Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Vòng 2 - Năm học 2012-2013 - Trường THCS Phan Chu Trinh (có đáp án)

PHÒNG GD-ĐT TP BUÔN MA THUỘT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 
TRƯỜNG THCS PHAN CHU TRINH NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán 9
 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
	Câu 1 (4 điểm): Cho biểu thức
 P = 
 	 	 a) Tìm điều kiện để P có nghĩa?
 	 	 b) Rút gọn P 
 	 	 c) Chứng tỏ 
	Câu 2 (6 điểm): 
 Chứng minh phân số sau tối giản với n
	 b) Tìm n để là số nguyên tố.
 	 c) Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = a3 + b3 + ab
Câu 3 (3 điểm): Giải phương trình:
Câu 4 (5 điểm): Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm D trên đoạn OB. Đường trung trực của đoạn AD cắt (O) tại C và cắt AD tại H. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E.Chứng minh rằng:
a) AC song song với DE
b) HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BD
Câu 5 (2 điểm): Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC. Các cạnh BC, BA, AC tiếp xúc với đường tròn lần lượt tại D, F, E. Chứng minh rằng, nếu tam giác ABC vuông tại A thì SABC = BD.DC
 .HẾT 
Phòng GD-ĐT Tp. Buôn Ma Thuột ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 
Trường THCS Phan Chu Trinh NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán 9
 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Đáp án và biểu điểm
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
4đ
Điều kiện 
0,75
1
0.5
0.5
Ta có , áp dụng BĐT Cô si cho hai số a và b:
Do đó 	
0,25
0,5
0.25
0,25
Câu 2
6đ
Giả sử d=(12n+1,30n+2). Khi đó, 
Vậy là phân số tối giản
0.25
1
0.25
0.25
0.25
Ta có: 
Nếu là số nguyên tố thì 
	 n=1
Với n=1 ta có là số nguyên tố.
Vậy với n=1 thì là số nguyên tố.
0.5
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
Ta có: a + b =1 => b = 1 - a
 Biểu thức Q = a3 + b3 + ab = (a + b)3 – 3ab(a + b) + ab
 Q = 1 – 3ab + ab = 1 – 2ab = 1 – 2a(1- a)
 Q = 1 – 2a + 2a2 = 2(a2 – 2.a. + ) + 1 - 
 Q = 2(a-)2 + 
Dấu “=” xảy ra ó 
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là khi và chỉ khi 
0.25
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
Câu 3
3đ
Điều kiện 
Nếu thì (1) 
Nếu thì (1) 
Phương trình này có vô số nghiệm thỏa mãn: 
Vậy 
0,25
0.75
0,25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
Câu 4
5đ
Vẽ hình, ghi GT, KL đúng theo 
yêu cầu chung của đề bài
Tam giác ACB vuông tại C
Tam giác DEB vuông tại E
Suy ra ==900
Do đó AC// DE
b) Gọi K là trung điểm của CE, I là trung điểm của BD.
Có HK là đường trung bình của hình thang ACED
=> HK vuông góc với CE
=> CHE cân tại H
=> . Có và 
=> => 
Vậy HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BD
0,5đ
0.5đ
0.5
0.5
0.5
0.75
0,25đ
0,25đ
0.75
0.25đ
0.25
Câu 5
2đ
Đặt AB=c, AC=b, BC=a
Đường tròn (O) tiếp xúc với AC,AB theo thứ tự tại E và F. Ta có:
2DB=BD+BF=(BC-DC)+(AB-FA)
 =(BC+AB)-(DC+FA)
 =BC+AB-(CE+EA)
 =BC+AB-AC
 =a+c-b=a-(b-c)
Tương tự, 2DC=a+(b-c)
Suy ra 
Nếu tam giác ABC vuông tại A thì 
 và 
Từ (1) và (2) suy ra BD.DC==SABC 
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
0.5
Hướng dẫn chấm
Giáo viên chấm có thể chia điểm thành phần đến 0,25 điểm cho từng câu để chấm.
Điểm toàn bài là tổng điểm thành phần.
Học sinh có thể giải theo cách khác với đáp án nhưng đúng và chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa tương ứng.