Đề thi môn Toán - Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT - Năm học 2011-2012 - Sở GD & ĐT Nghệ An (có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2011 - 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1. ( 3 điểm).
 Cho biểu thức: A = ( + ): 
Nêu điều kiện xác đinh và rút gọn biểu thức A
 Tìm giá trị của x để A = 
 TÌm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9 .
Câu 2. ( 2,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai: x2 - 2( m + 2)x + m2 + 7 = 0. (1), (m là tham số)
Giải phương trình (1) khi m = 1.
Tìm m để ph (1) có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn: x1x2 - 2(x1 + x2 ) = 4
Câu 3. (1,5 điểm).
Quảng đường AB dài 120km. Hai xe máy khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Vận tốc của xe máy thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe máy thứ hai là 10km/h nên xe máy thứ nhất đến B trước xe máy thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe.
Câu 4.( 3,5 điểm).
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE tới đừơng tròn( B, C là hai tiếp điểm, D nằm giữa A và E). Gọi H là giao điểm của AO và BC.
CMR: ABOC là tứ giác nội tiếp 
CMR: AH.AO = AD. AE
Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB, AC theo thứ tự tại I và K. Qua điểm O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt tia AB tại P và cắt tia AC tại Q.
CMR: IP + KQ ³ PQ
ĐÁP ÁN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2011 - 2012
MÔN TOÁN ( biểu điểm dự kiến)
Câu 1. (3 điểm).
a) ĐK: x > 0, x ≠ 1. 0.25 điểm
Rút gọn: A = ( + ): 
A = . 
 A = 0.75 điểm
b) A = Þ = Þ ..... x = tmđk
 Vậy với x = thì A = 1 điểm
P = A - 9 Þ P = - 9 Þ P = 1 - - 9 
 P = 1 - ( + 9 ) 
Do + 9 ³ 2. 3 = 6 ( theo Cosi) 
 Dấu “=” xảy ra khi x = tmđk
Suy ra P £ 1 - 6 = -5 
 Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi x = 1 điểm
Câu 2 ( 2 điểm). 
Khi m = 1 ta có phương trình: x2 - 6x + 8 = 0 
D’ = 1 Þ x1 = 2 ; x2 = 4
Vậy với m = 1 phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 2, x2 = 4. 1 điểm
D’ = (m + 2)2 - (m2 + 7) 
 D’ = 4m - 3 .
 Để pt có hai nghiệm thì D’ ³ 0 hay x ³ 	0.5 điểm
 Với x ³ , theo Vi - et ta có x1.x2 = m2 + 7 ; x1 + x2 = 2m + 4
 x1.x2 - 2(x1 + x2 ) = 4 nên m2 + 7 - 2(2m + 4) = 4 
m2 - 4m - 5 = 0 Þ m = -1 ( loại), m = 5 (tm)
Vậy với m= 5 thì pt có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn: x1x2 - 2(x1 + x2 ) = 4 0.5 điểm
Câu 3. ( 2 điểm)
Gọi vận tốc của xe máy thứ nhất là x (km/h), ĐK x > 10 0.25đ
suy ra vận tốc của xe máy thứ hai là : x - 10 (km/h).
 Thời gian xe thứ nhất đi hết quảng đường AB là : (h). 0.25đ
 Thời gian xe thứ hai đi hết quảng đường AB là : (h). 0.25đ
Do xe thứ nhất đến B trước xe thứ hai 1 giờ nên ta có pt
 - = 1, Þ x2 - 10x - 1200 = 0. 	
 D’ = 1225, x1 = 40 (tm) ; x2 = -30 (loại)	 1đ
Vậy vận tốc của xe máy thứ nhất là : 40(km/h),
Vận tốc của xe máy thứ hai là : 30 (km/h). 	 0.25đ
Câu 4( 3.5 điểm)
Hình vẽ : 0.5 điểm
Ta có = 900 ( do AB là tiếp tuyến của đt(O))
 = 900 ( do AC là tiếp tuyến của đt (O)).
 suy ra + = 1800 suy ra tứ giác ABOC nội tiếp 1 điểm
AB và AC là hai tiếp tuyến của đt(O) nên AB = AC và AO là tia phân giác của . suy ra DABC cân tại A có AH là đường phân giác nên AH cũng là đường cao suy ra AH ^ BC tại H. 
 + AB là tiếp tuyến của đt (O) nên AB ^ OB.
DABO vuông tại B có BH ^ AO nên ta có AB2 = AH.AO (1)
H
Q
P
E
D
I
K
C
B
O
A
+ Ta lại có D ABD ∽ D AEB 
 vì chung, = ( cùng chắn cung BD) 
 suy ra: = 
suy ra AB.AB =AD.AE
 hay AB2 = AD.AE (2)
Từ ( 1) và (2) ta có 
AH.AO = AD.AE ( = AB2). 1điểm
 Dễ dàng chứng minh được OP = OQ và = 
 Ta có IP + KQ ³ 2 Côsi (3)
 D IPO ∽ D OQK (g - g). vì = và = 
 ( Ta có 2 + 2 = 1800; 2 + 2 + + = 1800
suy ra 2 + 2 = 2 + 2 + + 
 Þ 2 = 2 + 2 vì = 
 Þ 2 = 2 ( + ) = 2 
 Þ = hay = )
 = Þ IP . KQ = PO.OQ Þ IP.KQ = PO2 vì PO = QO
Thay vào (3) có IP + KQ ³ 2PO = PQ ( vì PO = PQ)
Vậy IP + KQ ³ PQ (đpcm) 1 điểm