Tài liệu bồi dưỡng Hình học Lớp 9 - Chuyên đề 16: Tứ giác nội tiếp

CHƯƠNG
Chuyên đề 16. TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa.
• Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). 
Hình bên: Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
2. Định lí.
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.
3. Định lí đảo.
Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Hai đường tròn và cắt nhau tại M và P. Vẽ dây MA của đường tròn là tiếp tuyến của đường tròn . Vẽ dây MB của đường tròn là tiếp tuyến của đường tròn . Trên tia đối của tia PM lấy điểm H sao cho . Chứng minh rằng tứ giác MAHP nội tiếp.
Giải
Tìm cách giải.
- Khai thác giả thiết, ta có . Do vậy nếu I, K là trung điểm MB, MA mà MIPK là tứ giác nội tiếp thì MAHB cũng là tứ giác nội tiếp.
- Ta biết rằng tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm các đường trung trực của các cạnh và đường chéo. Dễ nhận biết đường trung trực của MB đi qua , đường trung trực của MA đi qua . Nếu giao điểm của hai đường trung trực này nằm trên đường trung trực của MH thì bài toán xong.
Với hai định hướng trên ta có hai cách giải sau: 
Trình bày lời giải
Cách 1. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MB, MA. 
Ta có: ; suy ra (g.g)
 (c.g.c)
Xét 
Suy ra tứ giác MIPK nội tiếp, mà IP, KP lần lượt là đường trung bình của tam giác MBH, MAH , 
 Tứ giác MAHP nội tiếp 
Cách 2. Dựng hình bình hành 
Suy ra , 
Mà , nên: 
, .
Do đó ; 
Gọi giao điểm với MO; MP là I, K
Ta có và ; 
Do đó IK là đường trung bình của tam giác MOP
Suy ra mà 
 OP là đường trung trực của 
Từ và 
Tứ giác MAHB nội tiếp.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A và B). Gọi O; ; lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AMC và BMC.
1) Chứng minh bốn điểm C, , M, cùng nằm trên một đường tròn .
2) Chứng minh rằng đường tròn đi qua O.
3) Xác định vị trí của M trên đoạn AB sao cho đường tròn có bán kính nhỏ nhất. 
(Tuyển sinh 10, chuyên toán ĐHSP Hà Nội, năm học 2008 - 2009)
Giải
Tìm cách giải.
, lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp nên ; lần lượt hai góc ở tâm của hai đường tròn tròn tương ứng. Phân tích đi lên ta có bốn điểm C, , M, cùng nằm trên một đường tròn từ đó ta tìm được cách giải.
• Để chứng minh đường tròn đi qua điểm O, ta cần chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc tứ giác nội tiếp. Cả hai hướng trên đều cho lời giải đúng.
Trình bày lời giải
1) Sử dụng tính chất góc ở tâm đường tròn, ta có:
; . 
Do tam giác ABC vuông nên: 
.
Suy ra .
Vậy bốn điểm C, , M, cùng thuộc một đường tròn
2) Do tam giác ABC vuông tại C nên O là trung điểm của AB, 
Giả sử M thuộc đoạn OA.
Do tam giác COB cân tại O nên 
Vậy O thuộc đường tròn 
3) Gọi R là bán kính của đường tròn .
Do đi qua C và O nên hay 
Dấu bằng đạt được khi M là hình chiếu của C trên AB.
Vậy bán kính của đường tròn (T) nhỏ nhất bằng khi M là hình chiếu của C trên AB.
Ví dụ 3. Từ điểm A ở ngoài đường tròn , kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của DO và AC. Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn , tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một đường tròn.
Giải
Tìm cách giải. Dựa vào hình vẽ ta có một số định hướng sau: 
• Nếu gọi M là tiếp điểm của đường tròn với EK, dễ thấy BOMK là tứ giác nội tiếp. Nên muốn chứng minh D, O, K, B cùng thuộc một đường tròn, ta chỉ cần chứng minh D, O, M, B cùng thuộc một đường tròn.
• Quan sát kỹ, ta có . Vậy ta chỉ cần chứng minh .
• Cũng dễ nhận thấy .
Do đó ta cũng cần chứng minh .
Trình bày lời giải
Cách 1. Gọi M là tiếp điểm của đường tròn với EK.
Ta có EM, EC là tiếp tuyến của nên: 
Vì .
Mặt khác 
Và 
Suy ra 
Vậy D, O, M, B cùng thuộc một đường tròn.
Mà nên tứ giác KMOB nội tiếp.
Vậy năm điểm D, K, O, M, B cùng thuộc một đường tròn 
Suy ra D, O, K, B cùng thuộc một đường tròn.
Cách 2. Ta có
Mà.
Suy ra D, O, K, B cùng thuộc một đường tròn.
Cách 3. Tam giác OEK có (tính chất góc ngoài tam giác). 
Suy ra 
Mặt khác, ta có: 
Do đó: 
Vậy D, O, K, B cùng thuộc một đường tròn.
Ví dụ 4. Cho đường tròn tâm O đường kính và C là điểm chính giữa cung AB. Lấy điểm M tùy ý trên cung BC (M khác B). Gọi N là giao điểm của hai tia OC và BM; H, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AO, AM; K là giao điểm các đường thẳng BM và HI.
a) Chứng minh rằng A, H, K và N cùng nằm trên một đường tròn;
b) Xác định vị trí của điểm M trên cung BC (M khác B) sao cho 
(Thi học sinh giỏi lớp 9, TP. Hà Nội, năm học 2008 - 2009)
Giải
Tìm cách giải. Dễ dàng nhận thấy HI là đường trung bình của nên suy ra ; . Do vậy để chứng minh A, H, K và N cùng nằm trên một đường tròn ta chỉ cần chứng minh hoặc hoặc .
Từ đó ta có cách giải sau:
Trình bày lời giải
a) Ta có tam giác NAB cân tại N (ON là trung trực của AB)
Lại có: .
 	. 
Do H, I là trung điểm của OA, AM nên HI là đường trung bình của tam giác AOM.
Suy ra 	
Từ , và , suy ra:.
Do đó tứ giác AHKN nội tiếp hay A, H, K, N cùng thuộc một đường tròn.
b) Ta có: .
Đặt 
Áp dụng định lí Py-ta -go trong các tam giác vuông AKM và AMB, ta có:
.
Bài tập vận dụng
16.1. Cho hình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Kẻ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CBMD là tứ giác nội tiếp.
b) Khi điểm D di động trên đường tròn thì không đổi.
c) .
16.2. Cho hai đường tròn và cắt nhau tại A và B. Các tiếp tuyến tại A của đường tròn và cắt đường tròn và theo thứ tự tại C và D. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD. Chứng minh rằng:
a) Hai tam giác ABD và CBA đồng dạng.
b) .
c) Tứ giác APBQ nội tiếp.
16.3. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn . Đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC cất AB và AC thứ tự tại D và E. Chứng minh AO vuông góc với DE.
16.4. Cho hai vòng tròn và tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai vòng tròn này nằm trong vòng tròn và tiếp xúc với tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của và cắt tại P. PM cắt vòng tròn tại điểm thứ hai A và MN cắt tại điểm thứ hai B. PN cắt vòng tròn tại điểm thứ hai D và MN cắt tại điểm thứ hai C.
a) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng AB, CD và PT đồng quy.
16.5. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (M khác B và C). Tiếp tuyến qua M cắt AB và AC tại E và F. Đường thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác OBEQ, OCFP là các tứ giác nội tiếp.
b) Tứ giác PQFE là tứ giác nội tiếp.
c) Tỉ số không đổi khi M di chuyển trên đường tròn.
16.6. Cho tam giác ABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh AB và AC. Chứng minh đường phân giác trong của góc B, đường trung bình của tam giác song song với cạnh AB và đường thẳng DE đồng quy.
16.7. Cho đưòng tròn đường kính AB cố định và đường kính CD quay quanh điểm O. Các đường thẳng AC và AD cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn theo thứ tự tại E và F.
1. Chứng minh rằng tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn.
2. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE. Chứng minh rằng điểm I di động trên đường thẳng cố định khi đường kính CD quay quanh điểm O.
(Thi Học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Trà Vinh, năm học 2009 - 2010)
16.8. Cho tam giác ABC vuông tại A và D là một điểm trên cạnh AC (Khác với A và C). Vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với BC tại E. Từ B kẻ tiếp tuyến thứ hai BF với đường tròn . Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của BF và AM. Chứng minh năm điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn và .
(Thi Học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Vĩnh Long, năm học 2009 -2010)
16.9. Cho hai đường tròn và cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB, vẽ các tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm ). Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm lần lượt tại M và N (M, N khác với điểm). Đường thẳng DE cắt MN tại 1. Chứng minh rằng:
a) .
b) Khi điểm C thay đổi thì đường DE luôn đi qua một điểm cố định.
(Thi Học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Nghệ An, năm học 2009 - 2010)
16.10. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với CA và CB lần lượt tại M và N. Đường thẳng MN cắt đường thẳng AI tại P. Chứng minh rằng góc IPB vuông.
(Thi Học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Gia Lai, năm học 2009 - 2010)
16.11. Cho đường tròn và dây AB cố định, . Điểm P di động trên dây AB (P khác A và B). Gọi là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn tại A, là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với tại B. Hai đường tròn và cắt nhau tại điểm thứ hai M. 
a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh và 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn;
b) Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên đường tròn cố định và đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định N;
c) Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất? Diện tích tam giác AMB lớn nhất.
(Thi Học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Phú Thọ, năm học 2009 - 2010)
16.12. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn có AD là phân giác góc , tia AD cắt đường tròn tại điểm E (E khác A). Kẻ đường kính EF của đường tròn . Gọi P là một điểm nằm giữa A và D. Tia FP cắt đường tròn tại Q khác F. Đường thẳng qua P vuông góc với AD cắt CA, AB lần lượt tại M, N.
a) Chứng minh rằng các tứ giác PQBN, PQCM là tứ giác nội tiếp.
b) Giả sử QN và PC cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn . Chứng minh rằng QM và PB cũng cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn .
16.13. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp có . Vẽ 3 đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H, AD cắt tại K và cắt EF tại I.
a) Chứng minh rằng: BC là trung trực của HK và ;
b) Chứng minh rằng : Các tứ giác DHEC, BFIK nội tiếp được;
c) Chứng minh rằng: ;
d) Đường thẳng qua E song song với AD cắt BK tại M. Chứng minh rằng: 3 điểm F, D, M thẳng hàng;
16.14. Cho tam giác ABC nhọn với có AD là đường phân giác. Đường thẳng qua C song song với AD cắt đường trung trực của AC tại E. Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại F.
a) Chứng minh rằng tam giác ABF đồng dạng với tam giác ACE.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng BE, CF, AD đồng quy tại một điểm, gọi điểm đó là G.
c) Đường thẳng qua G song song với AE cắt đường thẳng BF tại Q. Đường thẳng QE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC và P khác E. Chứng minh rằng các điểm A, P, G, Q, F cùng thuộc một đường tròn.
16.15. Cho tam giác ABC có là góc lớn nhất. Các điểm P, Q thuộc cạnh BC sao cho và . Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng của A qua P; Q. Chứng minh rằng BN và CM cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
(Thi vô địch Toán Quốc Tế IMO, năm 2014)
16.16. Cho 19 điểm nằm trong hay trên cạnh của một lục giác đều cạnh bằng 4 cm. Chứng minh rằng luôn tồn tại 2 trong số 19 điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá cm.
(thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hưng Yên, năm học 2013 - 2014)
16.17. Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và B, M là trung điểm của AB. Đường thẳng qua A vuông góc với MD cắt đường thẳng qua B vuông góc với MC tại N. Chứng minh .
(tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán. Đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh, năm học 2015 - 2016)
16.18. Cho tam giác ABC có các góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M là trung điểm cạnh BC, E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC, F là điểm đối xứng của E qua M.
a) Chứng minh rằng ;
b) Gọi D là giao điểm của AE và BC. Chứng minh các điểm A, D, O, F cùng thuộc một đường tròn.
c) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và P là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC sao cho P, O, F không thẳng hàng. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại P của đường tròn ngoại tiếp tam giác POF đi qua một điểm cố định.
(tuyển sinh lớp 10, trường phổ thông Năng khiếu Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh, năm học 2015-2016)
16.19. Cho tam giác nhọn ABC , M là trung điểm cạnh BC, O là tâm của đưòng tròn ngoại tiếp tam giác. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Các tiếp tuyến với tại B và C cắt nhau tại S. Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng BS, AO. Chứng minh rằng:
a) .
b) Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng.
c) .
(tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, Đại học sư phạm Hà Nội, năm học 2015 - 2016)
16.20. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn , H là trung điểm của BC. M là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng BH (M khác B). Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA sao cho . Gọi I là trung điểm của MN.
1) Chứng minh bốn điểm O, M, H, I cùng thuộc một đường tròn.
2) Gọi P là giao điểm của OI và AB. Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều.
3) Xác định vị trí của điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất.
(tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, TP. Hà Nội, năm học 2014 - 2015)
16.21. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn và điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn . D là điểm thuộc cạnh BC (D khác B và D khác C) sao cho P nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB và đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC. Đường thẳng PB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB tại E khác B. Đường thẳng PC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC tại F khác C.
1) Chứng minh bốn điểm A, E, P, F cùng nằm trên một đường tròn .
2) Giả sử đường thẳng AD cắt đường tròn tại Q khác A, đường thẳng AF cắt đường thẳng QC tại L. Chứng minh tam giác ABE đồng dạng với tam giác CLF.
3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AE và đường thẳng QB. Chứng minh:
.
(tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, ĐHKHTN, Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm học 2014 - 2015)
16.22. Cho đường tròn và dây cung BC không đi qua tâm. Gọi A là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Góc nội tiếp quay quanh điểm A và có số đo bằng không đổi sao cho E, F khác phía với điểm A so với BC; AF và AE cắt đường thẳng BC lần lượt tại M và N. Lấy điểm D sao cho tứ giác MNED là hình bình hành.
a) Chứng minh MNEF là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF. Chứng minh rằng khi góc nội tiếp quay quanh điểm A thì I chuyển động trên một đường thẳng cố định.
c) Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng OI khi và .
(thi hoc sinh giỏi lớp 9, tỉnh Phú Thọ, năm học 2013 - 2014)
16.23. Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không thuộc đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.
1. Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
2. Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
3. Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME.
(thi học sinh giỏi lớp 9, tinh Thanh Hóa, năm học 2014 - 2015)
HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ
16.1.
a) AB là đường kính đường tròn mà (so le trong) . Mặt khác suy ra: do đó tứ giác CBMD nội tiếp đường tròn đường kính CD.
Nhận xét. Ngoài cách giải trên, chúng ta có thể giải theo hướng sau: 
• Ta có: .
Suy ra điều phải chứng minh.
• Ta có: ; 
Mà.
Suy ra điều phải chứng minh.
b) Khi điểm D di động trên đường tròn thì tứ giác CBMD luôn là tứ giác nội tiếp
Suy ra (điều phải chứng minh).
c) Do thuộc .
Ta có: (góc nội tiếp) mà (so le trong)
.
Mặt khác (cùng chắn cung DN)
Suy ra: (g.g) 
16.2.
a) Áp dụng hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuvến và dây cung, ta có:
, 
Suy ra: (g.g).
b) Vì , suy ra: 
Mà ; 
Lại có: 
Suy ra: (c.g.c)
.
c) Ta có: , mà 
Suy ra tứ giác APBQ nội tiếp.
16.3. Tia AO cắt DE tại H. 
Vì O là tâm đường tròn nội tiếp AABC nên .
Suy ra 
Tứ giác BDEC nội tiếp nên 	 
Kết hợp và ta có:
.
Suy ra: 
Hay AO vuông góc với BC.
16.4.
a) Gọi ; T; thẳng hàng. 
Các tam giác cân và có chung góc M suy ra 
Tương tự suy ra 
Vậy 
Tương tự ta có .
Gọi E là giao điểm AB và CD .
Tứ giác AEDP là hình bình hành.
Tacó: ; nên (g.g) 
Ta có: và chung, nên (g.g) 
Tương tự, ta có: 
 nên (c.g.c) 
Mà APDE là hình bình hành nên 
Từ , (2), suy ra: 
Do đó tứ giác ABCD nội tiếp,
b) Gọi giao điểm của PT và AB là I. Tia IC cắt tại 
Ta có: suy ra 
Do đó tứ giác nội tiếp mà ABCD nội tiếp nên D trùng 
Vậy các đường thắng AB, CD và PT đồng quy.
16.5.
a) Ta có EB, EM là tiếp tuyến nên;
Ta có FC, FM là tiếp tuyến nên ;
Mặt khác 
Suy ra 
Từ đó ta có O và B là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn EQ dưới một góc bằng nhau 
Vậy OBEQ là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh tương tự ta có OCFP là tứ giác nội tiếp.
b) OBEQ là tứ giác nội tiếp nên
OCFP là tứ giác nội tiếp nên 
Suy ra .
Vậy tứ giác PQFE là tứ giác nội tiếp. 
c) Kẻ OH vuông góc với BC.
Ta có: PQFE là tứ giác nội tiếp
Suy ra 
Do đó (g.g) 
Vì điểm A và cố định nên OH và OM không đổi do đó tỉ số không đổi khi M di chuyển trên đường tròn.
 P là trung điểm ME.
( Trích Đoạn Tài Liệu )
ĐĂNG KÝ MUA TRỌN BỘ TÀI LIỆU 
Liên hệ đặt mua: Nhắn tin hoặc gọi điện đến: (Điện thoại/ ZALO): 0973.75.10.30
Giao tài liệu qua email trước khi thanh toán đối với khách hàng là giáo viên!
 (Giá khuyến mãi dịp Xuân Tân Sửu: 200k/ trọn bộ tài liệu bên dưới)
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ (24 CHUYÊN ĐỀ)
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC (26 CHUYÊN ĐỀ)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (200 ĐỀ)