Tài liệu dạy học Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài: Ôn tập Chương 2

Bài. ÔN TẬP CHƯƠNG II
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Xem lại kiến thức trọng tâm từ bài 1 đến bài 8.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. TRẮC NGHIỆM
Câu 1:	[TS10 Cần Thơ, 2018-2019]
Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài nhau (như hình bên dưới). Độ dài đoạn nối bằng
A. cm.	B. cm.
C. cm.	D. cm.
Lời giải
Độ dài đoạn nối tâm bằng cm.
Câu 2:	[TS10 Phú Yên, 2018-2019]
Cho đường tròn tâm đường kính cm. Gọi là trung điểm của dây (hình bên). Tính độ dài đoạn , biết cm.
A. cm.	B. cm.
C. cm.	D. cm.
Lời giải
Do có đường kính cm nên cm.
Xét ta có là trung điểm của dây cung tại (quan hệ đường kính và dây cung).
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông tại có
cm.
Câu 3:	[TS10 Yên Bái, 2018-2019]
Cho đường tròng (;cm), hai điểm , thuộc đường tròn và sđ . Độ dài của dây cung là bao nhiêu?
A. cm.	B. cm.	C. cm.	D. cm.
Lời giải
Số đo cung bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó. Vậy .
Mặt khác cân tại O.
Suy ra đều cm.
Câu 4:	[TS10 Phú Thọ, 2018-2019]
Cho đường tròn tâm , bán kính cm và dây cung cm. Tính khoảng cách từ tới đường thẳng .
A. cm.	B. cm.
C. cm.	D. cm.
Lời giải
Gọi là trung điểm và cm.
Xét tam giác vuông có (cm).
Câu 5:	[TS10 Yên Bái, 2018-2019]
Cho đường tròn và dây cung . Tính khoảng cách từ tâm đến dây cung .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Gọi là trung điểm của 
Xét tam giác vuông tại nên .
Câu 6:	[TS10 Yên Bái, 2018-2019]
Cho đường tròn , dây . Một tiếp tuyến của đường tròn song song với cắt các tia , theo thứ tự ở , . Tính độ dài .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Dễ thấy rằng cân tại .
Gọi tiếp điểm , gọi là trung điểm của . Ta có
Trong tam giác vuông có
Vì nên theo định lí Ta-lét ta có
Câu 7:	[TS10 Cần Thơ, 2018-2019]
Trong một đường tròn, xét các khẳng định sau:
 (I): Đường kính là dây cung lớn nhất.
(II): Dây nhỏ hơn thì gần tâm hơn.
(III): Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
(IV): Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
Số khẳng định đúng là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Khẳng định (I), (III), (IV) đúng. Khẳng định (II) sai vì dây lớn hơn thì gần tâm hơn.
Vậy có 3 khẳng định đúng.
Câu 8:	[TS10 Hưng Yên, 2018-2019]
Có hai đường tròn cm) và đường tròn cm), biết cm. Số tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có cm 
Suy ra cm) tiếp xúc ngoài với cm).
Nên hai đường tròn này có đường tiếp tuyến chung.
Câu 9:	[TS10 Yên Bái, 2018-2019]
Cho hai đường tròn (;cm) và (;cm) có cm. Hai đường tròn trên cắt nhau tại và . Tính độ dài .
A. cm.	B. cm.	C. cm.	D. cm.
Lời giải
Áp dụng định lý Pytago đảo cho ta có .
Suy ra vuông tại .
Gọi là giao của và . Dựa vào hai tam giác đồng dạng và dễ dàng chứng minh là đường cao của .
Ta có cm.
Do đó cm.
Câu 10:	[TS10 Hưng Yên, 2018-2019]
Từ một miếng tôn có hình dạng là nửa hình tròn bán kính , người ta cắt ra một hình chữ nhật (phần tô đậm như hình vẽ).
Phần hình chữ nhật có diện tích lớn nhật có thể cắt được là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Gọi kích thước của miếng tôn cần cắt như hình vẽ
Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có
Khi đó diện tích miếng tôn hình chữ nhật là 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số ta có
Dấu bằng xảy ra 
Câu 11:	[TS10 Yên Bái, 2018-2019]
Cho tam giác , biết , cm, cm. Tính độ dài cạnh .
A. cm.	B. cm.	C. cm.	D. cm.
Lời giải
Kẻ .
Xét tam giác ta có
Từ đó
Câu 12:	[TS10 Yên Bái, 2018-2019]
Cho nửa đường tròn tâm có đường kính . Vẽ các tiếp tuyến , (, và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ ). Gọi là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại cắt , theo thứ tự ở , . Tính diện tích của hình thang , biết chu vi của nó bằng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Xét và có
Xét và có
Từ và 
Từ và 
Chu vi hình thang là
Diện tích hình thang 
Câu 13:	[TS10 Yên Bái, 2018-2019]
Cho tam giác có cm, cm, cm. Tính chu vi của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho
A. cm.	B. cm.	C. cm.	D. cm.
Lời giải
Vì vuông tại .
Từ đó dựa vào hình vuông với là tâm đường tròn nội tiếp. Ta có
.
Vậy chu vi đường tròn nội tiếp .
Câu 14:	[TS10 Phú Yên, 2018-2019]
Cho đường tròn và đường tròn có đoạn nối tâm cm. Biết đường tròn và cắt lần lượt tại , (hình bên). Tính độ dài .
A. cm.	B. cm.
C. cm.	D. cm.
Lời giải
·	.
·	.
Suy ra cm.
Câu 15:	[TS10 Yên Bái, 2018-2019]
Cho hình vuông cạnh bằng . Gọi là trung điểm của cạnh . Tính độ dài dây cung chung của đường tròn đường kính và đường tròn đường kính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Gọi cắt tại .
Tam giác vuông tại nên ta có
Ta có .
BẢNG ĐÁP ÁN
1.B
2.A
3.A
4.A
5.A
6.A
7.D
8.B
9. B
10. C
11.A
12.B
13.D
14.B
15. B
II. TỰ LUẬN
Bài 1. Cho nửa đường tròn đường kính . Trên nửa mặt phẳng bờ chứa nửa đường tròn vẽ các tiếp tuyến , . Lấy điểm thuộc nửa đường tròn ( khác , ). Tiếp tuyến tại của cắt , lần lượt tại , .
a) Chứng minh .
b) Tính số đo góc .
c) Chứng minh .
d) Vẽ đường tròn tâm , đường kính . Chứng minh là tiếp tuyến của .
Lời giải
a) Ta có tiếp tuyến và cắt nhau tại ; tiếp tuyến và cắt nhau tại (1)
 và 
.
b) Từ (1) là tia phân giác của và là tia phân giác của .
Ta có
.
c) vuông tại có đường cao 
 (do và ).
d) Ta có là đường trung tuyến trong tam giác vuông vuông tại .
Nên đường tròn đường kính ngoại tiếp .
Lại có là đường trung bình của hình thang .
Mà nên là tiếp tuyến của đường tròn .
Bài 2. Cho đường tròn và điểm nằm ngoài đường tròn . Từ kẻ các tiếp tuyến , với (, là các tiếp điểm).
a) Chứng minh , , , cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh là đường trung trực của đoạn thẳng .
c) Biết cm, cm. Tính độ dài đoạn .
d) Đường tròn cắt đoạn tại . Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Lời giải
a) vuông tại nội tiếp trong đường tròn đường kính .
 vuông tại nội tiếp trong đường tròn đường kính .
Vậy , , , cùng thuộc đường tròn đường kính .
Ta có (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
 và (hai cạnh tương ứng)
 nằm trên đường trung trực của đoạn và nằm trên đường trung trực của đoạn là đường trung trực của đoạn .
c) Gọi là giao điểm của và .
 vuông tại có đường cao cm.
 vuông tại cm.
 là trung điểm của cm.
d) Ta có (do )
 là tia phân giác của (1).
Mặt khác là tia phân giác của .(2)
Từ (1), (2) là tâm đường tròn nội tiếp .
Bài 3. Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài với hai đường tròn. Tiếp tuyến chung tại của và cắt tại .
a) Chứng minh và .
b) Tính số đo của .
c) Chứng minh tiếp xúc với đường tròn đường kính .
d) Biết cm, cm. Tính độ dài đoạn thẳng .
Lời giải
a) Ta có tiếp tuyến và cắt nhau tại ; tiếp tuyến và cắt nhau tại 
 và .
Khi đó ta có cân tại và cân tại 
 và .
 có
.
b) Ta có là tia phân giác của và là tia phân giác của 
.
c) Ta có là tâm đường tròn đường kính và cũng thuộc đường tròn .
Mà nên tiếp xúc với đường tròn đường kính .
d) vuông tại có đường cao cm
 cm cm.
Bài 4. Cho đường tròn tâm , đường kính . Điểm nằm trên đường tròn ( khác , ). Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Vẽ đường tròn tâm đường kính và đường tròn tâm đường kính . cắt tại (khác ), cắt tại (khác ).
a) Tứ giác là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh là tiếp tuyến chung của và .
c) Chứng minh tiếp xúc với đường tròn đường kính .
d) Biết . Tính diện tích tứ giác theo .
Lời giải
a) có đường trung tuyến vuông tại .
 có đường trung tuyến vuông tại .
 có đường trung tuyến vuông tại .
Vậy là hình chữ nhật.
b) Gọi là giao điểm của và (tính chất hình chữ nhật).
Từ đó suy ra (cạnh - cạnh - cạnh) và (cạnh - cạnh - cạnh)
 và .
Do đó là đường tiếp tuyến của đường tròn và .
Hay là tiếp tuyến chung của và .
c) là hình chữ nhật nên .
Khi đó tâm đường tròn đường kính là .
Ta có đường tròn này ngoại tiếp và .
Do đó tiếp xúc với đường tròn đường kính .
d) Ta có và .
Ta có là tia phân giác của và là tia phân giác của và . Khi đó ta có
.
 vuông tại có là đường cao 
.
.
Bài 5. Cho nửa đường tròn tâm , đường kính . Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến . Điểm nằm trên nửa đường tròn sao cho .
a) Tính số đo các góc của tam giác .
b) Tiếp tuyến tại của cắt tại . Chứng minh song song với .
c) Tia cắt tại . Chứng minh .
d) Kẻ với thuộc , cắt tại . Chứng minh là trung điểm của .
Lời giải
a) có trung tuyến vuông tại .
Lại có do đó là tam giác đều .
b) Do là giao điểm của hai đường tiếp tuyến và nên .
Mà nên .
c) (so le trong).
 (đồng vị).
Mà (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
Nên cân tại .
Mà (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên .
d) Áp dụng định lí Thales vào có .
Áp dụng định lí Thales vào có .
Do đó .
Mà (chứng minh ở câu c).
Nên hay là trung điểm của .
Bài 6. Cho đường tròn đường kính . Qua và vẽ lần lượt hai tiếp tuyến và với . Đường thẳng thay đổi qua cắt tại và cắt tại . Từ vẽ một tia vuông góc với cắt tại .
a) Chứng minh và tam giác cân.
b) Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Chứng minh và là tiếp tuyến của đường tròn .
c) Chứng minh .
d) Chứng minh không đổi khi đường thẳng quay quanh .
Lời giải
a) Xét các tam giác vuông và có
 (đối đỉnh).
 (bán kính).
Do đó (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
 (2 cạnh tương ứng)
 (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
 (2 góc tương ứng)
 cân tại .
b) Ta có (do ) và (chứng minh trên).
Do đó .
Xét hai tam giác vuông và có
 (chứng minh trên).
 là cạnh huyền chung.
Do đó (cạnh huyền - góc nhọn)
.
Mà tại nên là tiếp tuyến của đường tròn .
c) Ta có (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
Do đó .
d) Ta có (không đổi).
Bài 7. Cho nửa đường tròn , đường kính và điểm là một điểm nằm trên ( khác , ). Tia phân giác của cắt tại và cắt tại ( khác ). Gọi là giao điểm của và .
a) Chứng minh tam giác cân.
b) Chứng minh vuông góc với .
c) Gọi là điểm đối xứng của qua . Tứ giác là hình gì? Vì sao?
d) Chứng minh là tiếp tuyến của .
Lời giải
a) có trung tuyến vuông tại .
Khi đó ta có vừa là đường cao vừa là đường phân giác trong tam giác cân tại .
b) Chứng minh tương tự ta suy ra .
Mà và cắt nhau tại nên là trực tâm của .
c) cân tại có là đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến nên .
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và hai đường chéo này vuông góc với nhau nên tứ giác là hình thoi.
d) là hình thoi .
Mà nên là tiếp tuyến của .
Bài 8. Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài với hai đường tròn. Tiếp tuyến chung ngoài tại của và cắt tại .
a) Chứng minh là tam giác vuông.
b) Gọi là giao điểm của và , gọi là giao điểm của và . Tứ giác là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh tiếp xúc với đường tròn đường kính .
d) Chứng minh .
Lời giải
a) Ta có là tia phân giác của (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và là tia phân giác của (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
.
Do đó vuông tại .
b) Ta có tại và tại (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
Do đó là hình chữ nhật.
c) Gọi là trung điểm của , ta có là đường trung bình của hình thang . Mà nên tại và nên .
Vậy tiếp xúc với đường tròn đường kính .
d) vuông tại có đường cao .
Vậy .
--- HẾT ---