Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Tỉnh Hà Tĩnh (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG HÀ TĨNH NĂM HỌC 2016-2017
I. PHẦN GHI KẾT QUẢ
Câu 1: Cĩ bao nhiêu hình chữ nhật trong hình vẽ sau: 
Câu 2: Tìm số hạng thứ 7 của dãy số sau đây: 1; 1; 2; 5; 29;..........
Câu 3: Cĩ 5 đơi giày màu xanh và 10 đơi giày màu đỏ bỏ chung trong cái hộp. Hỏi phải lấy ra ít 
 nhất bao nhiêu chiếc giày (mà khơng nhìn vào trong hộp) để chắc chắn cĩ một đơi cùng 
 màu và đi được.
 1
Câu 4: Cĩ một nhĩm bạn rủ nhau đi câu cá, bạn câu được ít nhất câu được tổng số cá câu được, 
 9
 1
 bạn câu được nhiều cá nhất câu được tổng số cá câu được. Biết rằng số cá câu được của 
 7
 mỗi bạn là khác nhau. Hỏi nhĩm bạn cĩ bao nhiêu người?.
Câu 5: Tìm các số hữu tỷ x, y thỏa mãn đẳng thức: x 2 y 2 2 3 .
Câu 6: Giải phương trình 3 x 2 3 x 4 3 2 .
 2(x 2x y) 3 y
Câu 7: Giải hệ phương trình .
 2 2
 x 2xy y 2
 4 x 2y y 2x 
Câu 8: Cho các số x, y 0 thỏa mãn x 1. Tìm giá trị lớn nhất của P .
 y x2 y2
Câu 9: Cho tam giác ABC cĩ M là trung điểm cạnh AC và các đường thẳng AD, BM ,CE đồng 
 quy tại K nằm trong tam giác ( D BC; E AB ). Biết AKE và BKE cĩ diện tích lần 
 lượt là 10 cm2 và 20 cm2 . Tính diện tích tam giác ABC .
Câu 10: Cho tam giác ABC vuơng tại A. Biết đường cao AH , trung tuyến BM và phân giác trong 
 AB
 CD đồng quy. Tính .
 AC
II. PHẦN II. TỰ LUẬN
 ab
Câu 11: Tìm số tự nhiên cĩ hai chữ số ab thỏa mãn a b .
 a b
Câu 12: Cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường trịn và cĩ các cạnh đối khơng song song. Gọi F 
 là giao điểm của AB và CD , E là giao điểm của AD và BC ; H,G theo thứ tự là trung 
 điểm của các đoạn thẳng AC và BD . Đường phân giác gĩc BED cắt GH tại điểm I .
 a) Chứng minh rằng IH.BD IG.AC . S
 b) Cho độ dài CD 2.AB . Tìm tỉ số diện tích IAB . 
 SICD
Câu 13: Cho hình trịn C cĩ bán kính bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương k sao 
 cho với mọi cách vẽ k điểm bất kỳ và phân biệt thuộc hình trịn C thì luơn tồn tại hai 
 điểm trong k điểm đĩ thỏa mãn khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1.
 .HẾT .
 Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Giám thị khơng giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . .Số báo danh: . LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HÀ TĨNH NĂM HỌC 2016-2017
Câu 14: Cĩ bao nhiêu hình chữ nhật trong hình vẽ sau: 
 Lời giải
 Số hình chữ nhật là 1 2 3 4 5 . 1 2 3 4 150 
 Cách tính: Xét các hình chữ nhật kích thước m.n 
Câu 1: Tìm số hạng thứ 7 của dãy số sau đây: 1; 1; 2; 5; 29;..........
 Lời giải
 2 2
 Quy luật an 2 an 1 an ( n 1;n ¥ ) 
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 Suy ra a7 a6 a5 a5 a4 a5 29 5 29 750797 
Câu 2: Cĩ 5 đơi giày màu xanh và 10 đơi giày màu đỏ bỏ chung trong cái hộp. Hỏi phải lấy ra ít 
 nhất bao nhiêu chiếc giày (mà khơng nhìn vào trong hộp) để chắc chắn cĩ một đơi cùng 
 màu và đi được.
 Lời giải
 Theo đề bài trong hộp cĩ 15 chiếc giày trái và 15 chiếc giày phải.
 Phải lấy ít nhất 15 1 16 chiếc giày để chắc chắn cĩ một đơi cùng màu và đi được.
 1
Câu 3: Cĩ một nhĩm bạn rủ nhau đi câu cá, bạn câu được ít nhất câu được tổng số cá câu được, 
 9
 1
 bạn câu được nhiều cá nhất câu được tổng số cá câu được. Biết rằng số cá câu được của 
 7
 mỗi bạn là khác nhau. Hỏi nhĩm bạn cĩ bao nhiêu người?.
 Lời giải
 Giả sử cĩ n bạn và số cá của các bạn là a1 a2 a3 ...... an 
 Ta cĩ 9an a1 a2 ...... an 7a1 9an nan ;7a1 na1 n 8 
Câu 4: Tìm các số hữu tỷ x, y thỏa mãn đẳng thức: x 2 y 2 2 3 .
 Lời giải
 2
 Ta cĩ 2 2 3 2. 2. 2 3 2. 4 2 3 2. 3 1 2 3 1 
 6 2
 1
 6 2
 2
 1
 Vì x, y ¡ nên x 6; y .
 2
Câu 5: Giải phương trình 3 x 2 3 x 4 3 2 . 
 Lời giải
 3 x 2 3 x 4 3 2 3 3
 3 x 2 3 x 4 3 2 
 x 2 x 4 33 x 2. 3 x 4 3 x 2 3 x 4 2
 2 33 2 x 2 x 4 2
 x 2 x 4 0
 x 2 0 x 2
 .
 x 4 0 x 4
 2(x 2x y) 3 y
Câu 6: Giải hệ phương trình . 
 2 2
 x 2xy y 2
 Lời giải
 Điều kiện : 2x y 0 
 2(x 2x y) 3 y 2x y 2 2x y 3 0
 Đặt 2x y t,t 0 ta cĩ phương trình t 2 2t 3 0 
 t 1 nhận 
 t 1 t 3 0 
 t 3 loại 
 2x y 1 2x y 1
 Với t 1 ta cĩ hệ phương trình 2 2 2
 x 2xy y 2 x y 2x y 2
 x 1
 2x y 1 
 2x y 1 2x y 1 y 1
 x 1 .
 2 2 
 x y 2 x 2x 3 0 x 3
 x 3 
 y 7
 Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm là x, y 1; 1 ; 3;7 .
 4 x 2y y 2x 
Câu 7: Cho các số x, y 0 thỏa mãn x 1. Tìm giá trị lớn nhất của P . 
 y x2 y2
 Lời giải
 4 x x 1
 1 x 4 
 y y y 16
 2 2
 x 2y y 2x 2 x y 5xy 5
 P 2 
 2 2 2 2 x y
 x y x y 
 y x
 x y x y 255y 1 255 257
 Mà 2. 
 y x y 256x 256x 16 16 16
 5.16 594
 Suy ra P 2 
 257 257
 594 1
 Vậy giá trị lớn nhất của P khi x ; y 8 . 
 257 2 Câu 8: Cho tam giác ABC cĩ M là trung điểm cạnh AC và các đường thẳng AD, BM ,CE đồng 
 quy tại K nằm trong tam giác ( D BC; E AB ). Biết AKE và BKE cĩ diện tích lần 
 lượt là 10 cm2 và 20 cm2. Tính diện tích tam giác ABC .
 Lời giải
 A
 E 10
 M
 20
 K
 C
 B D
 S AE 10 1
 Ta cĩ AKE và BKE là hai tam giác cĩ chung đường cao nên AKE 
 SBKE BE 20 2
 BE 2AE SCBE 2SCEA 
 M là trung điểm của AC nên SABM SCBM , SAKM SCKM SBCK 30 
 Mà SCBE 2SCEA SBCK SBKE 2 SAKE 2SAKM 50 2 10 2SAKM 2SAKM 15
 SACE 25
 2
 Do đĩ SABC SBCE SACE 50 25 75 cm .
Câu 9: Cho tam giác ABC vuơng tại A. Biết đường cao AH , trung tuyến BM và phân giác trong 
 AB
 CD đồng quy. Tính .
 AC
 Lời giải
 A
 F E
 D
 M
 I
 C
 B H
 Gọi I là giao điềm của đường cao AH , trung tuyến BM và phân giác trong CD .
 Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BM tại E , cắt CD tại F 
 AE IA
 IBH cĩ AE // BH , nên (hệ quả của định lý Talet)
 BH IH
 FA IA
 IHC cĩ AF // CH , nên (hệ quả của định lý Talet)
 HC IH
 AE FA BH AE
 Suy ra 
 BH HC HC FA
 AD FA
 BDC cĩ BC // FA , nên (hệ quả của định lý Talet)
 BD BC CM BC
 BMC cĩ BC // EA , nên (hệ quả của định lý Talet)
 MA AE
 BH AD CM AE FA BC
 Do đĩ . . . . 1 hay BH.AD.CM HC.BD.MA 
 HC BD MA FA BC AE
 BH BD
 Mà MA MC nên suy ra BH.AD HC.BD hay (1)
 HC AD
 BD BC
 mặt khác, CD là phân giác của ABC nên (2)
 AD AC
 AB2 BH.BC BH
 ABC vuơng tại A , AH là đường cao cĩ (3)
 AC 2 HC.BC HC
 AB2 BC
 Từ (1), (2), (3) ta cĩ suy ra AB2 BC.AC
 AC 2 AC
 BC 2 AC 2 BC.AC (vì AB2 AC 2 BC 2 )
 Đặt BC t.AC (với 0 t 1 ) ta cĩ t.AC 2 AC 2 t.AC.AC 
 1 5
 t nhận 
 2 2
 t t 1 0 
 1 5
 t loại 
 2
 1 5
 Suy ra BC AC
 2
 1 5 1 5
 Khi đĩ AB2 BC.AC AC.AC AC 2. 
 2 2
 AB2 1 5 AB 1 5
 .
 AC 2 2 AC 2
 ab
Câu 10: Tìm số tự nhiên cĩ hai chữ số ab thỏa mãn a b .
 a b
 Lời giải
 ab 3 3 2
 Ta cĩ với a,b ¥ * thì a b a b ab a b ab nên a b là số 
 a b 
 chính phương.
 Vì 1 a b 18 nên a b 1;4;9;16 
 Với a b 1 ta cĩ ab 1 (loại)
 Với a b 4 ta cĩ ab 8 (loại)
 Với a b 9 ta cĩ ab 27 
 Với a b 16 ta cĩ ab 64 (loại)
 Vậy số tự nhiên cần tìm là 27 
Câu 11: Cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường trịn và cĩ các cạnh đối khơng song song. Gọi F 
 là giao điểm của AB và CD , E là giao điểm của AD và BC ; H,G theo thứ tự là trung 
 điểm của các đoạn thẳng AC và BD . Đường phân giác gĩc BED cắt GH tại điểm I
 a) Chứng minh rằng IH.BD IG.AC . S
 b) Cho độ dài CD 2.AB . Tìm tỉ số diện tích IAB . 
 SICD
 Lời giải
 E
 A
 B
 G H
 I
 O
 D C F
 a) Ta cĩ EBD ∽ EAC (g.g) nên tỉ số giữa các đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số 
 đồng dạng . 
 EG BD DG DE
 EH AC CH EC
 Ta cĩ E· DG E· CH (cùng nhìn cung AB)
 EDG ∽ ECH (c.g.c) 
 D· EG C· EH
 EI là phân giác của G· EH 
 BD EG GI
 Do đĩ IH.BD IG.AC 
 AC EH HI
 b) Ta cĩ FBD ∽ FCA (g.g)
 FGD ∽ FHA (c.g.c)
 G· FD H· FA
 FG GD BD IG
 FH HA AC IH
 FI là phân giác của G· FH 
 FI là phân giác của ·AFD 
 Gọi M , N là chân đường vuơng gĩc hạ từ I lên các đường thẳng AB,CD .
 Khi đĩ IM IN 
 1 1
 IM.AB IM.AB
 S 1
 Ta cĩ IAB 2 2 .
 S 1 1 2
 ICD IN.CD IN.2AB
 2 2
Câu 12: Cho hình trịn C cĩ bán kính bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương k sao 
 cho với mọi cách vẽ k điểm bất kỳ và phân biệt thuộc hình trịn C thì luơn tồn tại hai 
 điểm trong k điểm đĩ thỏa mãn khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. Lời giải
 A
 O B
Xét k 7 , vẽ 7 điểm gồm 1 điểm ở tâm và 6 điểm trên cùng đường trịn tạo thành lục 
giác đều. Lúc đĩ khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ bằng 1. Suy ra k 8 
Với k 8 , luơn tồn tại ít nhất 7 điểm khơng trùng tâm đường trịn. Ta kẻ các bán kính đi 
qua 7 điểm đĩ.
Khả năng 1: Nếu cĩ 2 điểm thuộc cùng 1 bán kính thì khoảng cách giữa hai điểm đĩ 
nhỏ hơn 1 (vì khơng cĩ điểm nào trùng tâm)
Khả năng 2 : Khơng cĩ 2 điểm nào cùng thuộc một bán kính, lúc đĩ cĩ 7 bán kính, suy 
ra hai bán kính tạo với nhau một gĩc nhỏ hơn 60 .
Giả sử hai bán kính đĩ chứa A và B. Vì gĩc ·AOB khơng là gĩc lớn nhất của OAB nên 
 AB max OA;OB 1 
Vậy trường hợp k 8 thỏa mãn
Suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 8 .