Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Tỉnh Bình Định (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BèNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016-2017
Bài 1 (6,0 điểm).
 2m 16m 6 m 2 3
 1. Cho biểu thức: P 2 
 m 2 m 3 m 1 m 3
 a) Rỳt gọn P .
 b) Tỡm giỏ trị tự nhiờn của m để P là số tự nhiờn.
 2. Cho biểu thức: P a b b c c a – abc với a, b, c là cỏc số nguyờn. Chứng minh rằng 
 nếu a b c chia hết cho 4 thỡ P chia hết cho 4.
Bài 2 (5,0 điểm).
 1 1 4
 a) Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luụn cú: 
 x y x y
 2
 b) Cho phương trỡnh: 2x 3mx 2 0 (m là tham số). Cú hai nghiệm x1 và x2 . Tỡm giỏ trị 
 2
 2 2
 2 1 x1 1 x2 
 nhỏ nhất của biểu thức: M x1 x2 
 x1 x2 
Bài 3 (2,0 điểm)
 Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng:
 1 1 1 1 1 1 1 
 2 2 2 
 x yz y xz z xy 2 xy yz zx 
Bài 4 (7,0 điểm).
 1. Cho tam giỏc đều ABC nội tiếp đường trũn tõm O bỏn kớnh R . M là một điểm di động trờn 
 cung nhỏ BC của đường trũn đú.
 a) Chứng minh MB MC MA.
 b) Gọi H, I, K lần lượt là chõn đường vuụng gúc hạ từ M xuống AB, BC, CA . Gọi S, S’ lần 
 lượt là diện tớch của tam giỏc ABC, MBC . Chứng minh rằng: Khi M di động ta luụn cú đẳng thức:
 2 3 S + 2S' 
 MH MI MK 
 3R
 2. Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn. AD, BE, CF là cỏc đường cao. Lấy M trờn đoạn FD , lấy 
 N trờn tia DE sao cho Mã AN = Bã AC . Chứng minh MA là tia phõn giỏc của gúc Nã MF . 
 ------------------Hết-----------------
 Họ và tờn học sinh: SBD: 
 (Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm, học sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh bỏ tỳi )
 LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG BèNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016-2017 Bài 1 (6,0 điểm).
 2m 16m 6 m 2 3
 1. Cho biểu thức: P 2 
 m 2 m 3 m 1 m 3
 a) Rỳt gọn P .
 b) Tỡm giỏ trị tự nhiờn của m để P là số tự nhiờn.
 2. Cho biểu thức: P a b b c c a – abc với a, b, c là cỏc số nguyờn. Chứng minh rằng 
 nếu a b c chia hết cho 4 thỡ P chia hết cho 4.
 Lời giải
 m 1
 1. a) Rỳt gọn được P (với m 0, m 1 )
 m 1
 m 1 2
 1b) P 1 
 m 1 m 1
 2
 Ta cú: P N N m 1 là ước dương của 2 m 4; 9 (TMĐK)
 m 1
 Vậy m 4; m 9 là giỏ trị cần tỡm.
 2. a b c 4 (a, b, c ) 
 Đặt a b c 4k (k Z) a b 4k – c; b c 4k – a; a c 4k – b 
 Ta cú: P a b b c c a – abc 4k – c 4k – a 4k – b – abc
 16k 2 4ak ack ac 4k b abc 
 64k 3 16bk 2 16ak 2 4abc 16ck 2 4bck 4ack abc abc
 4 16k 3 4bk 2 4ak 2 abk 4ck 2 bck ack 2abc (*)
 Giả sử a, b, c đều chia 2 dư 1 a b c chia 2 dư 1 (1)
 Mà: a b c 4 a b c 2 (theo giả thiết) (2)
 Do đú (1) và (2) mõu thuẫn Điều giả sử là sai 
 Trong ba số a, b, c ớt nhất cú một số chia hết cho 2
 2abc 4 (**)
 Từ (*) và (**) P 4 
Bài 2 (5,0 điểm).
 1 1 4
 a) Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luụn cú: 
 x y x y 2
 b) Cho phương trỡnh: 2x 3mx 2 0 (m là tham số). Cú hai nghiệm x1 và x2 . Tỡm giỏ trị 
 2
 2 2
 2 1 x1 1 x2 
 nhỏ nhất của biểu thức: M x1 x2 
 x1 x2 
 Lời giải
 1 1 4 a b 4 2 2
 a) a b 4ab a b 0 (đỳng)
 x y x y ab a b
 b) PT cú a, c trỏi dấu nờn luụn cú hai nghiệm phõn biệt x1 và x2
 2
 2 2
 3m 2 2 1 x1 1 x2 
 Ta cú: x1 x2 và x1.x2 M x1 x2 ...... 
 2 2 x1 x2 
 2 2
 2 1 x x 2 1 x x 
 x x 1 1 2 x x 4x x 1 1 2 
 1 2 2 1 2 1 2 2
 x1x2 x1x2 
 9 2 2
 9 m 8 2 8 8 2 8 
 2 
 Dấu “=” xảy ra khi m 0 
 Vậy GTNN của M là 8 2 8 khi m 0
Bài 3 (2,0 điểm)
 Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng:
 1 1 1 1 1 1 1 
 2 2 2 
 x yz y xz z xy 2 xy yz zx 
 Lời giải
 Áp dụng BĐT Cụsi cho cỏc số dương x2 và yz , ta cú:
 1 1 1 1
 x2 yz 2 x2 yz 2x yz . 
 x2 yz 2x yz 2 x yz
 1 1 1 1 1 1
 Tương tự, ta cú: . và .
 y2 xz 2 y xz z2 xy 2 z xy
 1 1 1 1 1 1 1 
 Suy ra: (1)
 2 2 2 
 x yz y xz z xy 2 x yz y xz z xy 
 1 1 1 yz xz xy
 Ta cú: (2)
 x yz y xz z xy xyz
 Ta cú: yz xz xy x y z (3) Thật vậy: (*) 2 yz 2 xz 2 xy 2x 2y 2z 
 2 2 2
 x y z x y x 0 (BĐT đỳng)
 Dấu “=” xảy ra khi x y z .
 1 1 1 x y z 1 1 1
 Từ (2) và (3) suy ra: (4)
 x yz y xz z xy xyz yz xz xy
 1 1 1 1 1 1 1 
 Từ (1) và (4) suy ra: 2 2 2 
 x yz y xz z xy 2 xy yz zx 
Bài 4 (7,0 điểm).
 1. Cho tam giỏc đều ABC nội tiếp đường trũn tõm O bỏn kớnh R . M là một điểm di động trờn 
 cung nhỏ BC của đường trũn đú.
 a) Chứng minh MB MC MA.
 b) Gọi H, I, K lần lượt là chõn đường vuụng gúc hạ từ M xuống AB, BC, CA . Gọi S, S’ lần 
 lượt là diện tớch của tam giỏc ABC, MBC . Chứng minh rằng: Khi M di động ta luụn cú đẳng thức:
 2 3 S + 2S' 
 MH MI MK 
 3R
 2. Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn. AD, BE, CF là cỏc đường cao. Lấy M trờn đoạn FD , lấy 
 N trờn tia DE sao cho Mã AN = Bã AC . Chứng minh MA là tia phõn giỏc của gúc Nã MF . 
 Lời giải
 1.a) Cỏch 1: Trờn tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME MB
 A A
 Ta cú: BEM là tam giỏc đều BE BM EM 
 BMA BEC MA EC 
 Do đú: MB MC MA O
 O
 Cỏch 2: E
 B C
 Trờn AM lấy điểm E sao cho ME MB B C
 Ta cú: BEM là tam giỏc đều M
 M
 E BE BM EM 
 A
 MBC EBA (c.g.c) MC AE
Do đú: MB MC MA.
1.b) Kẻ AN vuụng gúc với BC tại N
Vỡ ABC là tam giỏc đều nờn O là trọng tõm của tam giỏc O
 K
 3 I N
 A, O, N thẳng hàng AN R B
 2 C
 H
 ã
Ta cú: AN AB.sinABN M
 AN 3 3
 AB R : R 3 
 sin ãABN 2 2
 1 2S 2S
Ta cú: MH.AB S MH ABM ABM 
 2 ABM AB R 3
 1 2S 2S
 MK.AC S MK ACM ACM
 2 ACM AC R 3
 1 2S 2S 2S '
 MI.BC S MI BCM BCM 
 2 BCM BC R 3 R 3
 2S ' 2 2S ' 2
Do đú: MH MK MI S S .S
 R 3 R 3 ABM ACM R 3 R 3 ABMC
 2S ' 2 2 3 S 2S ' 
 . S S ' 
 R 3 R 3 3R
2. Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE tại K .
Tứ giỏc AEDB nội tiếp Cã DE Bã AC 
 A
Mà: Mã KD Cã DE (vỡ MK / /BC ).
Do đú: Mã KD Mã AN Tứ giỏc AMKN nội tiếp N
 F
 ãAMN ãAKN E
 H
 ả ả ã ả ả
Ta cú: D3 D4 ( BAC ) D1 D2
 DMK cú DA là phõn giỏc vừa là đường cao nờn cõn tại D M K
 1 2
 3
 DM DK 4
 B D C
 AMD AKD (c.g.c) ãAMD ãAKD
Nờn: ãAMF ãAKN . Ta cú: ãAMF ãAMN ãAKN Vậy: MA là phõn giỏc của gúc Nã MF .
 =====HẾT=====