Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Tỉnh Quảng Ninh (Có đáp án)

 ĐỀ THI HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1:
 3 2 7 2 10 3 33 4 33 2 1
 a) Rút gọn biểu thức . 
 5 2 1
 1 x
 b) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x3 y x 3 y . Tính giá trị của biểu thức . 
 27 y
Câu 2:
 a) Với mọi số nguyên n, chứng minh rằng : n(n 2)(73n2 1)24. 
 b) Tìm số tự nhiên n để 24 27 2n là số chính phương.
Câu 3:
 a) Giải hệ phương trình : 2 3x 3x2 7x 1. 
 3x y2 2 x 2 y 1 5
 b) Giải hệ phương trình : . 
 2
 2x y y 6
Câu 4: Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa hai điểm A và B. Trên cùng một nửa mặt phẳng 
bở là đường thẳng AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính BC. Lấy 
điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính BC M B;M C . Kẻ MH vuông góc với BC 
 H BC , đường thẳng MH cắt nửa đường tròn đường kính AB tại K. Hai đường thẳng AK và 
CM giao nhau tại E. 
 a) Chứng minh rằng H· KB C· EB và BE 2 BC.AB; 
 b) Từ C kẻ CN  AB (N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), đường thẳng NK cắt CE 
 tại P. Chứng minh rằng NP PE; 
 c) Chứng minh rằng khi NE là tiếp tuyến của nửa đường tròn đường kính AB thì NE 2NC. 
Câu 5: Cho a, b là các số dương thỏa mãn a b 2ab 12. 
 a2 ab b2 ab
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . 
 a 2b 2a b
 .HẾT . ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUẢNG NINH 2017-2018
Câu 1.
 3 2 7 2 10 3 33 4 33 2 1
 a) Rút gọn biểu thức . 
 5 2 1
 1 x
 b) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x3 y x 3 y . Tính giá trị của biểu thức . 
 27 y
 Lời giải
 a) Rút gọn biểu thức
 2 3
 3 3 3
 3 2 7 2 10 3 33 4 33 2 1 2 5 2 4 1 
 1. 
 5 2 1 5 2 1
 1
 b) Ta có x3 y x 3 y 27x3 27y 1 27x 3 y 0 
 27
 3 3
 3x 33 y 1 3.3x.3 y 0 
 2 2 2
 3x 3 y 1 . 3x 33 y 3.3 y 1 1 3x 0
 1
 x 
 3 x
 Do x, y 0 nên suy ra 3x 33 y 1 9. 
 1 y
 y 
 27
 x
 Vậy giá trị của biểu thức là 9.
 y
Câu 2. 
 a) Với mọi số nguyên n, chứng minh rằng : n(n 2)(73n2 1)24. 
 b) Tìm số tự nhiên n để 24 27 2n là số chính phương.
 Lời giải
 a) Ta có n(n 2)(73n2 1) 72n2.n.(n 2) (n 1)n(n 1)(n 2)24. 
 b) Ta thử n 1,2,3 đều không thỏa mãn . 
 Với n 4 thì ta có
 24 27 2n k 2 24 (9 2n 4 ) k 2 k4 . Đặt k 4h với h là số tự nhiên. Ta có:
 h 3 2x
 n 4 2 n 4 2 y
 9 2 h 2 h 9 h 3 h 3 h 3 2 
 x y n 4
 6 2.3 2 y 2x 2x. 2 y x 1 
 2x 2 n 8
 . 
 y x 
 2 1 3 h 5 k 20
 Vậy n 8 là giá trị phù hợp.
Câu 3. 
 a) Giải hệ phương trình : 2 3x 3x2 7x 1. 3x y2 2 x 2 y 1 5
 b) Giải hệ phương trình : . 
 2
 2x y y 6
 Lời giải
 2
 a) ĐKXĐ: x 
 3
 Phương trình 
 1 3x
 3x2 7x 2 2 3x 1 0 3x 1 x 2 0
 2 3x 1
 1 2 4 1
 1 3x 2 x 0.Do x 2 x 0 2 x 0
 2 3x 1 3 3 2 3x 1
 1 1
 Suy ra 1– 3x 0 x (TMDK) . Vậy phương trình có nghiệm x 
 3 3
 b) ĐKXĐ: x 2 y 1 0. Cộng theo hai vế phương trình của hệ ta được:
 x 2 2 x 2 y 1 y 1 0(*) 
 x 2 2
 Xét . phương trình (*) x 2 y 1 0 x 2 y 1 x y 3 
 y 1
 Thay vào 2x y2 y 6 được y2 y 12 0 y 4 y 3 0 y 4 (Vì 
 y 1) 
 Nên x 7. 
 x 2
 Xét .Khi đó x 2 2 x 2 . y 1 y 1 0 phương trình vô nghiệm
 y 1
 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 7;4 . 
Câu 4. Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa hai điểm A và B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bở 
là đường thẳng AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính BC. Lấy 
điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính BC M B;M C . Kẻ MH vuông góc với BC 
 H BC , đường thẳng MH cắt nửa đường tròn đường kính AB tại K. Hai đường thẳng AK và 
CM giao nhau tại E. 
 d) Chứng minh rằng H· KB C· EB và BE 2 BC.AB; 
 e) Từ C kẻ CN  AB (N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), đường thẳng NK cắt CE 
 tại P. Chứng minh rằng NP PE; 
 f) Chứng minh rằng khi NE là tiếp tuyến của nửa đường tròn đường kính AB thì NE 2NC. 
 Lời giải E
 Q
 N K P
 M
 A
 C OH O' B
 a) Ta có B· ME B· KE 900 nên BMKE nội tiếp H· KB C· EB mà H· KB B· AE 
 (cùng phụ với H· KA) nên C· EB B· AE 
 Xét BEC và BAE có: C· EB B· AE và ·ABE chung nên đồng dạng
 BE BC
 BE 2 BC.AB. 
 AB BE
 b) Xét tam giác ABN vuông tại N có NC  AB 
 Suy ra BN 2 BC.AB BN BE 
 Hay BNE cân tại B B· NE B· EN (1) 
 Theo câu a) thì C· EB B· AE mà B· AE B· NP C· EB B· NP (2). 
 Từ (1) và (2) P· NE P· EN PNE cân tại P NP PE. 
 c) Gọi Q là giao điểm của tia BP và NE 
 Vì BP BE và PN PE nên BQ  NE 
 NE là tiếp tuyến của O nên ON  NE. Do đó ON / /BQ B· NO Q· BN 
 Mà B· NO N· BO Q· BN N· BO hay BN là tia phân giác của C· BQ mà NQ  BQ và 
 NC  BC nên NQ NC. Vì BQ là đường trung trực của NE nên NE 2.NQ suy ra 
 NE 2NC. 
Câu 5. Cho a, b là các số dương thỏa mãn a b 2ab 12. 
 a2 ab b2 ab
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . 
 a 2b 2a b
 Lời giải a b 2
Ta có 12 a b 2ab (a b) a b 4. Khi đó 
 2
 2
 a b a2 b2 a b 
A a b . a b . 2 2 4. 2
 a 2b 2a b a 2ab 2ab b a b 2ab
 2 
 a b 8
 4. 2 .
 2 a b 3
 a b 
 2
 8
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức MinA a b 2. 
 3