Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Tỉnh An Giang (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH AN GIANG 
 NĂM HỌC 2017-2018
 Câu 1: (4,0 điểm)
 1 1 2x x 1 2x x x x 
 a) (2,0 điểm) Cho biểu thức P : với
 1 x x 1 x 1 x x 
 1
 x 0, x 1, x 
 4
 4
 Tính giá trị của P tại x 3 5 3 5
 10 
 b) (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a2 b2 c2 12 . Tìm giá trị lớn nhất của 
 biểu thức S 4 a3 b3 c3 a4 b4 c4 
 Câu 2: (5,0 điểm)
 x2 4x x 4 
 a) (3,0 điểm ) Giải phương trình : x 5 
 x 1 x 1 
 x2 y2 xy 1
 b) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình : 
 3 3
 x y x 3y
 Câu 3: (5,0 điểm)
 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O; R , M là điểm chính giữa của cung BC 
 không chứa điểm A . Vẽ đường tròn I đi qua M và tiếp xúc với AB tại B , vẽ đường 
 tròn K đi qua M và tiếp xúc với AC tại C . Gọi N là giao điểm thứ hai của đường 
 tròn I và K 
 a) ( 3,0 điểm ) Chứng minh rằng ba điểm B, N, C thẳng hàng 
 b) (2,0 điểm ) Lấy D là điểm bất kỳ thuộc cạnh AB ( D khác A và B ) điểm E thuộc tia 
 đối của tia CA sao cho BD CE . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 ADE luôn đi qua một điểm cố định khác A
 Câu 4: ( 3,0 điểm ) Cho nửa đường tròn O; R đường kính AB . Gọi M là điểm nằm trên 
 nửa đường tròn khác A và B . Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MAB có chu vi 
 lớn nhất 
 Câu 5: ( 3,0 điểm ) Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa phương trình 
 2x2 y2 xy 2 x y 
 .HẾT .
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . .Số báo danh: . LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH AN GIANG NĂM HỌC 
 2017-2018
Câu 1: (4,0 điểm)
 a) (2,0 điểm ) Cho biểu thức 
 1 1 2x x 1 2x x x x 
 P : với
 1 x x 1 x 1 x x 
 1
 x 0, x 1, x 
 4
 4
 Tính giá trị của P tại x 3 5 3 5
 10 
 b) (2,0 điểm ) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a2 b2 c2 12 . Tìm 
 giá trị lớn nhất của biểu thức S 4 a3 b3 c3 a4 b4 c4 
 Lời giải
 1 1 2x x 1 2x x x x 
 a) Ta có P : 
 1 x x 1 x 1 x x 
 x 1 x x 1 2 x 1 x x 1 2 x 1 
 P : 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x 1 
 2 x 1 1 x 
 : 2 x 1 
 x 1 x 1 x x x 1 
 2 x 1 2 x 1
 : 
 x 1 x 1 x x x 1 
 x x 1
 x
 Lại có :
 4
 x 3 5 3 5
 10 
 5 1 5 1 4
 . 4
 2 10
 4 4 1 3
 Vậy P 
 4 2
 b) Ta có 
 S 4 a3 b3 c3 a4 b4 c4 
 4a3 a4 4b3 b4 4c3 c4 
 Ta chứng minh : 4a3 a4 4a2 thật vậy 4a3 a4 4a2
 a4 4a3 4a2 0
 a2 a 2 2 0
 Tương tự 
 4b3 b4 4b2
 4c3 c4 4c2
 Vậy ta có :
 S 4 a3 b3 c3 a4 b4 c4 
 4a3 a4 4b3 b4 4c3 c4 
 4 a2 b2 c2 48
 Vậy giá trị lớn nhất bằng 48 xảy ra khi a,b,c 2,2,2 
Câu 2: (5,0 điểm)
 x2 4x x 4 
a) (3,0 điểm ) Giải phương trình : x 5 
 x 1 x 1 
 x2 y2 xy 1
b) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình : 
 3 3
 x y x 3y
 Lời giải
a) Điều kiện xác định x 1
 x x 4 x 4 x 4
 Đặt y suy ra x x 4 4 y 4
 x 1 x 1 x 1
 Phương trình trở thành :
 y y 4 5
 y 1
 y 5
 5 21
 x1 
 2
• Với y 1 
 5 21
 x2 
 2
 1 21
 x1 
 2
• Với y 5 
 1 21
 x2 
 2
b) Ta có x3 y3 x 3y .1
 x3 y3 x 3y x2 y2 xy 
 2y3 4xy2 4x2 y 0
 2y y2 2xy 2x2 0
 2y 0
 2 2 2
 y 2xy x x 0
• Với y 0 x 1 suy ra hệ có nghiệm 1;0 
• Với 
 x y 2 x2 0
 x 0 thay vào không thỏa phương trình (1) 
 y 0
 Vậy hệ có hai nghiệm 1;0 ; 1;0 
Câu 3: (5,0 điểm)
 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O; R , M là điểm chính giữa của cung BC 
 không chứa điểm A . Vẽ đường tròn I đi qua M và tiếp xúc với AB tại B , vẽ đường 
 tròn K đi qua M và tiếp xúc với AC tại C . Gọi N là giao điểm thứ hai của đường 
 tròn I và K 
a) ( 3,0 điểm ) Chứng minh rằng ba điểm B , N ,C thẳng hàng 
b) (2,0 điểm ) Lấy D là điểm bất kỳ thuộc cạnh AB ( D khác A và B ) điểm E thuộc tia 
 đối của tia CA sao cho BD CE . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 ADE luôn đi qua một điểm cố định khác A
 Lời giải
 A
 D
 O
 N
 B C
 I
 K
 M E
 x
 a) Xét (I) : B· NM M· Bx cùng chắn cung BM 
 Xét (K) : M· NC M· CE cùng chắn cung MC 
 Do tứ giác ABMC nội tiếp (gt) 
 Suy ra: ·ABM ·ACM 1800
 Mà : M· Bx M· CE 1800 
 Nên : B· NM C· NM 1800 suy ra B, N ,C thẳng hàng 
b) Xét BDM và CEM có 
 BD CE(gt)
 D· BM E· CM (ABMC nt) BDM CEM c.g.c 
 BM MC gt 
 B· DM C· EM tứ giác ADME nội tiếp 
 Do M cố định nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi qua điểm cố định là M
Câu 4: (3,0 điểm)
 Cho nửa đường tròn O; R đường kính AB . Gọi M là điểm nằm trên nửa đường tròn khác 
 A và B . Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MAB có chu vi lớn nhất 
 Lời giải
 M
 A H O B
 Ta có : ·AMB 900 Suy ra tam giác AMB vuông tại M
 MA2 MB2 AB2 4R2 (1)
 Chu vi tam giác MAB : MA MB AB MA MB 2R
 Chu vi lớn nhất khi : MA MB lớn nhất 
 Lại có 
 MA MB 2 MA2 2MA.MB MB2
 4R2 2.MA.MB
 MA MB lớn nhất MA MB 2 lớn nhất MA.MB lớn nhất 
 Gọi H là chân đường cao hạ từ M đến AB khi đó 
 MA.MB MH.AB MH.2R do đó MA.MB lớn nhất khi MH lớn nhất 
 MH R H  O M là điểm chính giữa của cung AB
Câu 5: (3,0 điểm)
 Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa phương trình 2x2 y2 xy 2 x y 
 Lời giải Phương trình đã cho tương đương với :
 2x2 y 2 x y2 2y 0 (1)
 Xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn x
 y 2 2 8 y2 2y 7y2 12y 4 y 2 7y 2 
 2
 Để (1) có nghiệm thì 0 y 2 do y Z y 0,1,2
 7
 2 x 0
• Với y 0 2x 2x 
 x 1
 1
 x (loai)
• Với y 1 2x2 x 1 0 2
 x 1
• Với y 2 2x2 0 x 0
 Vậy tập nghiệm của phương trình là 0;2 ; 1;1 ; 1;0 ; 0;0