Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi Lớp 9 cấp trường - Năm học 2020-2021 (có đáp án)

 	 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TRƯỜNG
	 Năm học: 2020 – 2021
	 Môn: TOÁN
	 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)	
Câu 1: ( 3 điểm )
Chöùng minh raèng vôùi moïi x, y nguyeân thì 
 A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 laø soá chính phöông
Câu 2: ( 3 điểm )
Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 - y3 - 2y2 - 3y -1 = 0 
Câu 3: ( 2 điểm )
Giải phương trình.
Câu 4: ( 2 điểm )
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1
Tính: T = 
Câu 5: ( 4 điểm )
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = .
Câu 6: ( 3 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC. Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM ^ BC, IN ^ AC , IK ^AB . Đặt AK =x ; BM = y ; CN = z .
Tìm vị trí của I sao cho tổng x2 +y2 +z2 nhỏ nhất.
Câu 7: ( 3điểm )
 Cho tứ giác ABCD, gọi I là giao điểm của hai đường chéo.
 Kí hiệu 
a. Chứng Minh: 
b. Khi tứ giác ABCD là hình thang thì hệ thức trên xảy ra như thế nào?
----------------------HẾT----------------------
Đề thi này có 01 trang.
Giám thị không giải thích gì thêm.
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Câu
Đáp án
Biểu điểm
Câu 1
(3điểm )
A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
 = (x + y)(x + 4y). (x + 2y)(x + 3y) + y4 
 = (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4 
 = (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 – y2 ) + y4 
 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4 
 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 
Do x , y Z neân x2 + 5xy + 5y2 Z 
 A laø soá chính phöông
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Câu 2
(3điểm )
Phương trình đã cho tương đương với : x3 = y3 + 2y2 + 3y +1 (1)
 Nhận xét rằng: (2)
 (3)
Từ (2) và (3) suy ra: < x3 , Vì y 
Với y = -1 x= -1. Với y = 0 x= 1
Vậy phương trình có 2 cặp nghiệm nguyên là (-1; -1) và (1; 0)
1đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Câu 3
(2 điểm )
ĐKXĐ: x ³ -2. 
 Û 
 Û| + | -3| = 1
| + | 3 - | = 1
áp dụng BĐT |A|+ |B| ³| A + B| ta có : | + | 3 - | ³ 1
Dấu "=" xảy ra khi : 
()( 3 - ) ³ 0 Û 2 £ £ 3Û 2£ x £ 7
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
1đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
Câu 4
(2 điểm )
Ta có 	1+x2 = xy + yz + zx + x2 = y(x+z)+x(x+z) =(x+z)(x+y)	
Tương tự ta có:	1+y2 =(y+x)(y+z)
	1+z2 =(z+x)(z+y)	
T==
=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)	= 2(xy+yz+zx) =2 . Vậy T = 2
1đ
0.5đ
0.5đ
Câu 5
(4 điểm )
Có: 
Þ = 
Þ 
Tương tự: 
P £ =
 = = 
Dấu “=” xảy ra khi 
Từ đó giá trị lớn nhất của P là đạt được khi và chỉ khi 
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
Câu 6
(3 điểm )
A
h.36
B
C
M
N
KKK
x
n
z
m
y
k
I
Đặt BK = k , CM = m , AN = n , BC = a , AC = b , AB = c .
x2 +y2 +z2 = (IA2 - IK2 ) + (IB2 - IM2 ) + (IC2 - IN2 )
 = (IA2 - IN2 ) + (IB2 - IK2 ) + (IC2 - IM2 ) = n2 + k2 + m2 
Þ 2(x2 +y2 +z2 ) = x2 +y2 +z2 + n2 + k2 + m2
 = ( x2+ k2 )+( y2+ m2 )+( z2 + n2 ) 
x2+ k2 ≥ 	
y2+ m2 ≥	
 z2 + n2 ≥ 
Þ x2 +y2 +z2 ≥ . 
min(x2 +y2 +z2 ) = Û x = k , y = m , z = n.
Û I là giao điểm của các đường trung trực của DABC
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
Câu 7
(3 điểm )
. 
Gọi S1= SAIB ; S2 = S CID ; S3 = S BIC ; S 4 = S AID
 Kẻ 
 Ta có: 
Từ (1) và (2) suy ra: 
 Ta có: S ABCD = S1 + S2 + S3 + S4 
 Từ (3) và (4) ta suy ra:
b. Khi tứ giác ABCD là hình thang ta xét: 
 * Nếu AB // CD ta có: S ACD = S BCD suy ra: S 3 = S 4 
 * Nếu BC // AD ta có: S ABC = S CAD Suy ra: S 1 = S 2 
Dấu bằng xảy ra khi: S1 = S 2 = S 3 = S 4 = ABCD là hình bình hành
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ