Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Tỉnh Phú Thọ (Có đáp án)

 ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017-2018.
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm).
 2
Câu 1: Cho phương trình x mx 4 0. Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình có 
 nghiệm kép là :
 A. 4; 4. B. 4. C. 4. D. 16.
Câu 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo bởi hai đường thẳng có phương trình y 5 x và 
 y 5 x bằng :
 A. 70o. B. 30o. C. 90o. D. 45o.
 3
 10 6 3 3 1 2018
Câu 3: Cho x . Giá trị của biểu thức x3 4x 2 bằng :
 6 2 5 5
 A. 22018. B. 22018. C. 0. D. 1.
Câu 4: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2018; 1) và B( 2018;1). Đường trung trực 
của 
 đoạn thẳng AB có phương trình là :
 x x
 A. y . B. y . C. y 2018x. D. y 2018x.
 2018 2018
Câu 5: Cho biểu thức P 2x 8x 4 2x 8x 4 , khẳng định nào dưới đây đúng ?
 1
 A. P 2 với mọi x . B. P 2 với mọi x 1.
 2
 1
 C. P 2 2x 1 với mọi x 1. D. P 2 2x 1 với mọi x 1.
 2
Câu 6: Trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M , biết rằng M cách đều 
trục 
 tung, trục hoành và đường thẳng y 2 x. Hoành độ của điểm M bằng :
 1
 A. 2 2. B. 2 2. C. . D. 2.
 2
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ M 2018;2018 đến đường thẳng y x 2 
bằng:
 A. 2. B. 2. C. 4. D. 1.
 2 
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A m;m -10 . Khi m thay đổi thì khẳng định 
 3 
nào 
 dưới đây đúng ?
 A. Điểm A thuộc một đường thẳng cố định. B. Điểm A thuộc một đường tròn cố định.
 C. Điểm A thuộc một đoạn thẳng cố định.D. Điểm A thuộc đường thẳng y x 10.
Câu 9: Cho tam giác ABC có AB 3 cm, AC 4 cm à BC 5 cm. Kẻ đường cao AH, gọi I, K
lần 
 lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác HAB và tam giác HAC. Độ dài của đoạn 
thẳng 
 KI bằng :
 A. 1,4 cm.B. 2 2 cm. C. 1,45 cm. D. 2 cm.
Câu 10: Cho AB là một dây cung của đường tròn O; 1 cm và ·AOB 150o. Độ dài của đoạn 
thẳng 
 AB bằng : A. 2 cm.B. 2 3 cm. C. 1 5 cm D. 2 3 cm. 
Câu 11: Cho hai đường tròn I;3 và O;6 tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Qua A vẽ hai tia vuông 
 góc với nhau cắt hai đường tròn đã cho tại B và C. Diện tích lớn nhất của tam giác ABC
bằng:
 A. 6. B. 12. C. 18. D. 20.
Câu 12: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 1. Gọi x, y lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp 
của 
 1 1
 tam giác ABC và tam giác ABD. Giá trị của biểu thức bằng :
 x2 y2
 3 1
 A. 4. B. 2. C. . D. .
 2 4
Câu 13: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O; R đường kính AC và dây cung BD R 2. 
Gọi 
 x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA. Giá trị của biểu thức 
 xy zt bằng :
 2 2
 A. 2 2R2. B. 2R2. C. R2. D. R2.
 2 4
Câu 14: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I;2 cm) và nội tiếp đường tròn O;6 cm . 
Tổng 
 khoảng cách từ điểm O tới các cạnh của tam giác ABC bằng :
 A. 8 cm. B. 12 cm. C. 16 cm. D. 32 cm.
Câu 15: Nếu một tam giác có độ dài các đường cao bằng 12,15,20 thì bán kính đường tròn nội tiếp 
tam 
 giác đó bằng :
 A. 5. B. 4. C. 3. D. 6 .
 Câu 16: Trên một khu đất rộng, người ta muốn rào một mảnh 
 đất 
 nhỏ hình chữ nhật để trồng rau an toàn, vật liệu cho 
 trước là 60m lưới để rào. Trên khu đất đó người ta tận 
 dụng một bờ rào AB có sẵn (tham khảo hình vẽ bên) 
 để làm một cạnh hàng rào. Hỏi mảnh đất để trồng rau 
 an toàn có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu ?
 A. 400 m2. B. 450 m2. C. 225 m2. D. 550 m2. 
B. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 17: (3,0 điểm).
 a) Cho a2 b c b2 c a 2018 với a,b,c đôi một khác nhau và khác không. Tính 
 giá trị của biểu thức c2 a b .
 b) Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn a b c 91 và b2 ca.
Câu 18: (3,5 điểm).
 a) Giải phương trình x2 2x x2 2x 2 0. b) Hai vị trí A và B cách nhau 615 m và cùng nằm về một 
 phía bờ sông. Khoảng cách từ A, B đến bờ sông lần lượt là 
 118 m và 487 m (tham khảo hình vẽ bên). Một người đi từ A 
 đến bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất 
 mà người đó có thể đi được bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến 
 đơn vị mét).
Câu 19: (4,0 điểm).
 Cho đường tròn O và điểm A nằm ngoài O . Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với O 
 (B,C là các tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi qua A cắt O tại D và E (AD AE). 
 Tiếp tuyến của O tại D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC tại các điểm M và 
 N.
 a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AD. Chứng minh rằng bốn điểm M , E, N, I cùng 
 thuộc một đường tròn T .
 b) Chứng minh rằng hai đường tròn O và T tiếp xúc nhau.
 c) Chứng minh rằng đường thẳng IT luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 20: (1,5 điểm).
 3a b 3b c 3c a 
 Chứng minh rằng a b c 9 với a,b,c là độ dài ba cạnh 
 a2 ab b2 bc c2 ca 
 của một tam giác.
 .HẾT . LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017-2018 .
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm: Mỗi câu 0,5 điểm) .
 Câu 1 2 3 4 5 6 7 8
 A C B C B, D A, B B A
 Câu 9 10 11 12 13 14 15 16
 D B C A C A A B
B. PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) .
Câu 17: (3,0 điểm).
 a) Cho a2 b c b2 c a 2018 với a,b,c đôi một khác nhau và khác không. 
 Tính giá trị của biểu thức c2 a b .
 b) Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn a b c 91 và b2 ca.
 Lời giải
 a b a b 1
 a) Ta có a2 b c b2 c a .
 bc ab ab ca c b a c
 Suy ra ab bc ca 0 bc a b c abc a2 b c 2018.(1)
 ab bc ca 0 ab c a b abc c2 a b .(2)
 Từ (1) và (2) ta được c2 a b 2018.
 b) Đặt b qa;c q2a q 1 thì ta được a 1 q q2 91 13.7.
 Trường hợp 1: Nếu q là số tự nhiên thì ta được :
 a 1 a 1
 a 1;b 9;c 81.
 1 q q2 91 q 9
 a 7 a 7
 a 7;b 21;c 63.
 2 
 1 q q 13 q 3
 a 13 a 13
 a 13;b 26;c 52.
 2 
 1 q q 7 q 2
 x
 Trường hợp 2: Nếu q là số hữu tỷ thì giả sử q x 3; y 2 . 
 y
 Khi đó : a 1 q q2 91 a x2 xy y2 91y2 x2 xy y2 19 
 ax2 a
 Ta có : c ¥ ¥ a ty2 x2 xy y2 91 x 6; y 5.
 y2 y2
 và a 25;b 30;c 36.
 Vậy có 8 bộ số a;b;c thỏa mãn 1;9;81 , 81;9;1 , 7;21;63 , 63;21;7 ;...
Câu 18: (3,5 điểm).
 a) Giải phương trình x2 2x x2 2x 2 0.
 b) Hai vị trí A và B cách nhau 615 m và cùng nằm về một 
 phía bờ sông. Khoảng cách từ A, B đến bờ sông lần lượt là 
 118 m và 487 m (tham khảo hình vẽ bên). Một người đi từ A 
 đến bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất 
 mà người đó có thể đi được bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến 
 đơn vị mét).
 Lời giải a) x2 2x x2 2x 2 0 x2 2x 2 x2 2x 2 2 0.
 x2 2x 2 1(L)
 2
 x 2x 2 2
 x2 2x 2 4 x2 2x 2 0
 x 1 3
 .
 x 1 3
 b) Gọi C, D lần lượt là hình chiếu của A, B lên bờ sông. Đặt CE x 0 x 492 
 Ta có CD 6152 487 118 2 492.
 Quãng đường di chuyển của người đó bằng AE EB
 x2 1182 492 x 2 4872
 2 2
 Ta có với mọi a,b,c,d thì a2 b2 c2 d 2 a c b d (1).
 Thật vậy 1 a2 b2 c2 d 2 2 a2 b2 c2 d 2 a c 2 b d 2
 a2 b2 c2 d 2 ac bd (2)
 Nếu ac bd 0 thì (2) luôn đúng. Nếu ac bd 0 bình phương hai vế ta được
 (2) trở thành ad bc 2 0.Dấu đẳng thức sảy ra khi ad bc.
 Áp dụng (1) thì AE EB x 492 x 2 487 118 2 608089 779,8m
 Dấu đẳng thức xảy ra khi 487x 118 492 x x 96m
 Vậy quãng đường nhỏ nhất là 780 m .
Câu 19: (4,0 điểm).
 Cho đường tròn O và điểm A nằm ngoài O . Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với O 
 (B,C là các tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi qua A cắt O tại D và E (AD AE). 
 Tiếp tuyến của O tại D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC tại các điểm M và N.
 a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AD. Chứng minh rằng bốn điểm M , E, N, I cùng 
 thuộc một đường tròn T .
 b) Chứng minh rằng hai đường tròn O và T tiếp xúc nhau.
 c) Chứng minh rằng đường thẳng IT luôn đi qua một điểm cố định.
 Lời giải a) Ta có ·ABO ·ACO 180o nên tứ giác ABON nội tiếp .
 Gọi J là giao điểm của AD với đường tròn ABOC .Suy ra DMA đồng dạng DNJ .
 Suy ra : DM.DN DA.DJ
 1
 Mà : DA 2DI; DJ DE.
 2
 Nên DM.DN DI.DE DMI đồng dạng DEN
 Vậy tứ giác MINE nội tiếp hay có đpcm.
 b) Dễ thấy khi MN  OA thì O và T tiếp xúc nhau tại E.
 Khi MN không vuông góc OA. Gọi K là giao điểm của MN với tiếp tuyến của O tại 
 E.
 Ta có O, J, K thẳng hàng .
 Trong tam giác OEK : KJ.KO KE 2 (1) ( Định lý hình chiếu) .
 Trên đường tròn ABOC ta có KJ.KO KN.KM (2).
 Từ (1) và (2) suy ra KE 2 KN.KM nên KE tiếp xúc T 
 c) Ta có O· ED O· DE T· IE
 Nên IT / /OD. Gọi W OA IT.
 Vì I là trung điểm của AD nên W là trung điểm OA (đpcm)
 Khi MN  OA thì W IT.
Câu 20: (1,5 điểm).
 3a b 3b c 3c a 
 Chứng minh rằng a b c 9 với a,b,c là độ dài ba cạnh 
 a2 ab b2 bc c2 ca 
 của một tam giác.
 Lời giải
 Giả sử a b c t và đặt a tx;b ty;c tz x y z 1.
 t 3x y t 3y z t 3z x 
 Ta chứng minht x y z 9
 2 2 2 2 2 2
 t x xy t y yz t z zx 
 3x y 3y z 3z x
 2 2 2 9.
 x xy y yz z zx 4x x y 4y y z 4z z x 4 1 4 1 4 1
 9 9
 x x y y y z z z x 1 z x 1 x y 1 y z
 5x 1 5y 1 5y 1
 9
 x x2 y y2 z z2
 1 
Vì a,b,c là ba cạnh của một tam giác nên a b c x, y, z 0; .
 2 
Ta có:
 5x 1 2 1 
 2 18x 3 3x 1 2x 1 0 đúng x 0; 
 x x 2 
 5y 1 2 1 
 2 18y 3 3y 1 2y 1 0 đúng y 0; 
 y y 2 
 5z 1 2 1 
 2 18z 3 3z 1 2z 1 0 đúng z 0; 
 z z 2 
 5x 1 5y 1 5y 1 5x 1 5y 1 5y 1
Suy ra : 18 x y z 9 9
 x x2 y y2 z z2 x x2 y y2 z z2
 .HẾT .