Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 9 - Vòng 2 - Năm học 2011-2012 - Trường THCS Phan Chu Trinh (có đáp án)

Phoøng giaùo duïc TP Buoânmathuoät KYØ THI CHOÏN HOÏC SINH GIOÛI CAÁP TRÖÔØNG (Voøng 2)
 Tröôøng THCS Phan Chu Trinh MOÂN TOAÙN 9 – Naêm hoïc 2011 – 2012
 Thôøi gian 90 phuùt (Khoâng keå thôøi gian giao ñeà)
Bài 1 : 1) Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và ƯCLN(a, b) = 16. 
 2).Cho biểu thức A = 
 Chứng minh rằng 0 < A < 2
Bài 2: 1) Tìm GTNN (nếu có) của biểu thức sau:
 .
 2) Tìm x, y thoả mãn: 
 .
Bài 3: Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì : 
 Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB < AC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AC cắt BC tại D. Lấy H và K lần lượt là trung điểm của AD và DC. Tia OH cắt AB tại E, tia OK cắt tia ED tại F , OF cắt (O) tại T, OB giao với AD tại N. Vẽ NP vuông góc với AC, P thuộc AC và NP cắt OH tại Q.
Chứng minh: ED là tiếp tuyến (O).
Chứng minh: DT là phân giác của góc FDC
Chứng minh: A, Q, F thẳng hàng.
Chứng minh: AD . AN = AB . PN
Phoøng giaùo duïc TP Buoânmathuoät KYØ THI CHOÏN HOÏC SINH GIOÛI CAÁP TRÖÔØNG (Voøng 2)
 Tröôøng THCS Phan Chu Trinh MOÂN TOAÙN 9 – Naêm hoïc 2011 – 2012
 ÑAÙP AÙN
Bài 1 
(2đ)
 Giả sử a ≤ b. 
Ta có : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n. 
Vì vậy : a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n = 8
Tương đương với m = 1, n = 7 hoặc m = 3, n = 5 .
 Suy ra a = 16, b = 112 hoặc a = 48, b = 80 
Nếu a > b thì m > n , m = 7 và n = 1 hoặc m = 5 và n = 3 .
Suy ra a = 80 , b = 48 hoặc a = 112 và b = 16
 Vậy (a , b) {(16 ; 112), (48 ; 80),(112 ; 16).(80 ; 48)}
0,5 ñ
0,5 ñ
0,5ñ
0,5ñ
(3đ)
2) Với . Ta có:
= 
+ với ta luôn có A > 0
+ Lại có: hay A < 2
 VËy 0 < A < 2
0,25ñ
0,75ñ
0,75ñ
 0,5ñ
 0,5ñ
 0,25ñ
Bài 2
(2đ)
1)
Vậy, Pmin=8 khi 
1ñ
1ñ
(2đ)
ĐK: x > 1 , y > 4
 (TMĐK)
 Vậy (x=2, y=8)
1ñ
1ñ
Bài 3
(2,5đ)
_____
Bài 4
(8,5đ)
1đ
2đ
3đ
 Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z 
 Với a, b , c > 0 => x , y, z > 0
 → a + b + c = 
 → a = , b = , c = 
 Khi đó : (theo bất đẳng thức Cosi)
 VT : = 
 = 
 Vậy: 
Vẽ hình rõ 
Hs chứng minh OD ED tại D, D thuộc (O) => ED là tiếp tuyến (O)
c/m DOT cân tại O => 
mà 
Ta suy ra : => DT là phân giác góc FDK hay DT là phân giác góc FDC
C/m Q là trực tâm ONA => AQ ON tại M
C/m OA2 = OM . OB
 OD2 = OK . OF
 Mà OA = OD
 Suy ra: OM . OB = OK . OF
C/m OBK đồng dạng OFM (c-g-c)
Góc OMF vuông => FM ON tại M
 Mà AQ ON tại M
Suy ra A, M , F thẳng hàng => A . Q , F thẳng hàng
0,5ñ
0,5ñ
1ñ
0,5ñ
_______
 0,5ñ
1ñ
0,5ñ
0,5ñ
 1ñ
0,5ñ
1ñ
 1ñ
0,5ñ
0,5đ
2đ
C/m ADB vuông tại D => Sin = 
 APN vuông tại P => Sin = 
Mà = (cùng phụ với góc BAD)
Suy ra = => AD . AN = AB . NP (đpcm)
0,5ñ 
0,5ñ
0,5ñ
0,5ñ 
Lưu ý : HS làm các cách giải khác , suy luận đúng và chặt chẽ vẫn chấm điểm tối đa của phần đó.