Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Tỉnh Đắk Lắk (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG DAKLAK
 NĂM HỌC 2017-2018
Cõu 1: (4 điểm)
 x 3 2 x 4 x 4 2017
 1) Rỳt gọn biểu thức P . Tỡm x sao cho P .
 x 3 x 2 2018
 2) Giải phương trỡnh x2 4x x2 4 20.
Cõu 2: (4 điểm)
 1) Cho phương trỡnh x2 2 2m 3 x m2 0 , với m là tham số. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị 
 của m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1 , x2 khỏc 0 , (chỳng cú thể trựng nhau) và biểu 
 1 1
 thức đạt giỏ trị nhỏ nhất.
 x1 x2
 2
 2) Cho parabol P : y ax . Tỡm điều kiện của a để trờn P cú A x0 ; y0 với hoành 
 2
 độ dương thỏa món điều kiện x0 1 y0 4 x0 y0 3 .
Cõu 3: (4 điểm)
 1) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn dương x; y thỏa món: x2 y2 4x 2y 18 .
 2) Tỡm tất cả cỏc cặp số a;b nguyờn dương thỏa món hai điều kiện:
 a) a,b đều khỏc 1 và ước số chung lớn nhất của a,b là 1.
 b) Số N ab ab 1 2ab 1 cú đỳng 16 ước số nguyờn dương.
Cõu 4: (4 điểm) 
 Cho ABC nhọn. Đường trũn đường kớnh BC cắt cạnh AB và AC lõn lượt tại D và E 
 ( D B, E C ). BE cắt CD tại H . Kộo dài AH cắt BC tại F . 
 1) Chứng minh cỏc tứ giỏc ADHE và BDHF là tứ giỏc nội tiếp.
 2) Cỏc đoạn thẳng BH và DF cắt nhau tại M , CH và EF cắt nhau tại N . Biết rằng tứ 
 giỏc HMFN là tứ giỏc nội tiếp. Tớnh số đo Bã AC .
Cõu 5: ( 2 điểm)
 Với x, y là hai số thực thỏa món y3 3y2 5y 3 11 9 x2 9x4 x6 . Tỡm giỏ trị 
 lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức T x y 2018. 
Cõu 6: (2 điểm)
 Cho tam giỏc đều ABC . Một điểm M nằm trong tam giỏc nhỡn đoạn thẳng BC dưới một 
 gúc bằng 1500 . Chứng minh MA2 2MB.MC .
 --HẾT-- LỜI GIẢI 
 ĐỀ THI CHỌN HSG DAKLAK - NĂM HỌC 2017-2018
Cõu 1: (4 điểm)
 x 3 2 x 4 x 4 2017
 1) Rỳt gọn biểu thức P . Tỡm x sao cho P .
 x 3 x 2 2018
 2) Giải phương trỡnh x2 4x x2 4 20.
 Lời giải
 1) Ta cú:
 2
 x 3 2 x 4 x 4 x 3 2 x 2 x 3 2 x 2 
 P 
 x 3 x 2 x 3 x 2 x 1 x 2 
 2
 x 2 x 1 x 1 x 1
 .
 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2
 2017 x 1 2017
 Mặt khỏc P x 2016 x 20162 .
 2018 x 2 2018
 2) Ta cú:
 x2 4x x2 4 20 x x 4 x 2 x 2 20 x2 2x x2 2x 8 20
 2
 x2 2x 4 4 x2 2x 4 4 20 x2 2x 4 16 20 .
 2
 2 x 2x 4 6
 x2 2x 4 36 .
 2
 x 2x 4 6
 Ta thấy phương trỡnh x2 2x 4 6 vụ nghiệm.
 x 1 11
 Mặt khỏc, x2 2x 4 6 x2 2x 10 0 .
 x 1 11
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x 1 11 và x 1 11 .
Cõu 2: (4 điểm)
 1) Cho phương trỡnh x2 2 2m 3 x m2 0 , với m là tham số. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị 
 của m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1 , x2 khỏc 0 , (chỳng cú thể trựng nhau) và biểu 
 1 1
 thức đạt giỏ trị nhỏ nhất.
 x1 x2
 2
 2) Cho parabol P : y ax . Tỡm điều kiện của a để trờn P cú A x0 ; y0 với hoành 
 2
 độ dương thỏa món điều kiện x0 1 y0 4 x0 y0 3 .
 Lời giải 1)Phương trỡnh x2 2 2m 3 x m2 0 cú hai nghiệm khỏc 0 khi 
 2 2 m 1
 2m 3 m 0 m 3 m 1 0 
 m 3 .
 2 
 m 0 m 0 
 m 0
 x1 x2 2 2m 3 
 Mặt khỏc, theo hệ thức Vi-ột, ta cú .
 2
 x1x2 m
 2 2
 1 1 x1 x2 2 2m 3 12m 18 2m 2m 12m 18
 Lại cú 2 2 2
 x1 x2 x1x2 m 3m 3m
 2
 2 2 m 3 2
 .
 3 3m2 3
 Dấu bằng sảy ra khi m 3 .
 2) Ta cú
 2 2
 x0 1 y0 4 x0 y0 3 x0 1 x0 y0 4 y0 3 . 
 1 1
 .
 2 y 4 y 3
 x0 1 x0 0 0 
 x2 1 y 4 x y 3
 0 0 0 0 2 2
 Vậy nờn x0 1 y0 4 x0 1 y0 4
 2
 x0 1 y0 4 x0 y0 3
 3
 1 a x2 3 x2 0 1 a 0 a 1.
 0 0 1 a
Cõu 3: (4 điểm)
 1) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn dương x; y thỏa món: x2 y2 4x 2y 18 .
 2) Tỡm tất cả cỏc cặp số a;b nguyờn dương thỏa món hai điều kiện:
 a) a,b đều khỏc 1 và ước số chung lớn nhất của a,b là 1.
 b) Số N ab ab 1 2ab 1 cú đỳng 16 ước số nguyờn dương.
 Lời giải
 1.Ta cú x2 y2 4x 2y 18 x2 4x 4 y2 2y 1 21
 x 2 2 y 1 2 21 x y 1 x y 3 21.
 Do đú sảy ra cỏc trường hợp sau:
 x y 1 1 x 9
 +) .
 x y 3 21 y 9
 x y 1 3 x 2
 +) .
 x y 3 7 y 2 2. Ta cú: N ab ab 1 2ab 1 chia hết cho cỏc số: 1; a ;b ab 1 2ab 1 ; b ; ab ; 
 a ab 1 2ab 1 ; ab 1; ab 2ab 1 ; 2ab 1; ab ab 1 ; N ; ab 1 2ab 1 ;
 b ab 1 ; a 2ab 1 ; a ab 1 ; b 2ab 1 cú 16 ước dương. Nờn để N chỉ cú đỳng 
 16 ước dương thỡ a; b; ab 1; 2ab 1 là số nguyờn tố Do a, b 1 ab 1 2 
 Nếu a;b cựng lẻ thỡ ab 1 chia hết cho 2 nờn là hợp số (vụ lý). Do đú khụng mất tớnh tổng 
 quỏt, giả sử a chẵn b lẻ a 2 .
 Ta cũng cú nếu b khụng chia hết cho 3 thỡ 2ab 1 4b 1 và ab 1 2b 1 chia hết cho 
 3 là hợp số (vụ lý) b 3. 
 Vậy a 2; b 3.
Cõu 4: (4 điểm) 
 Cho ABC nhọn. Đường trũn đường kớnh BC cắt cạnh AB và AC lõn lượt tại D và E 
 ( D B, E C ). BE cắt CD tại H . Kộo dài AH cắt BC tại F . 
 1) Chứng minh cỏc tứ giỏc ADHE và BDHF là tứ giỏc nội tiếp.
 2) Cỏc đoạn thẳng BH và DF cắt nhau tại M , CH và EF cắt nhau tại N . Biết rằng tứ 
 giỏc HMFN là tứ giỏc nội tiếp. Tớnh số đo Bã AC .
 Lời giải
 1) Chứng minh tứ giỏc ADHE và BDHF là tứ giỏc nội tiếp. (Đơn giản).
 2) Ta cú:
 Bã AC Dã HE Mã FN Bã HC 180o (tứ giỏc ADHE; HMFN nội tiếp). 
 ã ã ã ã à à à à à à à à
 Mà DHE BHC (đối đỉnh) suy ra BAC MFN F1 F2 . Lại cú F1 B1; F2 C1; B1 C1 
 à à à ả
 (tứ giỏc BDHF , CEHF , BCED nội tiếp) F1 F2 B1 B2. 
 ã à o ã ã o ã o
 Do đú BAC 2B1 2 90 BAC 3BAC 180 BAC 60 Cõu 5: ( 2 điểm)
 Với x, y là hai số thực thỏa món y3 3y2 5y 3 11 9 x2 9x4 x6 . Tỡm giỏ trị 
 lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức T x y 2018. 
 Lời giải
 Điều kiện 3 x 3 .
 Khi đú y3 3y2 5y 3 11 9 x2 9x4 x6 
 3
 y 1 3 2 y 1 9 x2 2 9 x2
 a3 2a b3 2b, a y 1;b 9 x2 
 a3 b3 2 a b 0 a b a2 ab b2 2 0 
 2
 2 2 1 3 2
 Do a ab b 2 a b b 2 0 .
 2 4
 Suy ra 
 a b 0 y 1 9 x2 0 y 9 x2 1
 x y x 9 x2 1 4 3 x 9 x2 4
 3 x 0
 x 3 y 1.
 Đẳng thức xảy ra khi 2 
 9 x 0
 Vậy giỏ trị lớn nhất của T là 2022 tại x 3; y 1. 
 Ta lại cú 
 x y 1 3 2 x 9 x2 1 1 3 2 x 3 2 9 x2 x2 6 2x 18 9 x2 
 2
 2x2 6 2x 9 0 2x 3 0 (Đỳng).
 Suy ra T x y 2018 1 3 2 2018 2019 3 2 
 3 2
 Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi 2x 3 0 x (thỏa món). 
 2
 3 2 3 2 2
 Suy ra y 1 3 2 .
 2 2
 3 2 3 2 2
 Vậy GTNN của T là 2019 3 2 tại x ; y . 
 2 2
Cõu 6: (2 điểm)
 Cho tam giỏc đều ABC . Một điểm M nằm trong tam giỏc nhỡn đoạn thẳng BC dưới một 
 gúc bằng 150o . Chứng minh MA2 2MB.MC .
 Lời giải Trờn nửa mặt phẳng bờ AB khụng chưa điểm M , lấy điểm E sao cho AME đều; 
Trờn nửa mặt phẳng bờ BC khụng chưa điểm M , lấy điểm F sao cho CMF đều. 
-Ta cú 
Mã AE Bã AC 600 Mã AB Bã AE Mã AB Cã AM Bã AE Cã AM BAE CAM (cgc)
. Suy ra BE CM ; ãABE ãACM .
-Tương tự Mã CF ãACB 600 Mã CB Bã CF Mã CB ãACM Bã CF ãACM . 
-Ta cú BE CM ;CM CF BE CF; ãABE ãACM ; ãACM Bã CF ãABE Bã CF . 
Suy ra BAE CBF c g c AE BF. Mà AE AM BF AM. 
-Mặt khỏc Bã MF Bã MC Cã MF 150o 60o 90o . ( CMF đều, nờn MF MC )
-Xột BMF : Bã MF 900 BF 2 MB2 MF 2 MA2 MB2 MC 2 2MB.MC (
 CMF đều MF MC ). 
 --HẾT--