Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Lê Hồng Quốc

HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 : 0905.884.951 – 0929.484.951 
GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 1 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THỊ XÃ HOÀI NHƠN 
Đề chính thức 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
Năm học: 2020 – 2021 
Môn: TOÁN – Ngày thi: 04/12/2020 
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) 
Bài 1. (4.5 điểm) 
 Rút gọn các biểu thức: 
 a) 5 3 29 12 5A . 
 b) 3 370 4901 70 4901B . 
 c) 
1 1 1 1
...
2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100
C 
. 
Bài 2. (4.5 điểm) 
 a) Cho *, a b . Tính giá trị của biểu thức: 
2 2a b
A
ab
 , biết A có giá trị nguyên. 
 b) Cho ba số nguyên , , a b c và M a b b c c a abc . Chứng minh rằng: 
" Nếu 4a b c  thì 4M  ". 
 c) Tìm số abcd biết 3abcd  và 650abc bda . 
Bài 3. (4.0 điểm) 
 a) Giải phương trình: 24 9 1 3 6x y x xy . 
 b) Cho hai số dương , x y thỏa mãn: 1x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
22
1 1
A x y
x y
. 
Bài 4. (3.0 điểm) 
 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Gọi I là một điểm trên nửa đường tròn tâm 
 O ( I khác A và B ). Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B vẽ hai tiếp 
 tuyến với đường tròn tâm I , tiếp xúc với đường tròn tâm I lần lượt tại C và D . 
 a) Chứng minh , , C I D thẳng hàng. 
 b) Chứng minh 
2
.
4
CD
AC BD . 
Bài 5. (4.0 điểm) 
 a) Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD (D thuộc BC ) sao cho BD a và 
 CD b (với a b ). Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt tia BC 
 tại M . Tính MA theo a và b . 
 b) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính 2AB R và M là một điểm thuộc nửa đường 
 tròn (khác A và B ). Tiếp tuyến của O tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của O lần 
 lượt tại các điểm C và D . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM 
 và BDM . 
----------  HẾT  ---------- 
HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 : 0905.884.951 – 0929.484.951 
GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 2 
ĐÁP ÁN THAM KHẢO – HSG TOÁN 9 THỊ XÃ HOÀI NHƠN – 2021 
Bài 1. (4.5 điểm) 
 Rút gọn các biểu thức: 
 a) 5 3 29 12 5A . 
 b) 3 370 4901 70 4901B . 
 c) 
1 1 1 1
...
2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100
C 
. 
a) Ta có: 
2
5 3 29 12 5 5 3 2 5 3 5 3 2 5 3A 
2
5 5 1 5 5 1 1 . 
b) Ta có: 3 3 33140 3 70 4901 70 4901 . 70 4901 70 4901B 
 3 3 23 140 0 125 3 15 0 5 5 28 0B B B B B B B 
2
2
5
5 0
5 87
5 28 0 0
2 4
B
B
B B B
v« nghiÖm
. 
Vậy 5B . 
c) Ta có: 
1 1 1 1 1
1 1 . 1 1. 1 1
n n
n n n n n n n nn n n n
. 
Áp dụng ta được: 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
...
101 2 2 3 3 4 98 99 99 100
C . 
Bài 2. (4.5 điểm) 
 a) Cho *, a b . Tính giá trị của biểu thức: 
2 2a b
A
ab
 , biết A có giá trị nguyên. 
 b) Cho ba số nguyên , , a b c và M a b b c c a abc . Chứng minh rằng: 
" Nếu 4a b c  thì 4M  ". 
 c) Tìm số abcd biết 3abcd  và 650abc bda . 
a) Đặt ,d a b ­cln , suy ra: 
.
.
a d m
b d n
; với , 1m n và *, , m n d . 
Khi đó 
2 2 2 2 2 2
2
. .
. . .
d m d n m n
A
d m n m n
 . 
Vì A có giá trị nguyên nên 
2 2 2
2 2
2 2 2
.
m n m n m
m n m n
m n n m n
  
 

 
, mà , 1m n 
m n
n m


m n . 
Vậy 
2 2 2
2
2
2
.
m n m
A
m n m
 . 
b) Ta có: M a b b c c a abc 
 2a b c c ab bc ca c abc 
HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 : 0905.884.951 – 0929.484.951 
GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 3 
 2 2a b c ab bc ca a b c c ab bc ca c c abc 
 2a b c ab bc ca abc . 
Vì 4a b c  nên trong ba số , , a b c phải có ít nhất một số chẵn  2 4abc  . 
Vậy 4M  . 
c) Vì 650abc bda mà 650 là số tròn chục nên c a . 
Suy ra 65 10 10 65 10 65 9 74ab bd a b b d a b d (do 1b ). 
Lại có 10 90a 8; 9a . 
 Với 8a 
1
9 15
6
b
b d
d
  
. Khi đó 8186 3abcd   . Do đó trường hợp này loại. 
 Với 9a 
2
9 15
7
b
b d
d
  
. Khi đó 9 297 3abcd  . Do đó trường hợp này thỏa. 
Vậy số cần tìm là: 9 297 . 
Bài 3. (4.0 điểm) 
 a) Giải phương trình: 24 9 1 3 6x y x xy . 
 b) Cho hai số dương , x y thỏa mãn: 1x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
22
1 1
A x y
x y
. 
a) Điều kiện 0xy . 
 Trường hợp 1: 0x , ta được phương trình: 
1
9 1 0
9
y y . 
Do đó, trong trường hợp này phương trình có nghiệm là: 
1
; 0;
9
x y
. 
 Trường hợp 2: 0y , ta được phương trình: 
2
2 3 74 1 3 2 0
4 4
x x x
 (vô nghiệm). 
Do đó, trong trường hợp này phương trình vô nghiệm. 
 Trường hợp 3: 0x , 0y . Khi đó 
222 24 9 1 3 6 4 4 1 9 6 0 2 1 3 0x y x xy x x y xy x x y x 
Vì 
2
2
2 1 0 2 1 0 1
23 03 0
x x
x
y xy x
  
 và 
1
18
y . 
Do đó, trong trường hợp này phương trình có nghiệm là: 
1 1
; ;
2 18
x y
. 
 Trường hợp 4: 0x , 0y . Khi đó 
222 24 9 1 3 6 4 4 1 9 6 0 2 1 3 0x y x xy x x y xy x x y x 
Vì 
2
2
2 1 0 2 1 0
3 03 0
x x
y xy x
  
 hệ này vô nghiệm. 
Do đó, trong trường hợp này phương trình vô nghiệm. 
 Vậy nghiệm của phương trình là: 
1 1 1
; ; , 0;
2 18 9
x y
. 
HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 : 0905.884.951 – 0929.484.951 
GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 4 
b) Với x , y dương và 1x y , ta có: 2 2 2 22 2 2 2
1 1 1
4 . 1 4P x y x y
x y x y
. 
 Ta có: 
2
12 2 2 2 1
2 2
x yx yx y x y 
  . 
 Lại có: 
2
1 4x y xy , suy ra 
2 2
1 1
4 16
xy x y
  . 
Do đó 
1 25
. 1 16 4
2 2
P , đẳng thức xảy ra 
1
2
x y . 
 Vậy min
25
2
P , xảy ra khi và chỉ khi 
1
2
x y . 
Bài 4. (3.0 điểm) 
 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Gọi I là một điểm trên nửa đường tròn tâm 
 O ( I khác A và B ). Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B vẽ hai tiếp 
 tuyến với đường tròn tâm I , tiếp xúc với đường tròn tâm I lần lượt tại C và D . 
 a) Chứng minh , , C I D thẳng hàng. 
 b) Chứng minh 
2
.
4
CD
AC BD . 
a)  Vì , BH BD là tiếp tuyến của đường tròn I nên IB 
là tia phân giác của HID  1 2I I . 
 Vì , AC AH là tiếp tuyến của đường tròn I nên IA là 
tia phân giác của CIH  3 4I I . 
 Vì AIB có AB là đường kính của đường tròn O và I 
nằm trên đường tròn O  2 390 90AIB I I   . 
Do đó    1 2 3 4 180I I I I   , , C I D thẳng hàng. 
b)  Tam giác AIB vuông tại I có IH là đường cao nên 
2 .IH HA HB . 
 Vì , , C I D thẳng hàng mà I là tâm của đường tròn nên CD là đường kính 
2
CD
IH . 
 Vì , BH BD là tiếp tuyến của đường tròn I nên HB BD . 
 Vì , AC AH là tiếp tuyến của đường tròn I nên HA AC . 
 Do đó 
2 2
2 . . .
2 4
CD CD
IH HA HB AC BD AC BD
. 
Bài 5. (4.0 điểm) 
 a) Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD (D thuộc BC ) sao cho BD a và 
 CD b (với a b ). Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt tia BC 
 tại M . Tính MA theo a và b . 
 b) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính 2AB R và M là một điểm thuộc nửa đường 
 tròn (khác A và B ). Tiếp tuyến của O tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của O lần 
 lượt tại các điểm C và D . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM 
 và BDM . 
HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 : 0905.884.951 – 0929.484.951 
GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 5 
a)  Ta có: MAC là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung 
và ABC là góc nội tiếp cùng chắn một cung MAC ABC . 
 Vì AD là đường phân giác của ABC 
AC DC b
AB DB a
 . 
 Xét MAC và MBA , ta có: 
 MAC ABC (chứng minh trên) 
 AMB chung. 
Do đó MAC MBA  (g - g) 
Suy ra 
2
2
.
MA MC AC b MC MC MA b
MB MA AB a MB MA MB a
  
2 2 2 2 2
2 2 2 2
. . 1 .
b b b b b
MC MB MC a b MC a b MC
a a a a a b
. 
Ta có: 
.MC b a MC ab
MA
MA a b a b
  
. 
b) Ta có: CA CM và DB DM (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau). 
Ta có: CD CM MD CD AC BD  . 
Kẻ MH AB (H AB ), khi đó MH MO R . 
Tứ ABDC là hình thang vuông nên 2CD AB R . 
Ta có: 
 2 2. . 2
2 2 2
ABDC
AC BD AB CD AB AB
S R
 . 
 2
. .
2 2
MAB
MH AB MO AB
S R . 
Do đó 2 2 22CAM DBM ABCD MABS S S S R R R . 
Dấu " " xảy ra khi H O M là điểm chính giữa cung AB . 
Vậy CAM DBMS S đạt giá trị nhỏ nhất bằng 
2R khi M là điểm chính giữa cung AB . 
----------  CHÚC CÁC EM MAY MẮN  ----------