Tài liệu ôn tập và bài tập môn Toán Lớp 9 - Chủ đề: Biểu thức đại số và các vấn đề liên quan

CHUYÊN ĐỀ 1
CHỦ ĐỀ
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ.
Điều kiện xác định
 có nghĩa 
Công thức 
Khai phương một tích
Nếu thì 
Khai phương một thương
Nếu thì .
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn 
Khử mẫu ở biểu thức lấy căn với 
Đưa thừa số vào trong dấu căn 
 với 
 với 
Trục căn thức ở mẫu
Khi biến đổi biểu thức đại số ta thường sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ:
1. CÁC DẠNG BÀI TOÁN.
Dạng 1: Rút gọn biểu thức đại số.
Phương pháp giải
Đối với biểu thức số:
Ta cần nhận xét biểu thức trong căn. Phán đoán phân tích nhanh để đưa ra hướng làm cho loại toán:
Vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lí và thành thạo.
Phân tích các biểu thức số, tìm cách để đưa về các số có căn bậc hai đúng hoặc đưa về hằng đẳng thức.
Luôn chú ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích.
+ Sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân, chia hai căn thức bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn thức ở mẫu , 
Đối với biểu thức chứa chữ:
Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác không, nếu bài tóan chưa cho)
Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức).
Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lí để làm xuất hiện nhân tử chung.
Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không.
Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Thái Nguyên năm học 2018 - 2019)
Không sử dụng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức: 
Lời giải
Ta có: 
Vậy 
Ví dụ 2: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Lê Hồng Phong- Nam Định năm học 2018 - 2019)
Rút gọn biểu thức: 
Lời giải
Điều kiện xác định: 
Ta có: 
Vậy 
Ví dụ 3: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Bắc Ninh năm học 2018 - 2019)
Rút gọn biểu thức: với 
Lời giải
Với ta có: 
Do vậy P = 1 nếu a > 0 và nếu a < 0
Ví dụ 4: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Nguyễn Trãi- Hải Dương năm học 2018 - 2019)
Rút gọn biểu thức: với và 
Lời giải
Ta có: 
Suy ra: 
Tương tự ta được: 
Từ đó, 
Do nên 
Do vậy 
Thu gọn ta được Q = 1.
Vậy Q = 1.
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức biết điều kiện cho trước.
Phương pháp giải
Sử dụng các điều kiện cho trước để biến đổi vế trái về vế phải hoặc vế phải về vế trái hoặc biến đổi cả hai vế về biểu thức trung gian.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội năm học 2018 - 2019)
Các số thực không âm x, y thỏa mãn 
Tính giá trị của biểu thức: 
Lời giải
Đặt S = x + y và T = xy. Từ giả thuyết ta có S + T = 1
Suy ra 
Từ đó ta có P = S + T = 1
Vậy P = 1.
Ví dụ 2: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Toán TP.Hà Nội năm học 2018 - 2019)
Với x, y, z là các số thực thỏa mãn xyz = 1
Chứng minh: 
Lời giải
Do xyz = 1 nên ta có: 
Vậy 
Ví dụ 3: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm học 2018 - 2019)
Cho a, b, c là ba số thực đôi một khác nhau thỏa mãn 
Tính P = xabc
Lời giải
Ta có: 
Tương tự 
Nhân vế với vế của ba hệ thức trên, với chú ý a, b, c đôi một khác nhau ta thu được hoặc 
Nếu abc = 1 thì giả thuyết sẽ tương đương với a + ac = b + ba = c + cb = x
Suy ra:
Mặt khác 
Suy ra nên hoặc 
Từ đó P nhận hai giá trị là 2 hoặc 
Tương tự với trường hợp ta cũng có hai giá trị của P vẫn là 2 hoặc .
Ví dụ 4: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Nguyễn Trãi- Hải Dương năm học 2017 - 2018)
Cho ba số x, y, z đôi một khác nhau và thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0
Tính giá trị của biểu thức: 
Lời giải
Ta có: 
(do )
Vậy 
Dạng 3: Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số
Phương pháp giải
Phương pháp 1: Áp dụng hằng đẳng thức: để biến đổi biểu thức đưa về dạng:
 suy ra khi 
 suy ra khi 
Phương pháp 2: Áp dụng tính chất:
Để tìm GTNN hay GTLN thì dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Chú ý: Khi sử dụng phương pháp này cần lưu ý các trường hợp sau:
Nếu với a < b thì khi 
Nếu với b < c thì khi 
Nếu với b < c thì khi 
Phương pháp 3: Áp dụng bất đẳng thức: 
Để tìm GTLN dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hay 
Để tìm GTNN dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Phương pháp 4: Áp dụng bất đẳng thức Cô si:
Với ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Từ bất đẳng thức trên ta có:
Nếu ab = k (không đổi) thì 
Nếu a + b = k (không đổi) thì 
Mở rộng: Bất đẳng thức Cô si cho n số không âm:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Từ bất đẳng thức Cô si mở rộng ta có:
Nếu (không đổi) thì
Nếu (không đổi) thì
Phương pháp 5: Áp dụng bất đẳng thức Bu –nhi- a- cốp- xki
Với 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ay = bx.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Đại học Sư Phạm Hà Nội năm học 2018 - 2019)
Các số không âm x, y, z thay đổi thỏa mãn điều kiện: 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q = x + y + z
Lời giải
Gía trị lớn nhất của Q
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
Cộng các bất đẳng thức trên lại theo vế, sau đó cộng hai vế của bất đẳng thức thu được với ta được 
Từ đó suy ra 
Mặt khác dễ thấy dấu bất đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 nên ta có kết luận maxQ = 3.
Gía trị nhỏ nhất của Q.
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
Từ đó suy ra 
Chứng minh tương tự ta cũng có: 
Do đó, ta có:
hay 
Vậy khi 
Ví dụ 2: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Toán TP. Hà Nội năm học 2018 - 2019)
Với x, y, z là các thực dương thay đổi và thỏa mãn: 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
Suy ra: 
Tương tự ta cũng có:
Cộng các bất đẳng thức trên lại theo vế với vế với chú ý ta được 
Mặt khác dễ thấy dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 nên ta có kết luận: 
Ví dụ 3: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Khoa học tự nhiên năm học 2017 - 2018 vòng 1)
Cho a, b > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bu- nhi- a- cốp- xki ta có:
;
Suy ra hay 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.
Vậy giá trị lớn nhất của M là M = 1 xảy ra khi a = b = 1.
Ví dụ 4: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Bắc Ninh năm học 2018 - 2019)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện và a + b + c = 3
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Lời giải
Do với mọi a, b, c suy ra 
Từ đó ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Vậy minP = 1.
Do nên 
Từ đó, 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy 
2. BÀI TẬP TỰ UYỆN
Câu 1: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Bắc Giang năm học 2018 - 2019)
Cho biểu thức (với )
Rút gọn biểu thức A.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để ?
Câu 2: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội năm học 2017 - 2018 vòng 1)
Cho biểu thức 
với .
Chứng minh 
Tìm a, b biết rằng P = 1 và 
Câu 3: (Đề thi vào lớp 10 Bắc Ninh năm học 2017 - 2018 )
Cho các biểu thức và với 
Rút gọn biểu thức P và Q.
Tìm tất cả giá trị của x để P = Q.
Câu 4: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Ninh Bình năm học 2017 - 2018)
Cho 
Rút gọn biểu thức P.
Tính giá trị của biểu thức P khi 
Câu 5: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội năm học 2018 - 2019 vòng 1)
Cho biểu thức: với x > 1 
Rút gọn biểu thức P
Tìm x để 
Câu 6: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Lê Qúy Đôn Bình Định năm học 2018 - 2019 vòng 1)
Cho biểu thức với , với .
Rút gọn T.
Xác định các giá trị của a để 
Câu 7: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Bắc Ninh năm học 2017 - 2018)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 
Tính giá trị của biểu thức: 
Câu 8: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Thái Bình năm học 2017 - 2018)
Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: và 
 Tính giá trị của biểu thức: 
Câu 9: (Đề thi vào lớp 1 Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm học 2017 - 2018)
Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn 
Tính gái trị của biểu thức: 
Câu 10: (Đề thi vào lớp 1 Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm học 2018 - 2019)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn và 
Tính giát trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 11: (Đề thi vào lớp 1 Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm học 2018 - 2019)
Cho x, y,z thỏa mãn điều kiện 
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 12: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Thái Bình năm học 2018- 2019)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 13: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Ninh Bình năm học 2017 - 2018)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Gợi ý giải
Câu 1: 
Với ta có
Vậy 
Kết hợp với điều kiện , ta có 2017 giá trị nguyên của x thỏa mãn.
Câu 2: 
Với ta có:
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Khi P = 1 và ta có hệ phương trình: 
Do nên ta chọn nghiệm 
Câu 3: 
Với ta có: 
Ta có 
Câu 4: 
Với ta có:
Ta có: 
hay 
Phương trình này cho ta nghiệm duy nhất a = 1.
Thay a = 1 (thỏa mãn điều kiện) vào P ta được 
Câu 5: 
Với x > 1 ta có:
Vậy 
Để thì 
Vậy x = 3 thỏa mãn
Câu 6:
Ta có: 
Kết hợp với điều kiện suy ra và thì 
Câu 7: 
Ta có: 
Câu 8:
Ta có: 
Tương tự, ta cũng có: 
Do đó: 
Câu 9: 
Ta có: 
Tương tự ta cũng có:
Do đó: 
Câu 10
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3.
Khi đó T = 162
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là T = 162.
Câu 11:
Từ giả thuyết suy ra
Tương tự 
Cộng vế theo vế ta được 
Xét:
Từ đó suy ra: 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi 
Câu 12:
Ta có với mọi 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z.
Ta có 
Do đó: 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Vậy Mmin = 15 đạt giá được khi a = b = c = 1. 
Câu 13:
Áp dụng bất đẳng thức Bu- nhi- a- cốp- xki ta có:
Chứng minh tương tự ta có:
Cộng vế với vế của các bất dẳng thức trên ta được 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1.