Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Tỉnh Hậu Giang (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1: (2,5 điểm)
 x2 9 y2 y 2 
 Tính giá trị biểu thức A biết x2 16y2 7xy xy x 4 .
 x3 6x2 9x y 1 
Câu 2: (5,0 điểm)
 1 1 1
 a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình .
 x y 2
 b) Tìm các số tự nhiên n sao cho A n2 2n 8 là số chính phương.
Câu 3: (4,5 điểm)
 a2 b2 c2
 a) Cho a,b,c 0 . Chứng minh rằng a b c .
 b c a
 x y 2(1 xy)
 b) Giải hệ phương trình 
 xy x y 2 0
Câu 4: (5,5 điểm)
 Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn O; R .
 a) Tính theo R chiều dài cạnh và chiều cao tam giác ABC .
 b) Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC M B;C . Trên tia đối của tia MB 
 lấy MD MB . Chứng minh MCD đều.
 c) Xác định vị trí điểm M sao cho tổng S MA MB MC là lớn nhất. Tính giá trị 
 lớn nhất của S theo R .
Câu 5: (2,5 điểm)
 Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác. 
 a 9b 16
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S .
 b c a c a b a b c
 .HẾT .
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . .Số báo danh: .
 LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1: (2,5 điểm)
 x2 9 y2 y 2 
 Tính giá trị biểu thức A biết x2 16y2 7xy xy x 4 .
 x3 6x2 9x y 1 
 Lời giải
 ĐKXĐ: y 1; x 0; x 3 .
 x 3 x 3 y 1 y 2 x 3 y 2 
 Ta có A .
 x x 3 2 y 1 x(x 3) Từ giả thiết x2 16y2 7xy xy x 4 x 4y 2 x 4 0
 x 4 0 x 4
 x 4y 0 y 1
 7
 Do đó A . 
 4
Câu 2: (5,0 điểm)
 1 1 1
 a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình .
 x y 2
 b) Tìm các số tự nhiên n sao cho A n2 2n 8 là số chính phương.
 Lời giải
 1 1 1
 a) Với x, y 0 ta có 
 x y 2
 x y 1
 2x 2y xy 0 x y 2 2(y 2) 4 (x 2)(y 2) 4 .
 xy 2
 Lập bảng xét các ước của 4 ta có các nghiệm :
 x; y 2;1 ; 1; 2 ; 3;6 ; 4;4 ; 6;3  .
 b) Đặt n2 2n 8 a2 a n 1 . a n 1 7 với a nguyên dương
 a n 1 7 a 4
 Vì a n 1 a n 1 nên .
 a n 1 1 n 2
Câu 3: (4,5 điểm)
 a2 b2 c2
 a) Cho a,b,c 0 . Chứng minh rằng a b c .
 b c a
 x y 2(1 xy)
 b) Giải hệ phương trình 
 xy x y 2 0
 Lời giải
 a2
 a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: b 2a 
 b
 b2 c2
 Tương tự ta có: c 2b; a 2c 
 c a
 a2 b2 c2 a2 b2 c2
 b c a 2a 2b 2c a b c .
 b c a b c a
 Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a b c .
 b) Từ phương trình xy x y 2 0 1 xy x y 3 .
 Thay vào phương trình thứ nhất ta được:
 x y 2(x y 3) x y 2x 2y 6 0 x 3y 6 
 Thay vào phương trình thứ hai ta được 3y2 8y 4 0 3y 2 . y 2 0 
 Với y 2 x 0. 
 2
 Với y x 4 .
 3 2 
 Vậy hệ có nghiệm x; y 0;2 ; 4; . 
 3 
Câu 4: (5,5 điểm) Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn O; R .
 a) Tính theo R chiều dài cạnh và chiều cao tam giác ABC .
 b) Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC M B;C . Trên tia đối của tia MB 
 lấy MD MC . Chứng minh MCD đều.
 c) Xác định vị trí điểm M sao cho tổng S MA MB MC là lớn nhất. Tính giá trị 
 lớn nhất của S theo R .
 Lời giải
 A
 O
 B C
 H
 M
 D
 3R
 3.AO 3R AH
 a) Kẻ đường cao AH . Ta có AH ; AB 2 R 3 . 
 2 2 sin B sin 60
 b) Tứ giác ABMC nội tiếp nên C· MD B· AC 60 
 MCD cân có C· MD 60 nên CMD là tam giác đều. 
 c) Ta có MCD đều nên MC MD CD .
 Xét AMC và BDC có AC BC ; MC CD ; ·ACM B· CD 60 B· CM 
 Nên AMC BDC (c.g.c) MA BD.
 Do đó: S MA MB MC MA MB MD MA BD 2MA .
 Vậy S lớn nhất khi MA là đường kính của đường tròn O hay M là điểm chính 
 giữa cung nhỏ BC .
Câu 5: (2,5 điểm)
 Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác 
 a 9b 16
 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S .
 b c a c a b a b c
 Lời giải b c a x 2a y z
Đặt c a b y 2b z x 
 a b c z 2c z y
 y z 9(z x) 16(x y) 1 y 9x z 16x 9z 16y 
Ta có : S 
 2x 2y 2z 2 x y x z y z 
 1
 . 2.3 2.4 2.3.4 19 
 2
 7 5 1
Giá trị nhỏ nhất của S là 19. Đạt được khi và chỉ khi a ;b ;c .
 8 8 2
 ..HẾT