Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Kỳ Anh (Có đáp án)

 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 2019-2020
 HUYỆN KỲ ANH
 3 5 3 5
Bài 1: a) Tính giá trị của biểu thức : A 
 10 3 5 10 3 5
 b) Cho xy 1 x2 1 y2 1 Tính giá trị của : x 1 y2 y 1 x2
Bài 2: Giải các phương trình sau :
 a) x2 12 1 x x 36
 b) x2 3x 1 x 3 x2 1
 6
Bài 3: a) Tìm các số thực x, y thỏa : 2x 3y 1 và 3x2 2y2 
 35
 1 1 1
 b)Cho : x2 y2 z2 x2 6 Tính P x2018 y2019 z2009
 y2 x2 z2
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH : 
 AB 3
 a) Biết ;CH BH 10 .Tính BC
 AC 7
 b) Lấy điểm D đối xứng với C qua A .Gọi I là trung điểm của AH chứng minh 
 BI  DH
 HC 1
 c) Gọi K là điểm đối xứng với I qua A , biết .Chứng minh IAC ∽ ICK từ 
 HB 4
 đó tính C· KA C· AI ?
Bài 5: cho các số thực dương a,b,c .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 ab bc ac
 P 
 a b 2c b c 2a a c 2b
 LỜI GIẢI
Bài 1:
 3 5 3 5 A 3 5 3 5
 a) A 
 10 3 5 10 3 5 2 2 56 6 2 5 2 5 6 2 5
 3 5 3 5 6 6 2
 A 
 3 5 1 3 5 1 11 11
 b) Từ giả thiết xy 1 x2 1 y2 1 x2 y2 1 x2 1 y2 2xy 1 x2 1 y2 1( 
 bình phương 2 vế)
 2x2 y2 x2 y2 2xy 1 x2 1 y2 0
 2
 Mặt khác : x 1 y2 y 1 x2 2x2 y2 x2 y2 2xy 1 x2 1 y2 
 Vậy : x 1 y2 y 1 x2 0
Bài 2:
 a) x2 12 1 x x 36 x2 2x 1 36 12 1 x 1 x 2 x 1 6 1 x 1 
 x 1 2 6 1 x 
 x 1 1 x 6 2 
 Giải (1) Vô nghiệm 
 Giải (2) x 3 hoặc x 8
 b) x2 3x 1 x 3 x2 1 x2 1 3x x x2 1 3 x2 1 0
 Đặt a x;b x2 1 ta có b2 3a ab 3b 0
 b a 1 
 b a b 3 0 
 b 3 2 
 Giải (1) vô nghiệm 
 Giải (2) x 2 2
Bài 3: 
 2 2 6 2 2 35 2 2 æ4 9ö
a)Ta có:3x + 2y = Þ (3x + 2y ). = 1Þ (3x + 2y )ç + ÷= 1 
 35 6 èç3 2ø÷
 27 8 2 27 8
Þ 4x2 + 9y2 + x2 + y2 = 1= (2x + 3y) Þ 4x2 + 9y2 + x2 + y2 = 4x2 + 9y2 + 12xy
 2 3 2 3
 2
 27 2 8 2 æ9 2 4 2 ö æ3 2 ö
Þ x + y - 12xy = 0 Þ 6ç x + y - 2xy÷= 0 Þ 6ç x - y÷ = 0 Þ 9x = 4y 
 2 3 èç4 9 ø÷ èç2 3 ø÷
 4y 4y 35 9 4
Hay x = Þ 2. + 3y = 1Þ y = 1Þ y = Þ x = 
 9 9 9 35 35
 1 1 1 1 1 1
b)Áp dụng : x2 2; y2 2; z2 2 x2 y2 z2 x2 6
 x2 y2 z2 y2 x2 z2
đẳng thức xảy ra khi x2 = 1; y2 = 1; z2 = 1 Û x 1; y 1; z 1 
 1009
Khi đó x2018 = (x2 ) = 11009 = 1 và 
 1009 1004
 y2019 + z2009 = y.(y2 ) + z.(z2 ) = y.1+ z.1= y + z 
+)Nếu y = z = 1Þ P = 1+ 1+ 1= 3 
+)Nếu y = 1; z = - 1 hay y = - 1; z = 1Þ P = 1+ 1- 1= 1 
+) Nếu y = z = - 1Þ P = 1- 1- 1= - 1 
Bài 4: a) 
Đặt CH x BH x 10
 AB2 BH 9 x 10 9
mà : x 12,25 BC 14,5
 AC 2 CH 49 x 49
b)
Gọi M là trung điểm của HC suy ra IM / / AC IM  AB vậy I là trực tâm tam giác MBA 
suy ra BI vuông góc với AM mà MA / /DH suy ra BI  DH a
 c)Đặt BH a CH B
 4
 a2 IH 2 a2 a a2
 AH 2 IH IC 2 H
 4 4 4 4 8
 M
 a a a2 I
 IA.IK . 
 4 2 8
 D C
 IC 2 IK.IA IKA∽ ICA c g c A
 K
 I·AC I·CK C· KA C· AI H· IC 45(do HIC 
vuông cân)
 Bài 5:
 Ta có a + b + 2c = (a + c)+ (b + c)³ 2 (a + c)(b + c) ( BĐT cô si )
 ab 1 a b 1 1æ a b ö 1æ a b ö
 Þ £ . £ . ç + ÷= ç + ÷ (BĐT Cô si 
 a + b + 2c 2 (a + c) (b + c) 2 2èça + c b + cø÷ 4èça + c b + cø÷
 )
 bc 1æ b c ö ac 1æ a c ö
Tương tự ta cũng có : £ ç + ÷ và £ ç + ÷ 
 b + c + 2a 4èça + b a + cø÷ a + c + 2b 4èça + b b + cø÷
Cộng vế theo vế tương ứng ta có :
 ab bc ac 1æa + b b + c c + aö 3
 P = + + £ ç + + ÷= 
 a + b + 2c b + c + 2a a + c + 2b 4èça + b b + c c + aø÷ 4
 3
Vậy P = Û a = b = c 
 max 4