Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 9 THCS - Năm học 2020-2021 - Sở GD & ĐT Hà Tĩnh (có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
 HÀ TĨNH LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2020-2021 
 MÔN TOÁN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút 
Ngày thi 8/12/2020 
Thời gian làm bài :150 phút 
Tên : Trương Quang An. Địa chỉ : Tổ 2, hẽm 70/5 Võ Thị Sáu, phường Chánh Lộ, 
Thành Phố Quảng Ngãi, Tỉnh Quảng Ngãi. Điện thoại : 0353276871 
I.PHẦN GHI KẾT QUẢ (10 điểm) (Thí sinh ghi kết quả trên giấy) 
Câu 1.Rút gọn biểu thức 3 5 2 3 3 5 2 3A 
Giải : Ta có 
2
2 3 5 2 3 3 5 2 3 4 2 3 1 3A A 
Câu 2.Tính 
2
3 2
6 16
5 1
x x
M
x x x
 khi 3 2x 
Giải : Ta có 
 2
3
3 2 6 7 0
8
x x x M .Vì 
2
2 2 2
6 7 9
( 6 7) ( 6 7) 8
x x
M
x x x x x
Câu 3.Cho 5 chữ cái C,O,V,I,D để biểu thị 5 chữ số khác nhau và khác 0.Tổng của 5 
số COVID, DCOV, IDCOV, VIDCO, OVIDC là 277775.Tính C+O+V+I+D 
Giải : Ta có 11111( ) 277775 25C O V I D C O V I D . 
Câu 4.Để tổ chức kỳ thi học sinh giỏi khối 9.Hội đồng X thi dự định xếp mỗi phòng 
15 em thì thừa 2 em.Nếu bớt 1 phòng thì tất cả thí sinh dự đủ hia đều cho các phòng 
còn lại.Hỏi hội đồng X có bao nhiêu em.Biết số em dự thi các môn khác nhau có thể 
ngồi cùng 1 phòng và mỗi phòng không quá 22 em. 
Gọi số phòng là a, số em là b (a,b tự nhiên và a > 1;b>17).Ta có b=15a+2 và b chia 
hết cho (a-1).Ta có ( 1) 15 2 ( 1) 17 ( 1)b a a a a 
Với a-1=1 thì a=2 hay b=32 (loại). 
Với a-1=17 thì a=18 hay b=272. 
Câu 5.Tìm min của 2 22 2 8 2 12P a b ab a b 
Giải : Ta có 
2 2 2 2
3
2 2 8 2 12 ( 1) ( 3) 2 2
2
a
P a b ab a b a b a
b
Câu 6.Để đo khoảng cách thuyền đang đậu ở A đến bờ sông bên kia.Nam xác định 
điểm B,C ở hai bờ sông sao cho A,B,C thẳng hàng và BC vuông góc với hai bờ sông 
(hai bờ song song ) rồi chọn E ở bờ bên này (cùng bờ với Nam).Tiến hành đo 
BE=90m, góc BEA có 30 độ, góc BEC có 60 độ.Hỏi Nam tính khoảng cách thuyền 
đang đậu ở A đến bờ sông bên kia là bao nhiêu 
Giải : Ta có 0 0.tan60 .tan30 60 3( )AC BC AB BE BE m 
Câu 7. Giải hệ phương trình 
2 2
( 1) ( 1) 0
5
x x y y
x y
Giải : Ta có 
2 2 2 2
( 1) ( 1) 0 ( )( 1) 0
5 5
x x y y x y x y
x y x y
.Từ đó ta có 
nghiệm
10 10 10 10
; ; ; ;( 2;1);(1; 2)
2 2 2 2
Câu 8 . Cho (d): y=(2m-3)x-1.Tìm m để (d) cắt Ox,Oy tại A,B sao cho diện tích tam 
giác ABO bằng 4. 
Giải :Ta có 
 
 
 
. 1 23 25
4 4 2 3 ;
2 8 16 16
AOB
OA OB
S m m .Từ đó ta có 
nghiệm
10 10 10 10
; ; ; ;( 2;1);(1; 2)
2 2 2 2
Câu 9. Hình bên gồm 13 hình vuông diện tích 1.Các A,B,C là các đỉnh hình 
vuông.Điểm E nằm trênBC sao cho AE chia hình gồm 13 hình vuông bên thành 2 
phần diện tích bằng nhau.Tính AE. 
Giải :Ta có kẻ tam giác AHE vuông như hình.Ta có 
13 17 17 17
2 . 17 1 2,4
2 2 5 5
AHE
S AH EH EH BE 
Câu 10. Cho ta giác ABC có góc BAC bằng 90 độ, góc ABC=20 độ.Các điểm P,Q 
nằm trên AC,AB sao cho góc ABP bằng 10 độ, góc ACQ=30 độ.Tính số đo góc 
PQA. 
Giải :Gọi M là trung điểm BC.Qua M kẻ đường thẳng vuông góc BC cắt AB tại I.khi 
đó góc ICB bằng IBC=20 độ suy ra góc ICQ bằng 20 độ. 
Suy ra BP là phân giác tam giác ABC và CI là phân giác tam giac BCQ.Ta có tam 
giác IMB đồng dạng tam giác CAB nên 
 ; / /
2 2 2
BC AB QA CQ BC AB AB PA
PQ CI
IB MB QI QI BI MB BC PC
.Và ta có góc PQC 
bằng góc ICQ=20 độ.Nên góc PQA=40 độ. 
I.PHẦN TỰ LUẬN (10 điểm) (Thí sinh trình bày lời giải trên giấy) 
Câu 11. Giải phương trình 2( 1)( 3)( 5) 9x x x 
Giải : 2 2 2( 1)( 3)( 5) 9 ( 4 5)( 4 3) 9x x x x x x x 
2 2
2 10
( 4 6)( 4 4) 0 2 10
2
x
x x x x x
x
Câu 12. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O).Gọi M là trung điểm AB.Lấy D,E trên 
AB,AC sao cho BD<DA,AE<EC,OD=OE 
a.Chứng minh 2 2 .OA OD DADB 
b.Gọi G,H,K trung điểm BE,CD,ED.Chứng minh KGH EKH 
Giải : 
a.Vì MA=MB nên OM vuông góc AB.Ta có 
 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )( )OA OD OM MA OM MD AM MD MA MD MA MD
 . .( ) .DAMA DA MB DB DA BD 
b.Gọi N là trung điểm CA suy ra ON vuong góc AC.Ta có 
 2 2 . ; . . (*)OA OE EA EC OE OD DADB EA EC . Mà KG là đường tung bình 
tam giác BDE, KH là đường tung bình tam giác CDE nên từ (*) suy ra 
2 2
, / / , / /
BD EC KG KH KG KH
KG AB KH AC
EA DA EA DA AE DA
 GKH DAE GKH đồng dạng EAD KGH AED EKH 
Câu 13. Cho x,y,z thực dương thỏa mãn 2 2 2 2 1x y z xyz .Tìm max của 
 P xy yz zx xyz 
Giải : 
Ta có 2 2 2 24
1
1 2 4 ( ) .
8
x y z xyz xyz xyz xyz .Ta có 
 2 2 2 21 2 2 2 0 1 2 (*)x y z xyz xy z xyz z xy . Trong ba số x,y,z luôn 
tồn tại 2 số nhỏ hơn hoặc bằng 0,5 hay số lớn hơn hoặc bằng 0,5.Gỉa sử 
1 1
, ; , 2 2 4 1
2 2
x y x y x y xy .Nhân hai bđt trên với bđt (*) ta được 
max
1 5 5 1
(2 2 4 ) 1 2 .
2 8 8 2
z x y xy xy P xyz P x y z .