Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Tỉnh Hậu Giang (Có đáp án)

Bạn đang xem tài liệu "Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Tỉnh Hậu Giang (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (2,5 điểm) x2 9 y2 y 2 Tính giá trị biểu thức A biết x2 16y2 7xy xy x 4 . x3 6x2 9x y 1 Câu 2: (5,0 điểm) 1 1 1 a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình . x y 2 b) Tìm các số tự nhiên n sao cho A n2 2n 8 là số chính phương. Câu 3: (4,5 điểm) a2 b2 c2 a) Cho a,b,c 0 . Chứng minh rằng a b c . b c a x y 2(1 xy) b) Giải hệ phương trình xy x y 2 0 Câu 4: (5,5 điểm) Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn O; R . a) Tính theo R chiều dài cạnh và chiều cao tam giác ABC . b) Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC M B;C . Trên tia đối của tia MB lấy MD MB . Chứng minh MCD đều. c) Xác định vị trí điểm M sao cho tổng S MA MB MC là lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất của S theo R . Câu 5: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác. a 9b 16 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S . b c a c a b a b c .HẾT . Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . .Số báo danh: . LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (2,5 điểm) x2 9 y2 y 2 Tính giá trị biểu thức A biết x2 16y2 7xy xy x 4 . x3 6x2 9x y 1 Lời giải ĐKXĐ: y 1; x 0; x 3 . x 3 x 3 y 1 y 2 x 3 y 2 Ta có A . x x 3 2 y 1 x(x 3) Từ giả thiết x2 16y2 7xy xy x 4 x 4y 2 x 4 0 x 4 0 x 4 x 4y 0 y 1 7 Do đó A . 4 Câu 2: (5,0 điểm) 1 1 1 a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình . x y 2 b) Tìm các số tự nhiên n sao cho A n2 2n 8 là số chính phương. Lời giải 1 1 1 a) Với x, y 0 ta có x y 2 x y 1 2x 2y xy 0 x y 2 2(y 2) 4 (x 2)(y 2) 4 . xy 2 Lập bảng xét các ước của 4 ta có các nghiệm : x; y 2;1 ; 1; 2 ; 3;6 ; 4;4 ; 6;3 . b) Đặt n2 2n 8 a2 a n 1 . a n 1 7 với a nguyên dương a n 1 7 a 4 Vì a n 1 a n 1 nên . a n 1 1 n 2 Câu 3: (4,5 điểm) a2 b2 c2 a) Cho a,b,c 0 . Chứng minh rằng a b c . b c a x y 2(1 xy) b) Giải hệ phương trình xy x y 2 0 Lời giải a2 a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: b 2a b b2 c2 Tương tự ta có: c 2b; a 2c c a a2 b2 c2 a2 b2 c2 b c a 2a 2b 2c a b c . b c a b c a Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a b c . b) Từ phương trình xy x y 2 0 1 xy x y 3 . Thay vào phương trình thứ nhất ta được: x y 2(x y 3) x y 2x 2y 6 0 x 3y 6 Thay vào phương trình thứ hai ta được 3y2 8y 4 0 3y 2 . y 2 0 Với y 2 x 0. 2 Với y x 4 . 3 2 Vậy hệ có nghiệm x; y 0;2 ; 4; . 3 Câu 4: (5,5 điểm) Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn O; R . a) Tính theo R chiều dài cạnh và chiều cao tam giác ABC . b) Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC M B;C . Trên tia đối của tia MB lấy MD MC . Chứng minh MCD đều. c) Xác định vị trí điểm M sao cho tổng S MA MB MC là lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất của S theo R . Lời giải A O B C H M D 3R 3.AO 3R AH a) Kẻ đường cao AH . Ta có AH ; AB 2 R 3 . 2 2 sin B sin 60 b) Tứ giác ABMC nội tiếp nên C· MD B· AC 60 MCD cân có C· MD 60 nên CMD là tam giác đều. c) Ta có MCD đều nên MC MD CD . Xét AMC và BDC có AC BC ; MC CD ; ·ACM B· CD 60 B· CM Nên AMC BDC (c.g.c) MA BD. Do đó: S MA MB MC MA MB MD MA BD 2MA . Vậy S lớn nhất khi MA là đường kính của đường tròn O hay M là điểm chính giữa cung nhỏ BC . Câu 5: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác a 9b 16 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S . b c a c a b a b c Lời giải b c a x 2a y z Đặt c a b y 2b z x a b c z 2c z y y z 9(z x) 16(x y) 1 y 9x z 16x 9z 16y Ta có : S 2x 2y 2z 2 x y x z y z 1 . 2.3 2.4 2.3.4 19 2 7 5 1 Giá trị nhỏ nhất của S là 19. Đạt được khi và chỉ khi a ;b ;c . 8 8 2 ..HẾT
Tài liệu đính kèm:
de_thi_chon_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_9_nam_hoc_2017_2018_t.docx