Đề thi môn Toán - Kỳ thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên Bắc Giang - Năm học 2020-2021 - Sở GD & ĐT Bắc Giang (có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC GIANG
NĂM HỌC 2020 – 2021 
MÔN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
Câu I. (5,0 điểm)
Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức 
Tìm tất cả các giá trị của để nhận giá trị là số nguyên 
Cho parabol và đường thẳng là tham số). Tìm để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
Câu II. (5,0 điểm)
Giải phương trình: 
Giải hệ phương trình: 
Câu III. (3,0 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương để biểu thứcnhận giá trị là số nguyên
Trong mặt phẳng cho điểm phân biệt sao cho từ ba điểm bất kỳ luôn chọn ra được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1cm. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng chứa không ít hơn điểm trong 2020 điểm đã cho
Câu IV. (6,0 điểm)
	Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao của tam giác đồng quy tại Gọi là trung điểm của đoạn thẳng là giao điểm của hai đường thẳng và 
Chứng minh rằng và là tâm đường tròn nội tiếp 
Qua điểm kẻ đường thẳng song song với đường thẳng đường thẳng này cắt các đường thẳng lần lượt tại và Chứng minh 
Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với đường thẳng 
Câu V. (1,0 điểm)
	Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng:
ĐÁP ÁN
Câu I.
1.a)
Vậy với điều kiện 
1b) Ta có: Với 
Vì nhận giá trị nguyên nên nhận giá trị nguyên
Vậy các giá trị cần tìm là 
2) Phương trình hoành độ giao điểm của và là :
Ta có: 
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi Suy ra luôn cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ 
Nhận xét khác vì đúng với mọi 
Theo định lý Vi – et, ta có: 
Ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vì 
Vậy 
Câu II.
Điều kiện : . Phương trình đã cho tương đương:
Vậy 
Điều kiện: . Ta có:
Thay vào phương trình ta được phương trình : 
Với điều kiện bài toán 
Vì 
nên (4) vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm 
Câu III.
Yêu cầu bài toán tương đương chia hết cho 
Nếu 
;
Nếu 
Ta có: . Thử lại thì 
Nếu (vô lý vì 
Vậy các cặp số thỏa mãn là 
Gọi là một điểm bất kỳ trong số điểm đã cho
Xét hình tròn 
Trường hợp 1: Nếu hình tròn chứa tất cả 2019 điểm còn lại ta có điều phải chứng minh.
Trường hợp 2: Nếu trong 2019 điểm còn lại tồn tại điểm nằm ngoài hình tròn thì vẽ đường tròn Ta chứng minh điểm còn lại hoặc thuộc hình tròn hoặc thuộc hình tròn 
Thật vậy, giả sử tồn tại điểm C trong 2018 điểm còn lại nằm ngoài cả hai hình tròn như hình vẽ. Khi đó Như vậy với ba điểm thì khoảng cách của hai điểm bất kỳ luôn lớn hơn 1 (mâu thuẫn với đề bài)
Vậy 2018 điểm còn lại hoặc thuộc hình tròn hoặc thuộc hình tròn 
Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại một hình tròn chứa ít nhất điểm đã cho và chứa thêm điểm A hoặc điểm B
Vậy tồn tại một hình tròn có bán kính bằng chứa không ít hơn điểm đã cho.
Câu IV.
Chỉ ra tứ giác nội tiếp và 
Khi đó 
Chỉ ra tứ giác nội tiếp , suy ra 
Chỉ ra tứ giác nội tiếp, suy ra 
Ta có: vì tứ giác nội tiếp
Từ là phân giác của 
Chứng minh tương tự, ta được:là phân giác của 
Từ (4) và (5) là tâm đường tròn nội tiếp 
Gọi là giao điểm của 
Theo tính chất đường phân giác trong của 
Ta có là phân giác ngoài của tại đỉnh D. Theo tính chất đường phân giác ngoài của 
Từ (6) và(7) 
Vì , theo định lý Ta – let mở rộng ta có:
và 
Từ (8) và (9) 
Gọi là giao điểm của với đường tròn khác A) và là điểm đối xứng với qua O. Chứng minh được là hình bình hành
Suy ra ba điểm thẳng hàng
Vì tứ giác nội tiếp đường tròn (O)
Theo ý 1) thì 
Suy ra là tứ giác nội tiếp
Vì ba điểm thuộc đường tròn đường kính đường tròn đường kính 
Ta có 
Kết hợp với thẳng hàng
Mặt khác ba điểm thẳng hàng nên 4 điểm thẳng hàng
Xét có và là trực tâm 
Suy ra 
Câu V.
Chứng minh với ba số dương ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Chứng minh được bất đẳng thức . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Đặt 
Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:
Chứng minh tương tự, ta được:
Khi đó ta có:
Suy ra	
Ta có :
Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được:
Vậy . Đẳng thức xảy ra