2
 2 y
 x xy 2017 (1)
 3
 2
 2 y
 z 1009 (2) (x 0, z 0, x z)
 3
 x2 xz z2 1008 (3)
 1 trừ 2 , vế theo vế, ta có: x2 xy z2 1008 (4) 
 3 trừ 4 , vế theo vế, ta có: 
 xz xy 2z2 0
 xz 2z2 xy
 2xz 2z2 xy xz
 2z(x z) x(y z) 
 2z y z
 x x z
 2z y z
 Vậy .
 x x z Câu 4: (5,0 điểm)
 Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE BE . Vẽ 
 đường tròn O1 đường kính AE và đường tròn O2 đường kính BE . Vẽ tiếp tuyến 
 chung ngoài MN của hai đường tròn với M là tiếp điểm thuộc O1 và N là tiếp 
 điểm thuộc O2 . 
 a) Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN . Chứng minh rằng đường 
 thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB .
 b) Với AB 18cm và AE 6cm , Vẽ đường tròn O đường kính AB . Đường thẳng 
 MN cắt đường tròn O tại C và D sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD . Tính 
 độ dài đoạn thẳng CD .
 Lời giải
 F
 D
 N
 K I
 M
 C
 A O1 E O O2 B
 Hình vẽ điểm N chưa chính 
 xáchình như kéo theo điểm F cũng chưa chính xác 
 a) MN là tiếp tuyến chung của O1 và O2 nên 
 · ·
 MN  O1M ;MN  O2 N O1M //O2 N MO1E NO2 E 180 
 · ·
 O1 AM cân tại O1 suy ra MO1E 2O1 AM 
 · ·
 O2 BN cân tại O2 nên NO2 E 2O2 BN 
 M·O E N·O E 2 O· AM O· BN · · 0 · 0
 1 2 1 2 O1 AM O2 BN 90 MFN 90 . 
 Mặt khác ·AME B·NE 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 E·MF E·NF 90 suy ra MENF là hình chữ nhật M· EF N·ME 
 · · · ·
 Mà O1EM O1ME ( O1ME cân tại O1) và NME O1ME 90 ( MN là tiếp 
 tuyến)
 · ·
 MEF O1EM 90 hay EF  AB tại E . b) Ta có AB 18 cm, AE 6 cm EB 12 cm, OF 9 cm. 
 AFB vuông tại F có đường cao EF nên EF 2 AE.EB 6.12 72 EF 6 2
 cm 
 MN EF 6 2 cm. 
 Gọi K, I lần lượt là giao điểm của EF,OF với MN .
 F
 D
 N
 K I
 M
 C
 A O1 E O O2 B
 Tứ giác MENF là hình chữ nhật nên có N·MF N·EF mà N·EF ·ABF (cùng phụ 
 góc BEM ) N·MF ·ABF (1) FNM ∽ FAB 
 Ta lại có OAF cân tại O suy ra O·AF O·FA 2 
 Và O·AF ·ABF 90 (3) 
 Từ 1 , 2 và 3 ta suy ra N·MF O·FA 90 M· IF 90. 
 FNM đồng dạng FAB và có FI, FE là hai đường cao tương ứng nên
 FI MN FI 6 2
 FI 4 cm 
 EF AB 6 2 18
 OI OF FI 9 4 5 cm. 
 OID vuông tại I nên ID2 OD2 OI 2 92 52 56 ID 2 14 cm. 
 Vì OF  CD tại I nên CD 2.ID 4 14 cm. 
Câu 5: (3,0 điểm)
 Cho tam giác ABC cân tại A , có góc A nhỏ hơn 900 . Từ B kẻ BM vuông góc với AC 
 2
 AM AB 
 tại M (điểm M thuộc AC ). Chứng minh 1 2 .
 MC BC 
 Lời giải A
 M
 B C
 ABC cân tại A nên AB AC .
Ta có 
 2 2 2
 AM AB AM MC AC AC AC 2
 1 2. 2. 2 2. 2 BC 2.AC.MC 
 MC BC MC BC MC BC
Như vây, ta chỉ cần chứng minh: BC 2 2AC.MC . 
Thật vậy, ta có
BC 2 BM 2 MC 2 AB2 AM 2 AC AM 2
 AC 2 AM 2 AC 2 2AC.AM AM 2 
 2AC 2 2.AC.AM 2AC.(AC AM ) 2.AC.MC
 ..HẾT