Đề thi thử tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở GD & ĐT Quảng Ngãi (có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 QUẢNG NGÃI
Đề thi thử
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT
Năm học 2018 - 2019
Câu 1 : (2 điểm )
Tính tổng S =	1	+	1	+ ... +1
1.2.3	2.3.4	2017.2018.2019
Cho các số thực m,n,p,x,y,z thỏa mãn các điều kiện
x = ny + pz; y = mx + pz; z = mx + ny, x + y + z ¹ 0 .Tính giá trị của biểu thức
æ 2019	2019	2019
ö2018
B = ç 1+	+	+	- 4037 ÷
+ 2019 .
è	m	1+ n	1+ p	ø
Câu 2 : (2 điểm )
3 x3 + 5x2
5x2 - 2
6
Giải phương trình	-1 =
2 y
ì x +	= 2 +

1 - 3
í
Giải hệ phương trình ï
ï
î
y	x	x
x3 - xy - 9x +12
y
Câu 3 : (2 điểm )

a5	a4

7a3

5a2	a
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a thì biểu thức tự nhiên .
A =	+	+	+	+	cũng là một số 120	12	24	12	5
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 5x2 + 8y2 = 20412
Câu 3 : (3 điểm )
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R cố định và điểm D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác .Gọi E và F lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABD và tam giác ACD
Chứng minh AEO = ADC
và tứ giác AEOF là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh tam giác OEF là tam giác cân .
Khi B,C cố định và A di động trên (O) ( A ¹ B; A ¹ C ).Chứng minh diện tích tứ giác AEOF không đổi .
Câu 4 : (1 điểm ) Trong mặt phẳng ,có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng mà mỗi đường thẳng trong số các đường thẳng đó đều cắt được đúng 2018 đường thẳng khác ?
Bài giải toàn bài
Câu 1 : (2 điểm )
Tính tổng S =	1	+	1	+ ... +1
1.2.3	2.3.4	2017.2018.2019
Cho các số thực m,n,p,x,y,z thỏa mãn các điều kiện
x = ny + pz; y = mx + pz; z = mx + ny, x + y + z ¹ 0 .Chứng minh rằng	1
1+ m

+	1 1+ n

+	1	= 2 1+ p
Tính tổng S =	1	+

1	+ ... +
Bài làm
1
1.2.3	2.3.4	2016.2017.2018
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được điều sau luôn đúng :
P(x) =	1	+	1	+ ... +	1	=
 
n2 + 3n

với mọi n nguyên dương .
1.2.3	2.3.4

n(n +1).(n + 2)	4(n2 + 3n + 2)
Khi đó S =	1	+	1
+ ... +	1
= P(2017) =
4074340
= 1018585 .
1.2.3	2.3.4	2016.2017.2018	16297368	4074342
Vậy S = 1018585 .
4074342
ï
ì 1	=	2 y
ì x = ny + pz
ï n +1	x + y + z
Ta có
ï y = mx + pz Þ x + y + z = 2(ny + pz + mx) .Từ đó ta suy ra : ï 1	=
2z	.
ï
í
ï z = mx + ny
í p +1

x + y + z
î
î	ï 1 = 2x	
1	1	1

æ 2019	2019	2019
ï m +1
ö2018
x + y + z
Nên ta có
1+
+	+	= 2 .Vậy
B = ç
+	+	- 4037 ÷
+ 2019 = 2020
m
5x2 - 2
6
Câu 2 : (2 điểm )
1+ n	1+ p
è 1+ m
1+ n	1+ p	ø
3 x3 + 5x2
Giải phương trình
-1 =
ì
í
Giải hệ phương trình ï
x +	= 2 +
2 y
y	x	x
1 - 3
î
ï	x3 - xy - 9x +12 = 0
Bài làm
y
3 x3 + 5x2
5x2 - 2
6
a.Đặt: a =	;b =	³ 0
Ta có: a−1=b. Từ cách đặt ta có:

5x2 - 2
6
ìa3 - x3 = 5x2
a = 3 x3 + 5x2 ;b =	³ 0 í
î6b2 + 2 = 5x2

Þ (a - 2)3 = x3 Þ x = a - 2
Từ đó, x là nghiệm của PT:
(x + 2)3 - x3 = 5x2 Û x2 +12x + 8 = 0 Û éx = 2(-3 +
ê
êë x = 2(-3 -
7) .
7)
Thử lại:
x = 2(-3 +
7) thỏa mãn.Nghiệm của phương trình là :
x = 2(-3 +
7) .
b. Điều kiện:
x ¹ 0; y > 0 .

y
í
ì x + 2a = 2 + 1 - 3(1)
Đặt:	= a > 0 .Khi đó hệ phương trình trở thành: ï
a	x	x	a
Biến đổi phương trình (1) trở thành:
x + 2a = 2 + 1 - 3 Û (2a + x)(a + x -1) = 0
a	x	x	a
ïîx3 - xa2 - 9x +12 = 0(2)
TH1: 2a + x = 0 Þ x = -2a thay vào phương trình (2) ta được:
-6a3 +18a +12 = 0 Û (a - 2)(a +1)(a + 6) = 0 Þ a = 2 (theo điều kiện).
Từ đó suy ra
x = -4; y = 4
(thử lại ta thấy thỏa mãn bài ra).
TH2:
a + x -1 = 0 Þ a =1- x
thay vào phương trình (2) ta được:
x2 - 5x + 6 = 0 Û éx = 2 Þ éa = -1(không thỏa mãn ).
ê x = 3	êa = -2
ë	ë
Kết luận : Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là (x,y)=(−4,4)
Câu 3 : (2 điểm )

a5	a4

7a3

5a2	a
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a thì biểu thức tự nhiên.
A =	+	+	+	+	cũng là một số 120	12	24	12	5
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 5x2 + 8y2 = 20412 .
a5	a4

7a3

5a2
Bài làm
a	a(a +1)(a + 2)(a + 3)(a + 4)
Ta có
A =	+	+	+	+	=	.
120	12	24	12	5	120
Vì a,a+1,a+2,a+3,a+4a,a+1,a+2,a+3,a+4 là 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3,5.
Vì a,a+1,a+2,a+3a,a+1,a+2,a+3 là 4 số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 4 và một số chia hết cho 2 => a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)⋮120 do (3,5,8)=1
Vậy
a5	a4
7a3
5a2	a
với mọi số tự nhiên a thì biểu thức
A =	+	+	+	+	cũng là một số tự nhiên.
120	12	24	12	5
Ta có: 20412⋮2 và8y2 2 nên x⋮2
Đặt khi đó phương trình trở thành:
1
5x 2 + 2 y2 = 5103 . Vì 5103⋮3
Nên
5x 2 + 2 y2 3 .Hay x 2 + y2 3 Þ x 3; y 3 .Đặt x = 3x
thì phương trình trở
1	1	1	1	2
thành 5x 2 + 2y 2 = 567 .Suy luận tương tự ta cũng đặt x = 3x	và y
= 3y , ta
2	1	2	3	1	2
được 5x 2 + 2 y 2 = 63 .Đặt x = 3x và y = 3y ,ta được 5x 2 + 2 y 2 = 7 .Nếu x = 0; y = 0
3	2	3	4	2	3	4	3	4	3
thì phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu
x4 ¹ 0; y3 ¹ 0 thì
x4 = ±1và y3 = ±1 Þ x = ±54, y = ±27
.Vậy
x = ±54, y = ±27
Câu 3 : (3 điểm )
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R cố định và điểm D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác .Gọi E và F lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABD và tam giác ACD
Chứng minh AEO = ADC
và tứ giác AEOF là tứ giác nội tiếp
Chứng minh tam giác OEF là tam giác cân .
Khi B,C cố định và A di động trên (O) (A khác B,A khác C).Chứng minh diện tích tứ giác AEOF không đổi .
Bài làm
L
A
F
M
E	N
O
B	D	C
K
Gọi M ,N là trung điểm của AB,AC .Do đó EA=EB,OA=OB nên O,M,E thẳng
hàng . Nên ta có
AEO = 1800 - AME = 1800 - 1 AMB = 1800 - ADB = ADC
2
.Tương tự ta có
AFO = AFN = 1800 - ADC .Nên lúc đó ta có Suy ra tứ giác AEOF nội tiếp .
AFO + AEO = 1800 .
OAE = AME - AOM = ADC - ACB = DAB .Mà ta có
OAF = 1800 - AON - AFN = 1800 - ABC - ADB = DAB .Nên khi đó ta có suy ra
OAE = OAF Þ OE = OF
nên tam giác OEF là tam giác cân .
Ta có
SAEO = SBEO =, SAFO = SLEOF .AD cắt (O) tại K ,KL là đường kính của(O),thì AL
vuông góc với AK và EF cũng vuông góc với AK nên suy ra AL song song với EF
.Nên ta có
SAEOF = SLEOF
.Mà KBD = KAC = DAB
.Nên KB là tiếp tuyến của (E) nên
KBE = 900 mà KBL = 900 nên B,L,E thẳng hàng .Tương tự C,L,F thẳng hàng .Vậy
2SAEOF
= SLEOF + SBEO + SCFO
= SLBC
SOBC
(không đổi ).
Câu 4 : (1 điểm ) Trong mặt phẳng ,có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng mà mỗi đường thẳng trong số các đường thẳng đó đều cắt được đúng 2018 đường thẳng khác
?
Bài làm
Giả sử có n đường thẳng .Đường thẳng a cắt 2018 đường là b1;b2;....;b2018.Suy ra a phải song song với n-2019 đường thẳng còn lại.
Vậy đường thẳng bi (với i chạy từ 1 đến 2018) cắt n-2019 đường thẳng này mà số đường thẳng bi có thể cắt thêm £ 2017 đường thẳng ( trừ đường thẳng a).
Vậy n - 2019 £ 2017 Þ n £ 4036. Dấu = xảy ra Û bi song song với 2017 đường thẳng
có dạng bj ( j khác i và j chạy từ 1 đến 2018).
Và a phải song song với 2017 đường thẳng còn lại không tính đường thẳng a và 2018 đường thẳng b1;b2;....;b2018.Tức là có 2018 đường thẳng song song với nhau và vuông góc với 2018 đường thẳng còn lại.Vậy Max(n)=4036.