Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Gia Hòa

PHÒNG GD&ĐT GIA VIỄN
TRƯỜNG THCS GIA HÒA
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2019 - 2020
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
 (Đề thi gồm 05 câu; 01 trang)
Câu 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức Với ;
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của A khi .
c) Với giá trị nào của x thì đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Câu 2: (4,0 điểm)
1.Cho là hai số dương thỏa mãn: . 
Chứng minh: 
2. Cho hàm số: ; với tham số.
a, Xác định để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O.
b, Tính theo tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục O x; Oy, H là hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của để 
Câu 3: (4,0 điểm)
a. Giải phương trình: 
b. Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O;). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB.
a. Tính 
b. Chứng minh:
c. Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.
Câu 5: (2,0 điểm): Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng: 
 .. HẾT. 
Họ và tên thí sinh: SBD: 
Họ và tên giám thị 1: ... Chữ ký: 
Họ và tên giám thị 2: ... Chữ ký: 
PHÒNG GD&ĐT GIA VIỄN
TRƯỜNG THCS GIA HÒA
HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2019-2020
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
I. Hướng dẫn chung
1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó.
2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau.
3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm.
4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất.
5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn hội đồng chấm.
6. Tuyệt đối không làm tròn điểm. 
II. Hướng dẫn chi tiết
Câu
Đáp án
Điểm
1
(4,0điểm)
a. (2,5 điểm)
a) Với điều kiện Với ta có:
0,5
0,5
0,5
 .
0,5
b) Dễ thấy : thoả mãn điều kiện. Khi đó: .
0,5
 Do vậy, giá trị của biểu thức A là: 
0,5
 .
0,25
c) Viết lại, =. Để có GTNN thì có GTLN, hay có GTLN
0,25
Ta có: , dấu "=" xảy ra khi x = 0.
Giá trị nhỏ nhất của là , xảy ra khi x = 0.
0,5
2
(4,0điểm)
1. Với là hai số dương ta có: (Theo Bunhiacopski)
 (Vì ) Hay 
0,75
0,75
2a,; với tham số
Để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) 
thì 
0,5
0,5
b, Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A
Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B
Ta có: AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên: Hay 
0,5
0,5
0,5
3
(4,0điểm)
Điều kiện: 
Vậy nghiệm của pt là: 
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
4
(6,0điểm)
0,5
Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên:
= = 1 + 1 = 2
0,75
0,75
Chứng minh: 
Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH
Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB có MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH
Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH)
0,5
0,5
0,5
0,5
P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH)
Mà OH.MH(Pitago)
Vậy . đẳng thức xẩy ra MH = OH 
OH =
0,25
0,25
0,25
0,25
5
(2,0điểm)
Đặt x=a3 y=b3 z=c3 ,a,b,c >0 thì x, y, z >0 và abc=1. Ta có
0,25
a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)ab, do a+b>0 và a2+b2-abab
 a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0
0,5
Tương tự ta có
0,25
, 
Cộng theo vế ta có
0,5
=++
 =
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
0,5
..............................................................Hết.................................................................
Xác nhận của BGH
Gia Hòa, ngày tháng 9 năm 2019
Người ra đề