Tài liệu bài tập ôn thì vào THPT môn Toán

 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 1 
PHẦN I: ĐẠI SỐ 
CHỦ ĐỀ 1: CĂN THỨC – BIẾN ĐỔI CĂN THỨC. 
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa. 
Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau). 
 3x16x 14) 
x2x
1
 )7
x5
3x
3x
1
 13) 
x7
3x
 6)
65xx
1
 12) 
27x
x3
 5)
35x2x 11) 12x 4)
73xx 10) 
147x
1
 3)
2x 9) 2x5 2)
3x 8) 13x 1)
2
2
2
2
2
2
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức. 
Bài 1: Đưa một thừa số vào trong dấu căn. 
22 x
7
x e) ;
x25
x
5)(x d) ;
5
2
x c) 0);x (víi
x
2
x b) ;
3
5
5
3
 a)
Bài 2: Thực hiện phép tính. 
333;3
33
3152631526 h) ;2142021420 g)
725725 f) ;10:)4503200550(15 c)
26112611 e) ;0,4)32)(10238( b)
;526526 d) ;877)714228( a)
  
Bài 3: Thực hiện phép tính. 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 2 
1027
1528625
 c) 
57
1
:)
31
515
21
714
 b) 
6
1
)
3
216
28
632
( a)
 
Bài 4: Thực hiện phép tính. 
62126,5126,5 e)
77474 d) 25353 c)
535)(3535)(3 b) 1546)10)(15(4 )
 a
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau: 
53
53
53
53
 d) 
65
625
65
625
 c)
113
3
113
3
 b) 
1247
1
1247
1
 a)
Bài 6: Rút gọn biểu thức: 
10099
1
...
43
1
32
1
21
1
c) 
34710485354b) 4813526a)
Bài 7: Rút gọn biểu thức sau: 
4
3y6xy3x
yx
2
 e)
)4a4a(15a
12a
1
 d)
;
4a
a42a8aa
 c)
1.a vµ 0a víi,
1a
aa
1
1a
aa
1 b)
b.a vµ 0b 0,a víi,
ba
1
:
ab
abba
 a)
22
22
24

 
Bài 8: Tính giá trị của biểu thức 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 3 
a.)y)(1x(1xybiÕt , x1yy1xE e)
1.x2x9x2x16biÕt , x2x9x2x16D d)
3;3yy3xxbiÕt , yxC c)
;1)54(1)54(x víi812xxB b)
549
1
y;
25
1
x khi2y,y3xxA a)
2222
2222
22
333
2
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán. 
Bài 1: Cho biểu thức 
21x
3x
P
a) Rút gọn P. 
b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 - 3 ). 
c) Tính giá trị nhỏ nhất của P. 
Bài 2: Xét biểu thức 1.
a
a2a
1aa
aa
A
2
a) Rút gọn A. 
b) Biết a > 1, hãy so sánh A với A . 
c) Tìm a để A = 2. 
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 
Bài 3: Cho biểu thức 
x1
x
2x2
1
2x2
1
C
a) Rút gọn biểu thức C. 
b) Tính giá trị của C với 
9
4
x . 
c) Tính giá trị của x để .
3
1
C 
Bài 4: Cho biểu thức 
222222 baa
b
:
ba
a
1
ba
a
M
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 4 
a) Rút gọn M. 
b) Tính giá trị M nếu .
2
3
b
a
c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1. 
Bài 5: Xét biểu thức .
2
x)(1
1x2x
2x
1x
2x
P
2 
 
a) Rút gọn P. 
b) Chứng minh rằng nếu 0 0. 
c) Tìm giá trị lơn nhất của P. 
Bài 6: Xét biểu thức .
x3
1x2
2x
3x
6x5x
9x2
Q
a) Rút gọn Q. 
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1. 
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của Q cũng là số nguyên. 
Bài 7: Xét biểu thức 
yx
xyyx
:
yx
yx
yx
yx
H
233
a) Rút gọn H. 
b) Chứng minh H ≥ 0. 
c) So sánh H với H . 
Bài 8: Xét biểu thức .
1aaaa
a2
1a
1
:
1a
a
1A 
a) Rút gọn A. 
b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1. 
c) Tính các giá trị của A nếu 200622007a . 
Bài 9: Xét biểu thức .
x1
2x
2x
1x
2xx
39x3x
M
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 5 
a) Rút gọn M. 
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của M cũng là số nguyên. 
Bài 10: Xét biểu thức .
3x
3x2
x1
2x3
3x2x
11x15
P
a) Rút gọn P. 
b) Tìm các giá trị của x sao cho .
2
1
P 
c) So sánh P với 
3
2
. 
Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – ĐỊNH LÝ VI-ÉT. 
Dạng 1: Giải phương trình bậc hai. 
Bài 1: Giải các phương trình 
1) x2 – 6x + 14 = 0 ; 2) 4x2 – 8x + 3 = 0 ; 
3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = 0 ; 
5) x2 – 4x + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – 2 = 0 ; 
7) x2 + 2 2 x + 4 = 3(x + 2 ) ; 8) 2 3 x2 + x + 1 = 3 (x + 1) ; 
9) x2 – 2( 3 - 1)x - 2 3 = 0. 
Bài 2: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm: 
1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ; 
3) x2 – (1 + 3 )x + 3 = 0 ; 4) (1 - 2 )x2 – 2(1 + 2 )x + 1 + 3 2 = 0 ; 
5) 3x2 – 19x – 22 = 0 ; 6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ; 
7) ( 3 + 1)x2 + 2 3 x + 3 - 1 = 0 ; 8) x2 – 11x + 30 = 0 ; 
9) x2 – 12x + 27 = 0 ; 10) x2 – 10x + 21 = 0. 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 6 
Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm. 
Bài 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm. 
1) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ; 
3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ; 
5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ; 
7) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 
9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0. 
Bài 2: 
a) Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phương trình sau luôn có nghiệm: 
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 
b) Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì phương trình sau có hai nghiệm phân biết: 
x) (Èn 0
cx
1
bx
1
ax
1
c) Chứng minh rằng phương trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = 0 vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba 
cạnh của một tam giác. 
d) Chứng minh rằng phương trình bậc hai: 
(a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. 
Bài 3: 
a) Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm: 
ax2 + 2bx + c = 0 (1) 
bx2 + 2cx + a = 0 (2) 
cx2 + 2ax + b = 0 (3) 
b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau: 
x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1) 
x2 - 2bx + 4a2 = 0 (2) 
x2 - 4ax + b2 = 0 (3) 
x2 + 4bx + a2 = 0 (4) 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 7 
Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất 2 phương trình có nghiệm. 
c) Cho 3 phương trình (ẩn x sau): 
(3) 0
cb
1
x
ba
ba2a
cx
(2) 0
ba
1
x
ac
ac2c
bx
(1) 0
ac
1
x
cb
cb2b
ax
2
2
2
với a, b, c là các số dương cho trước. 
Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm. 
Bài 4: 
a) Cho phương trình ax2 + bx + c = 0. 
Biết a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm. 
b) Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm nếu một trong hai điều 
kiện sau được thoả mãn: 
a(a + 2b + 4c) < 0 ; 
5a + 3b + 2c = 0. 
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm của phương 
trình bậc hai cho trước. 
Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – 3x – 7 = 0. 
Tính: 
4
2
4
1
3
2
3
1
1221
21
21
2
2
2
1
xxF ;xxE
;x3xx3xD ;
1x
1
1x
1
C
;xxB ;xxA
Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là 
1x
1
 vµ 
1x
1
21 
. 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 8 
Bài 2: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình: 5x2 – 3x – 1 = 0. Không giải phương trình, tính giá 
trị của các biểu thức sau: 
.
x4xx4x
3xx5x3x
C
;
x
1
x
1
1x
x
x
x
1x
x
x
x
B
;x3x2xx3x2xA
2
2
1
2
21
2
221
2
1
2
211
2
1
2
2
1
2
1
2
21
3
22
2
1
3
1
Bài 3: 
a) Gọi p và q là nghiệm của phương trình bậc hai: 3x2 + 7x + 4 = 0. Không giải phương trình hãy 
thành lập phương trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là 
1p
q
 vµ 
1q
p
. 
b) Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là 
2610
1
 vµ 
7210
1
. 
Bài 4: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x – m = 0. 
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với mọi m. 
b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn 
1
22
2
11
x
1
xy vµ 
x
1
xy . 
Bài 5: Không giải phương trình 3x2 + 5x – 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau: 
2
2
1
1
21
1
2
2
1
1221
x
2x
x
2x
D ;xxC
;
1x
x
1x
x
B ;2x3x2x3xA
Bài 6: Cho phương trình 2x2 – 4x – 10 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Không giải phương trình hãy thiết lập 
phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 
Bài 7: Cho phương trình 2x2 – 3x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai 
nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 9 
1
2
2
2
2
2
1
1
22
11
x
x
y
x
x
y
 b) 
2xy
2xy
 a) 
Bài 8: Cho phương trình x2 + x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai 
nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: 
0.5x5xyy
xxyy
 b) ; 
3x3x
y
y
y
y
x
x
x
x
yy
 a)
21
2
2
2
1
2
2
2
121
21
1
2
2
1
1
2
2
1
21
Bài 9: Cho phương trình 2x2 + 4ax – a = 0 (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy lập phương 
trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: 
21
2121
21 xx
y
1
y
1
 vµ 
x
1
x
1
yy 
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm có nghiệm kép,vô nghiệm. 
Bài 1: 
a) Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (ẩn x). 
Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. 
b) Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. 
Tìm m để phương trình có nghiệm. 
a) Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0. 
- Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. 
- Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. 
b) Cho phương trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0. 
Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
Bài 2: 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 10 
a) Cho phương trình: 
06mm
1x
x12m2
12xx
4x 2
224
2
. 
Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm. 
b) Cho phương trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. Xác định m để 
phương trình có ít nhất một nghiệm. 
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho 
trước. 
Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 
1) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. 
2) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại. 
3) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu) 
4) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm). 
5) Định m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. 
6) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 2. 
7) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ 
nhất. 
Bài 2: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra: 
a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 
b) mx2 – (m – 4)x + 2m = 0 ; 2(x12 + x22) = 5x1x2 
c) (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 
d) x2 – (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0. 
Bài 3: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra: 
a) x2 + 2mx – 3m – 2 = 0 ; 2x1 – 3x2 = 1 
b) x2 – 4mx + 4m2 – m = 0 ; x1 = 3x2 
c) mx2 + 2mx + m – 4 = 0 ; 2x1 + x2 + 1 = 0 
d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = 0 ; x1 = x22 
e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = 0 ; x1 = x22 
f) x2 – 4x + m2 + 3m = 0 ; x12 + x2 = 6. 
Bài 4: 
a) Cho phươnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình 
có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 11 
b) Chư phương trình bậc hai: x2 – mx + m – 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 
sao cho biểu thức 
)xx2(1xx
3x2x
R
21
2
2
2
1
21
 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 
c) Định m để hiệu hai nghiệm của phương trình sau đây bằng 2. 
mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0. 
 Bài 5: Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi 
nghiệm kia là 9ac = 2b2. 
Bài 6: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để 
phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là : 
kb2 = (k + 1)2.ac 
Dạng 6: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số. 
Bài 1: 
a) Cho phương trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; 
x2 thoả mãn 1 < x1 < x2 < 6. 
b) Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân 
biệt x1 ; x2 thoả mãn: - 1 < x1 < x2 < 1. 
Bài 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1. 
a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m. 
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có hai 
nghiệm lớn hơn 2. 
Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0. 
a) Với giá trị nào của tham số a, phương trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép. 
b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn – 1. 
Bài 4: Cho phương trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0. 
a) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1. 
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2. 
Bài 5: Tìm m để phương trình: x2 – mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x1 ≤ - 2 ≤ x2. 
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số. 
Bài 1: 
a) Cho phương trình: x2 – mx + 2m – 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình 
không phụ thuộc vào tham số m. 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 12 
b) Cho phương trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. Khi phương trình có nghiệm, 
hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. 
c) Cho phương trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; 
x2. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số – 1 và 
1. 
Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phương trình có nghiệm, 
hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. 
Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0. 
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m. 
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m. 
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: 
2
5
x
x
x
x
1
2
2
1 . 
Bài 4: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0. 
a) Giải và biện luận phương trình theo m. 
b) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2: 
- Tìm một hệ thức giữa x1 ; x2 độc lập với m. 
- Tìm m sao cho |x1 – x2| ≥ 2. 
Bài 5: Cho phương trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Chứng minh rằng nếu phương trình có hai 
nghiệm x1 ; x2 thì: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + 2 = 0. 
Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc hai. 
Kiến thức cần nhớ: 
1/ Định giá trị của tham số để phương trình này có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của 
phương trình kia: 
Xét hai phương trình: 
ax2 + bx + c = 0 (1) 
a’x2 + b’x + c’ = 0 (2) 
trong đó các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m. 
Định m để sao cho phương trình (2) có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phương trình 
(1), ta có thể làm như sau: 
i) Giả sử x0 là nghiệm của phương trình (1) thì kx0 là một nghiệm của phương trình (2), suy ra 
hệ phương trình: 
(*) 
0c'kxb'xka'
0cbxax
0
2
0
2
0
2
0
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 13 
Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m. 
ii) Thay các giá trị m vừa tìm được vào hai phương trình (1) và (2) để kiểm tra lại. 
2/ Định giá trị của tham số m để hai phương trình bậc hai tương đương với nhau. 
Xét hai phương trình: 
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3) 
a’x2 + b’x + c’ = 0 (a’ ≠ 0) (4) 
Hai phương trình (3) và (4) tương đương với nhau khi và chỉ khi hai phương trình có cùng 1 tập 
nghiệm (kể cả tập nghiệm là rỗng). 
Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phương trình bậc hai tương đương với nhau ta xét hai 
trường hợp sau: 
i) Trường hợp cả hai phương trinhg cuùng vô nghiệm, tức là: 
0
0
)4(
)3(
Giải hệ trên ta tịm được giá trị của tham số. 
ii) Trường hợp cả hai phương trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau: 
(4)(3)
(4)(3)
(4)
(3)
PP
SS
0Δ
0Δ
Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phương trình (*) có thể đưa về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn như sau: 
c'ya'xb'
caybx
Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm như sau: 
- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m. 
- Tìm m thoả mãn y = x2. 
- Kiểm tra lại kết quả. 
- 
Bài 1: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung: 
2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 
4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 14 
Bài 2: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó: 
a) 2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0. 
b) 2x2 + mx – 1 = 0; mx2 – x + 2 = 0. 
c) x2 – mx + 2m + 1 = 0; mx2 – (2m + 1)x – 1 = 0. 
Bài 3: Xét các phương trình sau: 
ax2 + bx + c = 0 (1) 
cx2 + bx + a = 0 (2) 
Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phương trình trên có một nghiệm chung duy 
nhất. 
Bài 4: Cho hai phương trình: 
x2 – 2mx + 4m = 0 (1) 
x2 – mx + 10m = 0 (2) 
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của 
phương trình (1). 
Bài 5: Cho hai phương trình: 
x2 + x + a = 0 
x2 + ax + 1 = 0 
a) Tìm các giá trị của a để cho hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung. 
b) Với những giá trị nào của a thì hai phương trình trên tương đương. 
Bài 6: Cho hai phương trình: 
x2 + mx + 2 = 0 (1) 
x2 + 2x + m = 0 (2) 
a) Định m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung. 
b) Định m để hai phương trình tương đương. 
c) Xác định m để phương trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt 
Bài 7: Cho các phương trình: 
x2 – 5x + k = 0 (1) 
x2 – 7x + 2k = 0 (2) 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 15 
Xác định k để một trong các nghiệm của phương trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các nghiệm của 
phương trình (1). 
Chủ đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
A - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: 
Dạng 1: Giải hệ phương trình cơ bản và đưa được về dạng cơ bản 
Bài 1: Giải các hệ phương trình 
1815y10x
96y4x
 6) ;
142y3x
35y2x
 5) ;
142y5x
024y3x
 4)
106y4x
53y2x
 3) ;
53y6x
32y4x
 2) ;
5y2x
42y3x
 1)
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 
5
6y5x
103y-6x
8
3yx
2-5y7x
 4) ;
7
5x6y
y
3
1x
2x
4
27y
5
3
5x-2y
 3) 
 ;
121x3y33y1x
543y4x42y3-2x
 2) ;
4xy5y54x
6xy32y23x
 1)
Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ 
Giải các hệ phương trình sau 
13.44yy548x4x2
72y31x5
 5) ;
071y22xx3
01y2xx2
 4)
;
4
2y
5
1x
2
7
2y
3y
1x
1x
 3) ;
9
4y
5
1x
2x
4
4y
2
1x
3x
 2) ;
1
2xy
3
2yx
4
3
2xy
1
2yx
2
 1)
222
2
Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 16 
Bài 1: 
a) Định m và n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2 ; - 1). 
32m3nyx2m
nmy1n2mx
b) Định a và b biết phương trình: ax2 - 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2. 
Bài 2: Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy: 
a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1 
b) mx + y = m2 + 1 ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m – 2. 
Bài 3: Cho hệ phương trình 
sè) thamlµ (m 
4myx
m104ymx
a) Giải hệ phương trình khi m = 2 . 
b) Giải và biện luận hệ theo m. 
c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y > 0. 
d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dương. 
e) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho S = x2 – y2 đạt giá trị nhỏ nhất. (câu hỏi tương 
tự với S = xy). 
f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đường 
thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau. 
Bài 4: Cho hệ phương trình: 
5my2x
13mmyx1m
a) Giải và biện luận hệ theo m. 
b) Với các giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y < 0. 
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. 
d) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x2 + 2y = 0. (Hoặc: sao cho M (x ; y) nằm 
trên parabol y = - 0,5x2). 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 17 
e) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm D(x ; y) luôn luôn nằm trên một 
đường thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau. 
Bài 5: Cho hệ phương trình: 
12ymx
2myx
a) Giải hệ phương trình trên khi m = 2. 
b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0. 
c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là các số nguyên. 
d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x – y đạt giá trị lớn nhất. 
B - Một số hệ bậc hai đơn giản: 
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I 
Ví dụ: Giải hệ phương trình 
28yx3yx
11xyyx
22
Bài tập tương tự: 
Giải các hệ phương trình sau: 
35yyxx
30xyyx
 10) 
5xyyx5
6yxyx
 9)
yx7yxyx
yx19yxyx
 8) 
6yx
232yxyx
 7)
31xyyx
101y1x
 6) 
17xy1yy1xx
81y1x
 5)
133yxy3x
1y3xyx
 4) 
84xyyx
19yxxy
 3)
2yxyx
4yxyx
 2) 
7xyyx
8yxyx
 1)
22
2
22
222
22
22
22
22
22
22
22
22
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 18 
Ví dụ: Giải hệ phương trình 
x21y
2y1x
3
3
Bài tập tương tự: 
Giải các hệ phương trình sau: 
8x3yy
8y3xx
 8) 
y
3
x
1
2y
x
3
y
1
2x
 7)
y
x
43xy
x
y
43yx
 6) 
x2y2xy
y2x2yx
 5)
1yxyx
1yxyx
 4) 
x2yy
y2xx
 3)
x2xy
y2yx
 2) 
3x1y
3y1x
 1)
3
3
22
22
2
2
3
3
22
22
2
2
3x7yy
3y7xx
 10) 
x3yy
y3xx
 9)
3
3
2
2
Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số 
Giải các hệ phương trình sau: 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 19 
141y5y8x2x
61y3y8xx
 15)
084y4xyx
084y4xyx
 14) 
5y3xxy
1yxxy
 13)
02y3xxy
02y2xxy
 12) 
183y2x
362y3x
 11)
40yx
53y2x
 10) 
0222
12
 9)
02
0
 8) 
02
022
 7)
1232
835
 6) 
05
0532
 5)
4
01122
 4) 
452
442
 3)
8
12
 2) 
03
01
 1)
22
22
2222
22
2
2
22
2
2
22
22
2
yxyyx
xyyx
yx
yx
xy
yx
yx
yxyx
yx
yxyx
xyxy
xyyx
xyxyx
xxxy
yxxy
yxyx
xyx
yx
Chủ đề 4: HÀM SỐ ĐỒ THỊ. 
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số 
Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau: 
a) y = 2x – 5 ; b) y = - 0,5x + 3 
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi: 
a) a = 2 ; b) a = - 1. 
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng 
Bìa 1: Viết phương trình đường thẳng (d) biết: 
a) (d) đi qua A(1 ; 2) và B(- 2 ; - 5) 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 20 
b) (d) đi qua M(3 ; 2) và song song với đường thẳng ( ) : y = 2x – 1/5. 
c) (d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đường thẳng (d’): y = -1/2x + 3. 
d) (d) đi qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dương trục Ox một góc 300. 
e) (d) đi qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đường thẳng 
f) ( ): y = 2x – 3; ( ’): y = 7 – 3x tại một điểm. 
g) (d) đi qua K(6 ; - 4) và cách gốc O một khoảng bằng 12/5 (đơn vị dài). 
Bài 2: Gọi (d) là đường thẳng y = (2k – 1)x + k – 2 với k là tham số. 
a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6). 
b) Định k để (d) song song với đường thẳng 2x + 3y – 5 = 0. 
c) Định k để (d) vuông góc với đường thẳng x + 2y = 0. 
d) Chứng minh rằng không có đường thẳng (d) nào đi qua điểm A(-1/2 ; 1). 
e) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. 
Dạng 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và parabol 
Bài 1: 
a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm (- 2 ; -1). Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó. 
b) Gọi A và B là hai điểm lần lượt trên (P) có hoành độ lần lượt là 2 và - 4. Tìm toạ độ A và B từ 
đó suy ra phương trình đường thẳng AB. 
Bài 2: Cho hàm số 2x
2
1
y 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. 
b) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P). 
Bài 3: 
Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P): 2x
4
1
y và đường thẳng (D): y = mx - 2m - 1. 
a) Vẽ độ thị (P). 
b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P). 
c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P). 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 21 
Bài 4: Cho hàm số 2x
2
1
y 
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. 
b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lượt có hoành độ là - 2; 1. Viết phương trình đường thẳng MN. 
c) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đường thẳng MN và chỉ 
cắt (P) tại một điểm. 
Bài 5: 
Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (D): y = kx + b. 
1) Tìm k và b cho biết (D) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; - 1). 
2) Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm được ở câu 1). 
3)Vẽ (D) và (P) vừa tìm được ở câu 1) và câu 2). 
4) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm 
 1;
2
3
C và có hệ số góc m 
a) Viết phương trình của (d). 
b) Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông góc với 
nhau. 
Chủ đề 5: 
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH –HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
A. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: 
Bước 1 : Lập hệ phương trình(phương trình) 
1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng mà bài toán yêu cầu tìm). 
2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. 
3) Lập hệ phương trình, (phương trình)biểu thị mối quan hệ giữa các lượng. 
Bước 2 : Giải hệ phương trình, (phương trình) 
Bước 3 : Kết luận bài toán. 
Dạng 1: Chuyển động 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 22 
 (trên đường bộ, trên đường sông có tính đến dòng nước chảy) 
Bài 1: 
Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm 
mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời 
gian dự định đi lúc đầu. 
Bài 2: 
Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trước. Sau khi được 
3
1
quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Tìm vận tốc dự 
định và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút. 
Bài 3: 
Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngược từ B trở về A. 
Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết 
rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêng của canô lúc xuôi và lúc ngược bằng nhau. 
Bài 4: 
Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngược về 36 km. Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều 
hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngược dòng là 6 km/h. 
Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngược dòng. 
Dạng 2: Toán làm chung – làm riêng (toán vòi nước) 
Bài tập 1: 
Hai vòi nước cùng chảy đầy một bẻ không có nước trong 3h 45ph . Nếu chảy riêng rẽ , mỗi vòi phải 
chảy trong bao lâu mới đầy bể ? biết rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi trước 4 h . 
Giải 
Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy một mình đầy bể là x ( x > 0 , x tính bằng giờ ) 
Gọi thời gian vòiớau chảy chảy một mình đầy bể là y ( y > 4 , y tính bằng giờ ) 
1 giờ vòi đầu chảy được 
x
1
( bể ) 
1 giờ vòi sau chảy được 
y
1
( bể ) 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 23 
1 giờ hai vòi chảy được 
x
1
 + 
y
1
( bể ) (1) 
Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 3h 45ph = 
4
15
h 
Vậy 1 giờ cả hai vòi chảy được 1: 
4
15
= 
15
4
( bể ) ( 2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
x
1
 + 
y
1
= 
15
4
Mất khác ta biết nếu chảy một mình thì vòi sau chảy lâu hơn vòi trước 4 giờ tức là y – x = 4 
Vậy ta có hệ phương trình 
x
1
 + 
y
1
= 
15
4
 y – x = 4 
)(
5,1
5,2
)(
10
6
4
5,2
6
4
03072
4
060144
4
5
4
4
11 22
b
y
x
a
y
x
xy
x
x
xy
xx
xy
xx
xy
xx 
Hệ (a) thoả mãn đk của ẩn 
Hệ (b) bị loại vì x < 0 
Vậy Vòi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h 
 Vòi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h 
Bài tập 2: 
Hai người thợ cùng làm một công việc . Nếu làm riêng rẽ , mỗi người nửa việc thì tổng số giờ làm việc 
là 12h 30ph . Nếu hai người cùng làm thì hai người chỉ làm việc đó trong 6 giờ. Như vậy , làm việc 
riêng rẽ cả công việc mỗi người mất bao nhiêu thời gian ? 
Giải 
Gọi thời gian người thứ nhất làm riêng rẽ để xong nửa công việc là x ( x > 0 ) 
Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong nửa công việc là y ( y > 0 ) 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 24 
Ta có pt : x + y = 12
2
1
 ( 1 ) 
 thời gian người thứ nhất làm riêng rẽ để xong công việc là 2x => 1 giờ người thứ nhất làm được 
x2
1
công việc 
Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong công việc là 2y => 1 giờ người thứ hai làm được 
y2
1
công việc 
1 giờ cả hai người làm được 
6
1
công việc nên ta có pt : 
x2
1
+ 
y2
1
= 
6
1
 (2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ pt :

5
2
15
2
15
5
6
1
2
1
2
1
2
1
12
y
x
y
x
yx
yx
Vậy nếu làm việc riêng rẽ cả công việc một người làm trong 10 giờ còn người kia làm trong 5 giờ 
Bài tập 3: 
Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đường vào bản trong 4 giờ thì xong . Nếu làm riêng thì 
tổ 1 làm nhanh hơn tổ 2 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc ? 
Giải 
Gọi thời gian một mình tổ 1sửa xong con đường là x( giờ ) ( x ≥ 4 ) 
Thời gian một mình tổ 2 sửa xong con đường là x + 6 ( giờ ) 
Trong 1 giờ tổ 1 sửa được 
x
1
( con đường ) 
Trong 1 giờ tổ 2 sửa được 
6
1
 x
 (con đường ) 
Trong 1 giờ cả hai tổ sửa được 
4
1
 (con đường ) 
Vậy ta có pt: 
x
1
+ 
6
1
 x
 = 
4
1
 0242)6(4)6(4 2 xxxxxx x1= 6; x2 = -4 
X2 = - 4 < 4 , không thoả mãn điều kiện của ẩn 
Vậy một mình tổ 1 sửa xong con đường hết 6 ngày 
 - Group: TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 
 Trang 25 
 một mình tổ 2 sửa xong con đường hết 12 ngày 
Bài tập 4: 
Hai đội công nhân làm một đoạn đường . Đội 1 làm xong một nửa đoạn đường thì đội 2 đến làm tiếp 
nửa còn lại với thời gian dài hơn thời gian đội 1 đã đã làm là 30 ngày . Nếu hai đội cùng làm thì trong 
72 ngày xong cả đoạn đường .Hỏi mỗi đội đã làm bao nhiêu ngày trên đoạn đường này ? 
Giải 
Gọi thời gian đội 1 làm là x ngày ( x > 0 ) thì thời gian đội 2 làm việc là x + 30 ( ngày ) 
Mỗi ngày đội 1 làm được 
x2
1
( đoạn đường ) 
Mỗi ngày đội 2 làm được 
)30(2
1
 x
( đoạn đường ) 
Mỗi ngày cả hai đội làm được 
72
1
( đoạn đường ) 
Vậy ta có pt : 
x2
1
+ 
)30(2
1
 x
= 
72
1
 Hay x2 -42x – 1080 = 0 
 / = 212 + 1080 = 1521 => / = 39 
 x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < 0 không thoả mãn đk của ẩn 
Vậy đội 1 làm trong 60 ngày , đội 2 làm trong