Đề thi môn Toán Lớp 9 - Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh - Năm học 2017-2018 - Nguyễn Dương Hải (có đáp án)

 GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Nguyy ễễ n Chíí Thanh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 1 
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO 
ĐĂK LĂK 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH 
NĂM HỌC 2017 – 2018 
MÔN THI: TOÁN 9 – THCS 
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 04/4/2018 
Bài 1: (4 điểm) 
1) Thu gọn biểu thức 3 2 4 4
3 2
x x x
P
x x
. Tìm x sao cho 2017
2018
 P 
2) Giải phương trình 2 24 4 20 x x x 
Bài 2: (4 điểm) 
1) Cho phương trình 2 22 2 3 0 x m x m , với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m 
để phương trình có hai nghiệm khác 0 1 2,x x (chúng có thể trùng nhau) và biểu thức 
1 2
1 1
x x
đạt giá trị nhỏ nhất. 
2) Cho parabol 2: P y ax . Tìm điều kiện của a để trên P có điểm 0 0;A x y với hoành 
độ dương thỏa mãn điều kiện 20 0 0 01 4 3 x y x y 
Bài 3: (4 điểm) 
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ;x y thỏa mãn: 2 2 4 2 18 x y x y 
2) Tìm tất cả các cặp số ;a b nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: 
 i) ,a b đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của ,a b là 1. 
 ii) Số 1 2 1 N ab ab ab có đúng 16 ước số nguyên dương. 
Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB và AC 
lần lượt tại D và E (D B, E C). BE cắt CD tại H. Kéo dài AH cắt BC tại F. 
 1) Chứng minh các tứ giác ADHE và BDHF là tứ giác nội tiếp. 
 2) Các đoạn thẳng BH và DF cắt nhau tại M, CH và EF cắt nhau tại N. Biết rằng tứ 
giác HMFN là tứ giác nội tiếp. Tính số đo BAC . 
Bài 5: (2 điểm) Với ,x y là hai số thực thỏa mãn 3 2 2 4 63 5 3 11 9 9 y y y x x x . Tìm 
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2018 T x y . 
Bài 6: (2 điểm) Cho tam giác đều ABC. Một điểm M nằm trong tam giác nhìn đoạn thẳng 
BC dưới một góc bằng 0150 . Chứng minh 2 2 . MA MB MC 
-------------------- Hết -------------------- 
 GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Nguyy ễễ n Chíí Thanh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 2 
BÀI GIẢI 
Bài 1: (4 điểm) 
1) ĐK: 0 x . 
2 2
3 2 2 13 2 4 4 2 1 1
3 2 21 2 1 2 1 2
x x xx x x x x x
P
x x xx x x x x x
22017 1 2017 2016 2016
2018 20182
x
P x x
x
 (TMĐK) 
2) 2 2 2 24 4 20 4 2 2 20 2 2 8 20 x x x x x x x x x x x 
2
22 2 2
2
2 4 6
2 4 4 2 4 4 20 2 4 36
2 4 6
x x
x x x x x x
x x
2
2
2 2 0 1
2 10 0 2
x x
x x
Giải 1 : Phương trình vô nghiệm 
Giải 2 : 1 21 11; 1 11 x x 
Bài 2: (4 điểm) 
1) PT có 2 nghiệm khác 0 
2 2
2
1 1
3 1 02 3 0
*3 0
00
0 3
m m
m mm m
m m
mm
m m
Theo Vi ét: 1 2
2
1 2
2 2 3 
x x m
x x m
. 
Khi đó 
22 2
1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 12 182 2 3 2 31 1 12 18 2 2
3 3 3 3 3
m m mm mx x m
x x x x m m m m
Đẳng thức xảy ra 3 m (TMĐK (*)) 
Vậy 3 m ; Min 
1 2
1 1 2
3
 x x
2) 
2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 2
0 00 0
1 1
1 4 3 1 4 3
4 31
x y x y x x y y
y yx x
2
0 0 0 01 4 3 x x y y . Do đó 
2
0 0 0 0
2
0 0 0 0
1 4 3
1 4 3
x x y y
x x y y
 2 2 2 20 0 0 0 0 0
3
1 4 1 4 1 3 0 1
1
x y x y a x x a
a
 (vì 0 0 x ) 
Bài 3: (4 điểm) 
1) 2 2 2 24 2 18 4 4 2 1 21 1 3 21 x y x y x x y y x y x y 
Do ,x y nguyên dương nên ta có các trường hợp sau 
+) 
1 1 0 9
3 21 18 9
x y x y x
x y x y y
; +) 
1 3 2 2
3 7 4 2
x y x y x
x y x y y
 GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Nguyy ễễ n Chíí Thanh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 3 
2) Ta có: 1 2 1 N ab ab ab chia hết cho các số: 1; a; b(ab + 1)(2ab + 1); b; a(ab + 
1)(2ab + 1); ab + 1; ab(2ab + 1); 2ab + 1; ab(ab + 1); N ; ab; (ab + 1)(2ab + 1); b(ab + 1); 
a(2ab + 1); a(ab + 1); b(2ab + 1) có 16 ước dương 
Nên để N chỉ có đúng 16 ước dương thì a; b; ab +1; 2ab + 1 là số nguyên tố 
Do a, b > 1 ab +1 > 2 
+) Nếu a; b cùng lẻ thì ab + 1 chia hết cho 2 nên là hợp số (vô lý). Do đó không mất tính 
tổng quát, giả sử a chẵn b lẻ a = 2 
+) Ta cũng có nếu b không chia hết cho 3 thì 2ab + 1= 4b + 1 và ab + 1 = 2b + 1 chia hết 
cho 3 là hợp số (vô lý) b = 3. 
Vậy a = 2; b = 3 
Bài 4: (4 điểm) 
1) Chứng minh các tứ giác ADHE và BDHF là tứ giác 
nội tiếp. (Tự xử) 
2) Các đoạn thẳng BH và DF cắt nhau tại M, CH và EF 
cắt nhau tại N. Biết rằng tứ giác HMFN là tứ giác nội 
tiếp. Tính số đo BAC . 
 0BAC DHE MFN BHC 180 (tứ giác ADHE; 
HMFN nội tiếp) 
mà DHE BHC (đối đỉnh)  1 2BAC MFN F F 
lại có      1 1 2 1 1 1F B ; F C ; B C (tứ giác BDHF; CEHF; 
BCED nội tiếp)    1 2 1 1F F B C 
do đó   1 2 1BAC F F 2B , mặt khác  01B 90 BAC ( 0ABE, AEB 90 ) 
  0 0 01BAC 2B 2 90 BAC 3BAC 180 BAC 60 
Bài 5: (2 điểm) 
ĐK: 3 x 3 
3 2 2 4 6
3
3 2 2
3 3 2
3 3 2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
y 3y 5y 3 11 9 x 9x x
y 1 2 y 1 9 x 2 9 x
a 2a b 2b a y 1; b 9 x
a b 2 a b 0 a b a ab b 2 0
1 3
do a ab b 2 a b b 2 0
2 4
a b 0 y 1 9 x 0 y 9 x 1
x y x 9 x 1 4 3 x 9 x 4
T x y 2018 4
 2018 2022 
Vì 3 x 3 nên 2 23 x 0; 9 x 0 3 x 9 x 0 
11 21
NM
F
H
E
D
B C
A
 GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Nguyy ễễ n Chíí Thanh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 4 
Đẳng thức xảy ra 2
3 x 0
x 3 y 1
9 x 0
Vậy Max(T) = 2022 x = 3; y = 1 
Mặt khác, ta chứng minh 
2 2 2 21 3 2 9 1 1 3 2 3 2 9 6 2 18 9 x y x x x x x x x
 222 6 2 9 0 2 3 0 x x x (đúng) 
2018 1 3 2 2018 2019 3 2 T x y 
Đẳng thức xảy ra 3 2 3 2 3 2 22x 3 0 x TM y 1 3 2
2 2 2
3 2 3 2 2
( ) 2019 3 2 ;
2 2
 Min T x y 
Bài 6: (2 điểm) Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm M, lấy điểm E sao cho 
 AME đều; trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm M, lấy điểm F sao cho CMF 
đều 
Ta có 060 MAE BAC MAB BAE MAB CAM BAE CAM 
 ; BAE CAM c g c BE CM ABE ACM 
tương tự 060 MCF ACB MCB BCF MCB ACM BCF ACM 
ta có ; ; BE CM CM CF BE CF 
 ; ABE ACM ACM BCF ABE BCF 
 BAE CBF c g c AE BF mà AE AM BF AM 
Mặt khác 0 0 0150 60 90 BMF BMC CMF ( CMF đều, nên 060 CMF ) 
 0 2 2 2 2 2 2: 90 2 . BMF BMF BF MB MF MA MB MC MB MC ( CMF đều MF MC ) 
E
F
A
B C
M