Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD & ĐT Vĩnh Tường (có đáp án)

ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD & ĐT VĨNH TƯỜNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: Toán 
Thời gian làm bài: 150 phút 
(Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19 tháng 12 năm 2013
Câu 1. a) Tính: 
 b) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của biểu thức:
Câu 2. Giải các phương trình sau:
a) 
b) 2(x2 + 2) = 5
Câu 3. Tìm tất cả các bộ số nguyên dương thỏa mãn là số hữu tỉ, đồng thời là số nguyên tố.
Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn (O) tại D.
Chứng minh các điểm B, C, E, F thuộc một đường tròn.
Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
Câu 5. a) Cho a, b, c là các số thực; x, y, z là các số thực dương. 
 	Chứng minh : 
Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1.
Chứng minh :
Câu 6. Cho bảng vuông 13x13. Người ta tô màu đỏ ở S ô vuông của bảng sao cho không có 4 ô đỏ nào nằm ở 4 góc của một hình chữ nhật. Hỏi giá trị lớn nhất của S có thể là bao nhiêu? 
------------Hết------------
(Đề này gồm có 01 trang)
 Họ và tên thí sinh: .. Số báo danh: .....
PHÒNG GD&ĐT VT
HƯỚNG DẪN CHÁM ĐỀ THI HSG 9 
NĂM HỌC 2013 - 2014
Câu
Ý
Nội Dung
Câu 1
Câu 2
Tương tự 
ĐK: x0. Pt (1)
 (2)
 Từ (1),(2) suy ra: 
 ,dấu “=” xảy ra khi x=0. Thử lại x=0 là nghiệm pt.
Vậy pt đã cho có nghiệm x=0.
ĐK: x-1.
Đặt a = , b = với a0, b>0.
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
2(a2 + b2) = 5ab (2a-b)(a-2b)=0 
2a=b hoặc a=2b
Với a=2b =2
 4x2-5x+3 = 0, vô nghiệm.
Với b=2a =2
 x2-5x-3 = 0 (thỏa mãn đk x-1.)
Câu 3 
Ta có .
 .
.	
Vì và là số nguyên tố nên 
Từ đó suy ra (thỏa mãn).
Câu 4
 ( cùng nhìn cạnh BC)
Suy ra B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC. 
Ta có DCAC
Mà HEAC; suy ra BH//DC (1)
Chứng minh tương tự: CH//BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành
Ta có M trung điểm của BC suy ra M trung điểm của HD.
Do đó AM, HO trung tuyến của G trọng tâm của 
Xét tam giác ABC có M trung điểm của BC, 
Suy ra G là trong tâm của 
Câu 5
(0,5điểm) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
=(a+b+c)2
 đpcm
(1 điểm) Vế trái 
Đặt với a, b,c >0
Khi đó M = 
Sau đó áp dụng bđt ở phần a) và bđt .
Từ đó có đpcm
Câu 6
Gọi xi là số ô được tô đỏ ở dòng thứ i.
Ta có: S= x1 + x2 + + x13; ở hàng thứ i số các cặp ô đỏ là C2xi = Vậy tổng số các cặp ô đỏ là A= 
Chiếu các cặp ô đỏ xuống một hàng ngang nào đó, theo giả thiết thì không có cặp ô đỏ nào có hình chiếu trùng nhau.
Vậy C213=78 A= 
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
 s2-13s-20280S52
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = = x13 = 4 (mỗi dòng có 4 ô được tô đỏ).
(Học sinh lập luận chỉ ra S52 được 0,25đ)
Vẽ hình minh họa: (0,25đ)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X
x
x
x
x
x
x
X
x
x
x
X
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Vậy giá trị lớn nhất của S=52
Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa./.